福建省福州市八县一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题意要求的.） 1． （5 分）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（） A．圆柱 B． 圆锥 C． 球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 2． （5 分）已知 A（﹣1，3） 、B（3，﹣1） ，则直线 AB 的倾斜角为（） A．45° B．60° C．120° D．135° 3． （5 分）已知直线 l1：y=2x+1，若直线 l2 与 l1 关于直线 x=1 对称，则 l2 的斜率为（） A．﹣2 B． ﹣ C． D．2

4． （5 分）l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（） A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B． l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C． l1∥l2∥l3?l1，l2，l3 共面 D．l1，l2，l3 共点?l1，l2，l3 共面 5． （5 分）在空间直角坐标系中一点 P（1，3，4）到 x 轴的距离是（） A．5 B． C． D． 6． （5 分）若两条平行线 l1，l2 的方程分别是 2x+3my﹣m+2=0，mx+6y﹣4=0，记 l1，l2 之间 的距离为 d，则 m，d 分别为（） A．m= 2，d= B．m=2，d= C．m=2，d= D．m=﹣2，d=

7． （5 分）设 l、m 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，则下列论述正确的是（） A．若 l∥α，m∥α，则 l∥m B． 若 l∥α，l∥β，则 α∥β C． 若 l∥m，l⊥α，则 m⊥α D．若 l∥α，α⊥β，则 l⊥β 8． （5 分）直线 y=﹣ 关系是（） A．直线过圆心 C． 直线与圆相切 x 绕原点按逆时针方向旋转 90°后所得直线与圆（x﹣2） +y =1 的位置 B． 直线与圆相交，但不过圆心 D．直线与圆没有公共点
2 2

9． （5 分）平面 α 的斜线 l 与平面 α 所成的角是 45°，则 l 与平面 α 内所有不过斜足的直线所 成的角中，最大的角是（） A．45° B．90° C．135° D．60°

10． （5 分）一个正八面体的八个顶点都在同一个球面上，如果该正八面体的棱长为 个球的表面积为（） A．π B．2π
2 2

．则这

C ． 4π

D．

11． （5 分）点 P（4，﹣2）与圆 x +y =4 上任一点连线的中点轨迹方程是（） 2 2 2 2 2 A．（x﹣2） +（y+1） =1 B．（x﹣2） +（y+1） =4 C． （x+4） +（y 2 2 2 ﹣2） =1 D． （x+2） +（y﹣1） =1 12． （5 分）设集合 A={（x，y）|y=x}与集合 B={（x，y）|x=a+ 元素只有一个，则实数 a 的取值范围是（） A．a=± B．﹣1＜a＜1 或 a=± ﹣1＜a≤1 或 a=﹣ ，a∈R}，若 A∩B 的

C．

a=

或﹣1≤a＜1 D．

二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．将答案填在答题卡的相应位置上.） 13． （4 分）若直线 y=3x+b 过圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心，则 b=． 14． （4 分）已知圆锥的轴截面是一个边长为 2 的正三角形，则圆锥的侧面积等于． 15． （4 分）在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则 =．
2 2

16． （4 分）如图是一几何体的平面展开图，其中 ABCD 为正方形，E，F 分别为 PA，PD 的中 点．在此几何体中，给出下面四个结论： ①B，E，F，C 四点共面； ②直线 BF 与 AE 异面； ③直线 EF∥平面 PBC； ④平面 BCE⊥平面 PAD； ． ⑤折线 B→E→F→C 是从 B 点出发，绕过三角形 PAD 面，到达点 C 的一条最短路径． 其中正确的有． （请写出所有符合条件的序号）

三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 17． （12 分）已知直线 l：kx﹣y+1﹣2k=0（k∈R） ．

（1）证明：直线 l 过定点； （2）若直线 l 交 x 轴正半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，且|OA|=|OB|，求 k 的值． 18． （12 分）有 100 件规格相同的铁件（铁的密度是 7.8g/cm ） ，该铁件的三视图如图所示， 其中正视图， 侧视图均是由三角形与半圆构成， 俯视图由圆与内接三角形构成 （图中单位 cm） ． （1）指出该几何体的形状特征； （2）根据图中的数据，求出此几何体的体积； （3）问这 100 件铁件的质量大约有多重（π 取 3.1， 取 1.4）？
3

19． （12 分）已知点 M（2，0） ，两条直线 l1：2x+y﹣3=0 与 l2：3x﹣y+6=0，直线 l 经过点 M， 并且与两条直线 l1?l2 分别相交于 A（x1，y1）?B（x2，y2）两点，若 A 与 B 重合，求直线 l 的方程，若 x1+x2=0，求直线 l 的方程． 20． （12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，O 是正方形 ABCD 的中心， PO⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点．求证： （Ⅰ）PA∥平面 BDE； （Ⅱ）平面 PAC⊥平面 BDE．

21． （12 分）如图，已知正三角形 ABC 的边长为 6，将△ ABC 沿 BC 边上的高线 AO 折起， 使 BC=3 ，得到三棱锥 A﹣BOC．动点 D 在边 AB 上． （1）求证：OC⊥平面 AOB； （2）当点 D 为 AB 的中点时，求异面直线 AO、CD 所成角的正切值； （3）求当直线 CD 与平面 AOB 所成角最大时的正切值．

22． （14 分） 已知圆 C： x +y ﹣2x+4my+4m =0， 圆 C1： x +y =25， 以及直线 l： 3x﹣4y﹣15=0． 2 2 （1）求圆 C1：x +y =25 被直线 l 截得的弦长； （2）当 m 为何值时，圆 C 与圆 C1 的公共弦平行于直线 l； （3）是否存在 m，使得圆 C 被直线 l 所截的弦 AB 中点到点 P（2，0）距离等于弦 AB 长度 的一半？若存在，求圆 C 的方程；若不存在，请说明理由．

2

2

2

2

2

福建省福州市八县一中 2014-2015 学年高一上学期期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题意要求的.） 1． （5 分）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（） A．圆柱 B． 圆锥 C． 球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 考点： 平行投影及平行投影作图法． 专题： 常规题型；空间位置关系与距离． 分析： 由各个截面都是圆知是球体． 解答： 解：∵各个截面都是圆， ∴这个几何体一定是球体， 故选 C． 点评： 本题考查了球的结构特征，属于基础题． 2． （5 分）已知 A（﹣1，3） 、B（3，﹣1） ，则直线 AB 的倾斜角为（） A．45° B．60° C．120° D．135° 考点： 专题： 分析： 解答： 直线的倾斜角． 直线与圆． 先求出直线的斜率，再求出直线的倾斜角． 解：∵A（﹣1，3） 、B（3，﹣1） ，

∴kAB=

=﹣1，

∴直线 AB 的倾斜角 α=135°． 故选：D． 点评： 本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜率公式的合 理运用． 3． （5 分）已知直线 l1：y=2x+1，若直线 l2 与 l1 关于直线 x=1 对称，则 l2 的斜率为（） A．﹣2 B． ﹣ C． D．2

考点： 直线的斜率． 专题： 直线与圆． 分析： 由已知条件作出直线 l1，直线 l2 与直线 x=1 的图象，结合图象，得到直线 l2 与 l1 的 倾斜角互补，由此能求出 l2 的斜率． 解答： 解：∵直线 l1：y=2x+1，直线 l2 与 l1 关于直线 x=1 对称， 作出图象，如图， 结合图象，得直线 l2 与 l1 的倾斜角互补， ∵直线 l1：y=2x+1 的斜率 k=2， ∴l2 的斜率为 k′=﹣2． 故选：A．

点评： 本题考查直线的斜率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的 合理运用． 4． （5 分）l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（） A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B． l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C． l1∥l2∥l3?l1，l2，l3 共面 D．l1，l2，l3 共点?l1，l2，l3 共面 考点： 平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 证明题．

分析： 通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为 90°；判断出 B 对；通过举常见的图 形中的边、面的关系说明命题错误． 解答： 解：对于 A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A 错； 对于 B，∵l1⊥l2，∴l1，l2 所成的角是 90°，又∵l2∥l3∴l1，l3 所成的角是 90°∴l1⊥l3，B 对； 对于 C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故 C 错； 对于 D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故 D 错． 故选 B． 点评： 本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面 的位置关系得到启示． 5． （5 分）在空间直角坐标系中一点 P（1，3，4）到 x 轴的距离是（） A．5 B． C． D． 考点： 空间两点间的距离公式． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 欲求 P（1，3，4）到 x 轴的距离，转化为长方体中求点到棱的距离即可，利用长方 体的性质得，即求某个面上对角线的长． 解答： 解：∵点（x，y，z）到 x 轴的距离 d 等于： d= ．

∴点 P（1，3，4）到 x 轴的距离 d 等于： d= =5．

故选：A． 点评： 本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用等基础知识，考 查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题． 6． （5 分）若两条平行线 l1，l2 的方程分别是 2x+3my﹣m+2=0，mx+6y﹣4=0，记 l1，l2 之间 的距离为 d，则 m，d 分别为（） A．m=2，d= B．m=2，d= C．m=2，d= D．m=﹣2，d=

考点： 两条平行直线间的距离． 专题： 直线与圆． 分析： 直接利用两条直线平行求出 m，通过平行线之间的距离求出 d 即可． 解答： 解：两条平行线 l1，l2 的方程分别是 2x+3my﹣m+2=0，mx+6y﹣4=0， 可得： ，解得 m=2，

两条平行线 l1，l2 的方程分别是 2x+6y=0，2x+6y﹣4=0， 平行线之间的距离为：d= = ．

故选：B． 点评： 本题考查平行线的应用，平行线之间的距离的求法，考查计算能力．

7． （5 分）设 l、m 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，则下列论述正确的是（） A．若 l∥α，m∥α，则 l∥m B． 若 l∥α，l∥β，则 α∥β C． 若 l∥m，l⊥α，则 m⊥α D． 若 l∥α，α⊥β，则 l⊥β 考点： 空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系进行判断． 解答： 解：由 l、m 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，知： 若 l∥α，m∥α，则 l 与 m 相交、平行或异面，故 A 错误； 若 l∥α，l∥β，则 α 与 β 平行或相交，故 B 错误； 若 l∥m，l⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理知 m⊥α，故 C 正确； 若 l∥α，α⊥β，则 l 相交 β、平行或 l?β，故 D 错误． 故选：C． 点评： 本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间能力的培养． 8． （5 分）直线 y=﹣ 关系是（） A．直线过圆心 C． 直线与圆相切 x 绕原点按逆时针方向旋转 90°后所得直线与圆（x﹣2） +y =1 的位置 B． 直线与圆相交，但不过圆心 D．直线与圆没有公共点
2 2

考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 分析： 由题意可得，所得直线与原直线垂直，再利用点斜式求得所得直线的方程．再根据 圆心（2，0）到所得直线的距离正好等于圆的半径，可得所得 直线与圆相切． 解答： 解：把直线 y=﹣ x 绕原点按逆时针方向旋转 90°后所得直线与原直线垂直， 所得直线的斜率为 ，故所得直线的方程为 y= x，即 x﹣3y=0． =1，正好等于圆的半径，

再根据圆心（2，0）到所得直线
2 2

x﹣3y=0 的距离为

故所得直线与圆（x﹣2） +y =1 相切， 故选：C． 点评： 本题主要考查两直线垂直的性质，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应 用，属于基础题． 9． （5 分）平面 α 的斜线 l 与平面 α 所成的角是 45°，则 l 与平面 α 内所有不过斜足的直线所 成的角中，最大的角是（） A．45° B．90° C．135° D．60° 考点： 两直线的夹角与到角问题；直线与平面所成的角． 专题： 计算题． 分析： 根据斜线与平面所成角的范围，说明直线与斜线垂直时，所成角最大． 解答： 解：因为一个斜线跟平面上的直线所成的角要小于等于 90°， 在平面 α 任意做一条垂直于该斜线在平面 α 内的射影的直线，

该直线与斜线成 90°为最大角． 故选 B 点评： 本题考查两直线的夹角与到角问题，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，是 基础题． 10． （5 分）一个正八面体的八个顶点都在同一个球面上，如果该正八面体的棱长为 个球的表面积为（） A．π B．2π C ． 4π D． ．则这

考点： 球的体积和表面积． 专题： 综合题；空间位置关系与距离． 分析： 正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则其中四点所组成的截面在球的一个大圆 面上，可得，此四点组成的正方形是球的大圆的一个内接正方形，其对角线的长度即为球的直 径，由此求出球的表面积． 解答： 解：由题意正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则其中四点所组成的截面在球 的一个大圆面上， 因为正八面体的棱长为 ， 所以底面四点组成的正方形的对角线的长为 2，球的半径是 1 所以此球的表面积 4π． 故选：C． 点评： 本题考查球的表面积公式，解此题的关键是理解得出球的直径恰好是正八面体中间 那个正方形的对角线的长度． 11． （5 分）点 P（4，﹣2）与圆 x +y =4 上任一点连线的中点轨迹方程是（） 2 2 2 2 2 A．（x﹣2） +（y+1） =1 B．（x﹣2） +（y+1） =4 C． （x+4） +（y 2 2 2 ﹣2） =1 D． （x+2） +（y﹣1） =1 考点： 轨迹方程． 专题： 直线与圆．
2 2

分析： 设圆上任意一点为（x1，y1） ，中点为（x，y） ，则

，由此能够轨迹方程．

解答： 解：设圆上任意一点为（x1，y1） ，中点为（x，y） ，

则

代入 x +y =4 得（2x﹣4） +（2y+2） =4，化简得（x﹣2） +（y+1） =1．

2

2

2

2

2

2

故选 A． 点评： 本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用． ，a∈R}，若 A∩B 的

12． （5 分）设集合 A={（x，y）|y=x}与集合 B={（x，y）|x=a+ 元素只有一个，则实数 a 的取值范围是（） A．a=± B．﹣1＜a＜1 或 a=± ﹣1＜a≤1 或 a=﹣

C．

a=

或﹣1≤a＜1 D．

考点： 交集及其运算；元素与集合关系的判断． 专题： 集合． 分析： 利用数形结合求出 B 对应的图象，结合直线和圆的位置关系，即可得到结论． 解答： 解：由 x=a+ ，得（x﹣a） +y =1， （x≥a） ，
2 2

即集合 B 表示圆心在（a，0） ，半径为 1 的圆的右半部分， 由图象知当直线 y=x 经过点 A（a，1）时，直线和半圆有一个交点，此时 a=1， 当直线 y=x 经过点 B（a，﹣1）时，直线和半圆有 2 个交点，此时 a=﹣1， 当直线和半圆相切时，圆心（a，0）到直线 y=x 的距离 d= ，交点 a= （舍）或 a=﹣ ，

若 A∩B 的元素只有一个， 则 a=﹣ 或﹣1＜a≤1， 故选：D．

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．将答案填在答题卡的相应位置上.） 13． （4 分）若直线 y=3x+b 过圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心，则 b=5． 考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 2 2 分析： 把圆的方程化为标准形式，可得它的圆心，再根据直线 y=3x+b 过圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心，求出 b 的值． 2 2 2 2 解答： 解：圆 x +y +2x﹣4y=0 即圆（x+1） +（y﹣2） =5，它的圆心为（﹣1，2） ， 2 2 再根据直线 y=3x+b 过圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心，可得 2=﹣3+b，求得 b=5， 故答案为：5．
2 2

点评： 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，属于基础题． 14． （4 分）已知圆锥的轴截面是一个边长为 2 的正三角形，则圆锥的侧面积等于 2π． 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ． 专题： 计算题． 分析： 易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长× ． 解答： 解：∵圆锥的轴截面是一个边长为 2 的等边三角形， ∴底面半径=1，底面周长=2π， ∴圆锥的侧面积= ×2π×2=2π， 故答案为：2π． 点评： 本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式、圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求 解能力、化归与转化思想．属于基础题． 15． （4 分）在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则 =10．

考点： 向量在几何中的应用． 专题： 平面向量及应用． 分析： 建立坐标系，利用坐标法，确定 A，B，D，P 的坐标，求出相应的距离，即可得到 结论． 解答： 解：建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|=a，|CB|=b，则 A（a，0） ，B（0，b） ∵点 D 是斜边 AB 的中点， ∴ ，

∵点 P 为线段 CD 的中点， ∴P ∴ = = = ∴|PA| +|PB| = ∴ 故答案为：10 =10．
2 2

=10（

）=10|PC|

2

点评： 本题考查坐标法，考查距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 16． （4 分）如图是一几何体的平面展开图，其中 ABCD 为正方形，E，F 分别为 PA，PD 的中 点．在此几何体中，给出下面四个结论： ①B，E，F，C 四点共面； ②直线 BF 与 AE 异面； ③直线 EF∥平面 PBC； ④平面 BCE⊥平面 PAD； ． ⑤折线 B→E→F→C 是从 B 点出发，绕过三角形 PAD 面，到达点 C 的一条最短路径． 其中正确的有①②③． （请写出所有符合条件的序号）

考点： 棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： 首先可根据几何体的平面展开图画出其直观图，然后根据中位线的性质，两条平行 直线可确定一个平面， 异面直线的概念， 线面平行的判定定理， 二面角的平面角的定义及求法， 即可判断 每个结论的正误，而对于结论⑤，可画出该几何体沿底面正 方形的边，及侧棱 PD 剪开后所得的平面展开图，由该展开图即可求出从 B 点出发，绕过平面 PAD，到达点 C 的最 短距离，从而判断出该结论的正误． 解答： 解：根据几何体的平面展开图，画出它的直观图如下： ①根据已知，EF∥AD∥BC； ∴EF∥BC； ∴B，E，F，C 四点共面； ∴该结论正确； ②由图可看出 BF 和 AE 异面； ∴该结论正确； ③由①EF∥BC，EF?平面 PBC，BC?平面 PBC； ∴EF∥平面 PBC； ∴该结论正确； ④分别取 AD，EF，BC 的中点 G，H，M，并连接 GH，HM，MG，则 GH⊥EF，HM⊥EF； 而 EF 是平面 BCE 和平面 PAD 的交线； ∴∠GHM 为平面 BCE 与平面 PAD 形成的二面角的平面角； 若设该几何体的侧棱长为 2，则：

GH=

，HM=
2 2

，MG=2；
2

显然 GH +HM ≠MG ； ∴∠GHM≠90°； ∴平面 BCE 与平面 PAD 不垂直； ∴该结论错误； ⑤把该正四棱锥沿底面各边及侧棱 PD 剪开，得到的展开图如下：

BH⊥PA，∴B 到侧棱 PA 的最短距离为 BE，BE=

； ，NP= ；

过 E 作 EN⊥PD，则 EN 是点 E 到 PD 的最短距离，且 EN= 而 N 到 C 的最短距离便是线段 NC 的长，NC= ； ∴从 B 点出发，绕过 PAD 面到达 C 点的最短距离为 而 BE+EF+FC= ； ∴该结论错误； 综上得正确的结论为①②③． 故答案为：①②③．

；

点评： 考查中位线的性质，两平行直线可确定一个平面，能根据几何体的平面展开图画出 它的直观图，线面平行的判定定理，以及二面角的平面角的概念及求法，将立体图形转变成平 面图形解题的方法．

三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 17． （12 分）已知直线 l：kx﹣y+1﹣2k=0（k∈R） ． （1）证明：直线 l 过定点； （2）若直线 l 交 x 轴正半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，且|OA|=|OB|，求 k 的值． 考点： 恒过定点的直线． 专题： 计算题；直线与圆． 分析： （1）设直线过定点（x0，y0） ，则 kx0﹣y0+1﹣2k=0 对任意 k∈R 恒成立，即（x0﹣2） k﹣y0+1=0 恒成立，即可证明直线 l 过定点； （2）求出直线 l 在 y 轴上的截距为 1﹣2k，在 x 轴上的截距为 2﹣ ，利用|OA|=|OB|，即可求 k 的值． 解答： （1）证明：设直线过定点（x0，y0） ，则 kx0﹣y0+1﹣2k=0 对任意 k∈R 恒成立， 即（x0﹣2）k﹣y0+1=0 恒成立， ∴x0﹣2=0，﹣y0+1=0， 解得 x0=2，y0=1，故直线 l 总过定点（2，1） ．…（6 分） （2）解：因直线 l 的方程为 y=k x﹣2k+1， 则直线 l 在 y 轴上的截距为 1﹣2k，在 x 轴上的截距为 2﹣ ， 依题意：1﹣2k=2﹣ ＞0 解得 k=﹣1 或 k= （经检验，不合题意） 所以所求 k=﹣1 …（12 分） 点评： 本题考查恒过定点的直线，考查直线的一般式方程，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题． 18． （12 分）有 100 件规格相同的铁件（铁的密度是 7.8g/cm ） ，该铁件的三视图如图所示， 其中正视图， 侧视图均是由三角形与半圆构成， 俯视图由圆与内接三角形构成 （图中单位 cm） ． （1）指出该几何体的形状特征； （2）根据图中的数据，求出此几何体的体积； （3）问这 100 件铁件的质量大约有多重（π 取 3.1， 取 1.4）？
3

考点： 由三视图求面积、体积；简单空间图形的三视图． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （1）由三视图可知，该几何体是个组合体；上部分是个正三棱锥，其三条侧棱两两 垂直；下部分为一个半球；

（2）分别求出棱锥的体积和半球的体积，相加可得答案； （3）计算出这 100 件铁件 的体积和，乘以密度后可得质量． 解答： 解： （1）由三视图可知，该几何体是个组合体； 上部分是个正三棱锥，其三条侧棱两两垂直； 下部分为一个半球，并且正三棱锥的一个侧面与半球的底面相切．…（3 分）

（2）由图可知： 球半径 …（6 分） …（8 分） 所以该几何体体积 V= …（9 分）

…（5 分）

（3）这 100 件铁件的质量 m：

…（11 分）

答：这批铁件的质量超过 694g．…（12 分） 点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的 形状． 19． （12 分）已知点 M（2，0） ，两条直线 l1：2x+y﹣3=0 与 l2：3x﹣y+6=0，直线 l 经过点 M， 并且与两条直线 l1?l2 分别相交于 A（x1，y1）?B（x2，y2）两点，若 A 与 B 重合，求直线 l 的方程，若 x1+x2=0，求直线 l 的方程． 考点： 待定系数法求直线方程． 专题： 直线与圆． 分析： （1）若 A 与 B 重合，可得直线过 l1?l2 的交点 N 的坐标，可得方程； （2）①直线 l 过点 M 且斜率不存在时，不满足 x1+x2=0；②直线 l 过点 M 且斜率存在时， 设其方程为 y=k（x﹣2） ，分别解方程组可得 x1 和 x2，由 x1+x2=0 可得 k 的方程，解方程可得 k 值，可得直线方程． 解答： 解： （1）若 A 与 B 重合，则直线过 l1?l2 的交点 N， 联立 2x+y﹣3=0 与 3x﹣y+6=0 可解得 x= 且 y= ，

∴直线过点 M（2，0）和 N（

，

） ，

∴直线的斜率 kMN=

=

，

∴直线的方程为 y﹣0=

（x﹣2） ，即 21x+13y﹣42=0；

（2）①直线 l 过点 M 且斜率不存在时，不满足 x1+x2=0； ②直线 l 过点 M 且斜率存在时，设其方程为 y=k（x﹣2） ， 联立 y=k（x﹣2）和 2x+y﹣3=0 可解得 x1= 联立 y=k（x﹣2）和 3x﹣y+6=0 可解得 x2= ∵x1+x2=0，∴ 解得 k= + =0， （k≠﹣2） ， （k≠3） ，

或 k=﹣1，

可得方程为 x+y﹣2=0 或 3x+4y﹣6=0； 综合①②可得直线的方程为：21x+13y﹣42=0 或 x+y﹣2=0 或 3x+4y﹣6=0 点评： 本题考查待定系数法求直线的方程，涉及分类讨论的思想，属中档题． 20． （12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，O 是正方形 ABCD 的中心， PO⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点．求证： （Ⅰ）PA∥平面 BDE； （Ⅱ）平面 PAC⊥平面 BDE．

考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 专题： 空间角． 分析： 对（I） ，通过作平行线的方法，由线线平行来证线面平行． 对（II） ，只需证明平面 BDE 内的一条直线 BD 垂直于平面 PAC 内的两条 相交直线即可． 解答： 证明： （Ⅰ）连接 OE． ∵O 是 AC 的中点，E 是 PC 的中点， ∴OE∥AP， 又∵OE?平面 BDE，PA?平面 BDE，

∴PA∥平面 BDE． （Ⅱ）∵PO⊥底面 ABCD， PO⊥BD， 又∵AC⊥BD，且 AC∩PO=O， ∴BD⊥平面 PAC． ∵BD?平面 BDE， ∴平面 PAC⊥平面 BDE．

点评： 本题考查线面平行的判定与面面垂直的判定．证明线面平行常有两种思路：一是线 线平行?线面平行；二是面面平行?线面平行． 证明面面垂直的常用方法是：线面垂直?面面垂直． 21． （12 分）如图，已知正三角形 ABC 的边长为 6，将△ ABC 沿 BC 边上的高线 AO 折起， 使 BC=3 ，得到三棱锥 A﹣BOC．动点 D 在边 AB 上． （1）求证：OC⊥平面 AOB； （2）当点 D 为 AB 的中点时，求异面直线 AO、CD 所成角的正切值； （3）求当直线 CD 与平面 AOB 所成角最大时的正切值．

考点： 直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用． 分析： （1）对比折叠前后便可得出，AO⊥平面 BOC ，从而 OC⊥AO，并且可说明△ BOC 为直角三角形，OC⊥OD，从而得到 OC⊥平面 AOB； （2）根据上面可分别以 OC，OB，OA 三直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，从而求 出向量 ， 的坐标．设异面直线 AO、CD 所成角为 θ，由 cos 即

可求出 cosθ，再求出 sinθ，从而求出 tanθ；

（3）根据条件并结合图形可设 D（ 设直线 CD 与平面 AOB 所成角为 α， 从而根据 sin

） ，并且说明

是平面 AOB 的法向量， 即可求得 α 最大时

sinα 值，从而求出 cosα，tanα． 解答： 解： （1）证明：根据条件，AO⊥OB，AO⊥OC，OB∩OC=O； ∴AO⊥底面 BCO，OC?平面 BCO； ∴AO⊥OC，即 OC⊥AO； 又 OB=OC=3，BC=3 ； 2 2 2 ∴OB +OC =BC ； ∴OC⊥OB，AO∩OB=O； ∴OC⊥平面 AOB； ∴OC，OB，OA 三直线两两垂直，分别以这三直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐 标系，则：

O（0，0，0） ，A（0，0，3 C（3，0，0） ； D 为 AB 中点，∴D（0， ∴ ， ） ； ；

） ，B（0，3，0） ，

设异面直线 AO，CD 所成角为 θ，则 cosθ=|cos ∴ ，tan ； ；

|=

；

即异面直线 AO、CD 所成角的正切值为

（3）由（1）知， 为 α，D（0， sin ） ， （ =

为平面 AOB 的法向量，设直线 CD 与平面 AOB 所成角 ） ，则： = ；

∴

时，sinα 取最大值 ，tanα= ；

，此时 α 最大；

∴此时 cosα=

∴当直线 CD 与平面 AOB 所成角最大时的正切值为

．

点评： 考查对折叠前后图形的认识，线面垂直的判定，线面垂直的性质，以及通过建立空 间直角坐标系，利用空间向量求线线角及线面角的方法，平面法向量的概念，直线和平面所成 角与直线的方向向量和平面法向量夹角的关系，以及清楚异面直线所成角和线面角的范围． 22． （14 分） 已知圆 C： x +y ﹣2x+4my+4m =0， 圆 C1： x +y =25， 以及直线 l： 3x﹣4y﹣15=0． 2 2 （1）求圆 C1：x +y =25 被直线 l 截得的弦长； （2）当 m 为何值时，圆 C 与圆 C1 的公共弦平行于直线 l； （3）是否存在 m，使得圆 C 被直线 l 所截的弦 AB 中点到点 P（2，0）距离等于弦 AB 长度 的一半？若存在，求圆 C 的方程；若不存在，请说明理由． 考点： 相交弦所在直线的方程；圆与圆的位置关系及其判定． 专题： 直线与圆． 分析： （1）根据直线和圆相交的弦长公式即可求圆 C1：x +y =25 被直线 l 截得的弦长； （2）求出两圆的公共弦结合直线平行的条件即可求出直线 l； （3）根据两点间的距离公式结合弦长关系即可得到结论． 解答： 解： （1）因为圆 的圆心 O（0，0） ，半径 r=5，
2 2 2 2 2 2 2

所以，圆心 O 到直线 l：3x﹣4y﹣15=0 的距离 d： 知， 圆 被直线 l 截得的弦长为
2

，由勾股定理可

．…（4 分）

（2）圆 C 与圆 C1 的公共弦方程为 2x﹣4my﹣4m ﹣25=0， 因为该公共弦平行于直线 3x﹣4y﹣15=0， 则 ≠ ，

解得：m= …（7 分） 经检验 m= 符合题意，故所求 m= ； …（8 分）

（3）假设这样实数 m 存在． 设弦 AB 中点为 M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM| 所以点 P（2，0）在以弦 AB 为直径的圆上． …（10 分） 2 2 2 设以弦 AB 为直径的圆方程为：x +y ﹣2x+4my+4m +λ（3x﹣4y﹣15）=0，

则
2 2

消去 λ 得：100m ﹣144m+216=0，25m ﹣36m+54=0 2 因为△ =36 ﹣4×25×54=36（36﹣25×6）＜0 2 所以方程 25m ﹣36m+54=0 无实数根， 所以，假设不成立，即这样的圆不存在． …（14 分） 点评： 本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考 查学生的计算能力．