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福建省福州市八县一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


福建省福州市八县一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题意要求的.) 1. (5 分)用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆,则这个几何体一定是() A.圆柱 B. 圆锥 C. 球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 2. (5 分)已知 A(﹣1,3) 、B(3,﹣1) ,则直线 AB 的倾斜角为() A.45° B.60° C.120° D.135° 3. (5 分)已知直线 l1:y=2x+1,若直线 l2 与 l1 关于直线 x=1 对称,则 l2 的斜率为() A.﹣2 B. ﹣ C. D.2

4. (5 分)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是() A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B. l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C. l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 5. (5 分)在空间直角坐标系中一点 P(1,3,4)到 x 轴的距离是() A.5 B. C. D. 6. (5 分)若两条平行线 l1,l2 的方程分别是 2x+3my﹣m+2=0,mx+6y﹣4=0,记 l1,l2 之间 的距离为 d,则 m,d 分别为() A.m= 2,d= B.m=2,d= C.m=2,d= D.m=﹣2,d=

7. (5 分)设 l、m 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列论述正确的是() A.若 l∥α,m∥α,则 l∥m B. 若 l∥α,l∥β,则 α∥β C. 若 l∥m,l⊥α,则 m⊥α D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 8. (5 分)直线 y=﹣ 关系是() A.直线过圆心 C. 直线与圆相切 x 绕原点按逆时针方向旋转 90°后所得直线与圆(x﹣2) +y =1 的位置 B. 直线与圆相交,但不过圆心 D.直线与圆没有公共点
2 2

9. (5 分)平面 α 的斜线 l 与平面 α 所成的角是 45°,则 l 与平面 α 内所有不过斜足的直线所 成的角中,最大的角是() A.45° B.90° C.135° D.60°

10. (5 分)一个正八面体的八个顶点都在同一个球面上,如果该正八面体的棱长为 个球的表面积为() A.π B.2π
2 2

.则这

C . 4π

D.

11. (5 分)点 P(4,﹣2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点轨迹方程是() 2 2 2 2 2 A.(x﹣2) +(y+1) =1 B.(x﹣2) +(y+1) =4 C. (x+4) +(y 2 2 2 ﹣2) =1 D. (x+2) +(y﹣1) =1 12. (5 分)设集合 A={(x,y)|y=x}与集合 B={(x,y)|x=a+ 元素只有一个,则实数 a 的取值范围是() A.a=± B.﹣1<a<1 或 a=± ﹣1<a≤1 或 a=﹣ ,a∈R},若 A∩B 的

C.

a=

或﹣1≤a<1 D.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置上.) 13. (4 分)若直线 y=3x+b 过圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心,则 b=. 14. (4 分)已知圆锥的轴截面是一个边长为 2 的正三角形,则圆锥的侧面积等于. 15. (4 分)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 =.
2 2

16. (4 分)如图是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中 点.在此几何体中,给出下面四个结论: ①B,E,F,C 四点共面; ②直线 BF 与 AE 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD; . ⑤折线 B→E→F→C 是从 B 点出发,绕过三角形 PAD 面,到达点 C 的一条最短路径. 其中正确的有. (请写出所有符合条件的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) 17. (12 分)已知直线 l:kx﹣y+1﹣2k=0(k∈R) .

(1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 交 x 轴正半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,且|OA|=|OB|,求 k 的值. 18. (12 分)有 100 件规格相同的铁件(铁的密度是 7.8g/cm ) ,该铁件的三视图如图所示, 其中正视图, 侧视图均是由三角形与半圆构成, 俯视图由圆与内接三角形构成 (图中单位 cm) . (1)指出该几何体的形状特征; (2)根据图中的数据,求出此几何体的体积; (3)问这 100 件铁件的质量大约有多重(π 取 3.1, 取 1.4)?
3

19. (12 分)已知点 M(2,0) ,两条直线 l1:2x+y﹣3=0 与 l2:3x﹣y+6=0,直线 l 经过点 M, 并且与两条直线 l1?l2 分别相交于 A(x1,y1)?B(x2,y2)两点,若 A 与 B 重合,求直线 l 的方程,若 x1+x2=0,求直线 l 的方程. 20. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,O 是正方形 ABCD 的中心, PO⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.求证: (Ⅰ)PA∥平面 BDE; (Ⅱ)平面 PAC⊥平面 BDE.

21. (12 分)如图,已知正三角形 ABC 的边长为 6,将△ ABC 沿 BC 边上的高线 AO 折起, 使 BC=3 ,得到三棱锥 A﹣BOC.动点 D 在边 AB 上. (1)求证:OC⊥平面 AOB; (2)当点 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO、CD 所成角的正切值; (3)求当直线 CD 与平面 AOB 所成角最大时的正切值.

22. (14 分) 已知圆 C: x +y ﹣2x+4my+4m =0, 圆 C1: x +y =25, 以及直线 l: 3x﹣4y﹣15=0. 2 2 (1)求圆 C1:x +y =25 被直线 l 截得的弦长; (2)当 m 为何值时,圆 C 与圆 C1 的公共弦平行于直线 l; (3)是否存在 m,使得圆 C 被直线 l 所截的弦 AB 中点到点 P(2,0)距离等于弦 AB 长度 的一半?若存在,求圆 C 的方程;若不存在,请说明理由.

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福建省福州市八县一中 2014-2015 学年高一上学期期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题意要求的.) 1. (5 分)用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆,则这个几何体一定是() A.圆柱 B. 圆锥 C. 球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 考点: 平行投影及平行投影作图法. 专题: 常规题型;空间位置关系与距离. 分析: 由各个截面都是圆知是球体. 解答: 解:∵各个截面都是圆, ∴这个几何体一定是球体, 故选 C. 点评: 本题考查了球的结构特征,属于基础题. 2. (5 分)已知 A(﹣1,3) 、B(3,﹣1) ,则直线 AB 的倾斜角为() A.45° B.60° C.120° D.135° 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的倾斜角. 直线与圆. 先求出直线的斜率,再求出直线的倾斜角. 解:∵A(﹣1,3) 、B(3,﹣1) ,

∴kAB=

=﹣1,

∴直线 AB 的倾斜角 α=135°. 故选:D. 点评: 本题考查直线的倾斜角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意斜率公式的合 理运用. 3. (5 分)已知直线 l1:y=2x+1,若直线 l2 与 l1 关于直线 x=1 对称,则 l2 的斜率为() A.﹣2 B. ﹣ C. D.2

考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知条件作出直线 l1,直线 l2 与直线 x=1 的图象,结合图象,得到直线 l2 与 l1 的 倾斜角互补,由此能求出 l2 的斜率. 解答: 解:∵直线 l1:y=2x+1,直线 l2 与 l1 关于直线 x=1 对称, 作出图象,如图, 结合图象,得直线 l2 与 l1 的倾斜角互补, ∵直线 l1:y=2x+1 的斜率 k=2, ∴l2 的斜率为 k′=﹣2. 故选:A.

点评: 本题考查直线的斜率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意数形结合思想的 合理运用. 4. (5 分)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是() A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B. l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C. l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 考点: 平面的基本性质及推论;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题.

分析: 通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为 90°;判断出 B 对;通过举常见的图 形中的边、面的关系说明命题错误. 解答: 解:对于 A,通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,A 错; 对于 B,∵l1⊥l2,∴l1,l2 所成的角是 90°,又∵l2∥l3∴l1,l3 所成的角是 90°∴l1⊥l3,B 对; 对于 C,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故 C 错; 对于 D,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故 D 错. 故选 B. 点评: 本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面 的位置关系得到启示. 5. (5 分)在空间直角坐标系中一点 P(1,3,4)到 x 轴的距离是() A.5 B. C. D. 考点: 空间两点间的距离公式. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 欲求 P(1,3,4)到 x 轴的距离,转化为长方体中求点到棱的距离即可,利用长方 体的性质得,即求某个面上对角线的长. 解答: 解:∵点(x,y,z)到 x 轴的距离 d 等于: d= .

∴点 P(1,3,4)到 x 轴的距离 d 等于: d= =5.

故选:A. 点评: 本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用等基础知识,考 查运算求解能力,考查空间想象力.属于基础题. 6. (5 分)若两条平行线 l1,l2 的方程分别是 2x+3my﹣m+2=0,mx+6y﹣4=0,记 l1,l2 之间 的距离为 d,则 m,d 分别为() A.m=2,d= B.m=2,d= C.m=2,d= D.m=﹣2,d=

考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 直线与圆. 分析: 直接利用两条直线平行求出 m,通过平行线之间的距离求出 d 即可. 解答: 解:两条平行线 l1,l2 的方程分别是 2x+3my﹣m+2=0,mx+6y﹣4=0, 可得: ,解得 m=2,

两条平行线 l1,l2 的方程分别是 2x+6y=0,2x+6y﹣4=0, 平行线之间的距离为:d= = .

故选:B. 点评: 本题考查平行线的应用,平行线之间的距离的求法,考查计算能力.

7. (5 分)设 l、m 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列论述正确的是() A.若 l∥α,m∥α,则 l∥m B. 若 l∥α,l∥β,则 α∥β C. 若 l∥m,l⊥α,则 m⊥α D. 若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系进行判断. 解答: 解:由 l、m 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,知: 若 l∥α,m∥α,则 l 与 m 相交、平行或异面,故 A 错误; 若 l∥α,l∥β,则 α 与 β 平行或相交,故 B 错误; 若 l∥m,l⊥α,则由直线与平面垂直的判定定理知 m⊥α,故 C 正确; 若 l∥α,α⊥β,则 l 相交 β、平行或 l?β,故 D 错误. 故选:C. 点评: 本题考查命题的真假判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间能力的培养. 8. (5 分)直线 y=﹣ 关系是() A.直线过圆心 C. 直线与圆相切 x 绕原点按逆时针方向旋转 90°后所得直线与圆(x﹣2) +y =1 的位置 B. 直线与圆相交,但不过圆心 D.直线与圆没有公共点
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得,所得直线与原直线垂直,再利用点斜式求得所得直线的方程.再根据 圆心(2,0)到所得直线的距离正好等于圆的半径,可得所得 直线与圆相切. 解答: 解:把直线 y=﹣ x 绕原点按逆时针方向旋转 90°后所得直线与原直线垂直, 所得直线的斜率为 ,故所得直线的方程为 y= x,即 x﹣3y=0. =1,正好等于圆的半径,

再根据圆心(2,0)到所得直线
2 2

x﹣3y=0 的距离为

故所得直线与圆(x﹣2) +y =1 相切, 故选:C. 点评: 本题主要考查两直线垂直的性质,直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的应 用,属于基础题. 9. (5 分)平面 α 的斜线 l 与平面 α 所成的角是 45°,则 l 与平面 α 内所有不过斜足的直线所 成的角中,最大的角是() A.45° B.90° C.135° D.60° 考点: 两直线的夹角与到角问题;直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 根据斜线与平面所成角的范围,说明直线与斜线垂直时,所成角最大. 解答: 解:因为一个斜线跟平面上的直线所成的角要小于等于 90°, 在平面 α 任意做一条垂直于该斜线在平面 α 内的射影的直线,

该直线与斜线成 90°为最大角. 故选 B 点评: 本题考查两直线的夹角与到角问题,直线与平面所成的角,考查空间想象能力,是 基础题. 10. (5 分)一个正八面体的八个顶点都在同一个球面上,如果该正八面体的棱长为 个球的表面积为() A.π B.2π C . 4π D. .则这

考点: 球的体积和表面积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则其中四点所组成的截面在球的一个大圆 面上,可得,此四点组成的正方形是球的大圆的一个内接正方形,其对角线的长度即为球的直 径,由此求出球的表面积. 解答: 解:由题意正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则其中四点所组成的截面在球 的一个大圆面上, 因为正八面体的棱长为 , 所以底面四点组成的正方形的对角线的长为 2,球的半径是 1 所以此球的表面积 4π. 故选:C. 点评: 本题考查球的表面积公式,解此题的关键是理解得出球的直径恰好是正八面体中间 那个正方形的对角线的长度. 11. (5 分)点 P(4,﹣2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点轨迹方程是() 2 2 2 2 2 A.(x﹣2) +(y+1) =1 B.(x﹣2) +(y+1) =4 C. (x+4) +(y 2 2 2 ﹣2) =1 D. (x+2) +(y﹣1) =1 考点: 轨迹方程. 专题: 直线与圆.
2 2

分析: 设圆上任意一点为(x1,y1) ,中点为(x,y) ,则

,由此能够轨迹方程.

解答: 解:设圆上任意一点为(x1,y1) ,中点为(x,y) ,



代入 x +y =4 得(2x﹣4) +(2y+2) =4,化简得(x﹣2) +(y+1) =1.

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2

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故选 A. 点评: 本题考查点的轨迹方程,解题时要仔细审题,注意公式的灵活运用. ,a∈R},若 A∩B 的

12. (5 分)设集合 A={(x,y)|y=x}与集合 B={(x,y)|x=a+ 元素只有一个,则实数 a 的取值范围是() A.a=± B.﹣1<a<1 或 a=± ﹣1<a≤1 或 a=﹣

C.

a=

或﹣1≤a<1 D.

考点: 交集及其运算;元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 利用数形结合求出 B 对应的图象,结合直线和圆的位置关系,即可得到结论. 解答: 解:由 x=a+ ,得(x﹣a) +y =1, (x≥a) ,
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即集合 B 表示圆心在(a,0) ,半径为 1 的圆的右半部分, 由图象知当直线 y=x 经过点 A(a,1)时,直线和半圆有一个交点,此时 a=1, 当直线 y=x 经过点 B(a,﹣1)时,直线和半圆有 2 个交点,此时 a=﹣1, 当直线和半圆相切时,圆心(a,0)到直线 y=x 的距离 d= ,交点 a= (舍)或 a=﹣ ,

若 A∩B 的元素只有一个, 则 a=﹣ 或﹣1<a≤1, 故选:D.

点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置上.) 13. (4 分)若直线 y=3x+b 过圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心,则 b=5. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 2 2 分析: 把圆的方程化为标准形式,可得它的圆心,再根据直线 y=3x+b 过圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心,求出 b 的值. 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y +2x﹣4y=0 即圆(x+1) +(y﹣2) =5,它的圆心为(﹣1,2) , 2 2 再根据直线 y=3x+b 过圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心,可得 2=﹣3+b,求得 b=5, 故答案为:5.
2 2

点评: 本题主要考查圆的标准方程,直线和圆的位置关系,属于基础题. 14. (4 分)已知圆锥的轴截面是一个边长为 2 的正三角形,则圆锥的侧面积等于 2π. 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: 易得圆锥的底面半径及母线长,那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长× . 解答: 解:∵圆锥的轴截面是一个边长为 2 的等边三角形, ∴底面半径=1,底面周长=2π, ∴圆锥的侧面积= ×2π×2=2π, 故答案为:2π. 点评: 本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式、圆锥的轴截面等基础知识,考查运算求 解能力、化归与转化思想.属于基础题. 15. (4 分)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 =10.

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 建立坐标系,利用坐标法,确定 A,B,D,P 的坐标,求出相应的距离,即可得到 结论. 解答: 解:建立如图所示的平面直角坐标系,设|CA|=a,|CB|=b,则 A(a,0) ,B(0,b) ∵点 D 是斜边 AB 的中点, ∴ ,

∵点 P 为线段 CD 的中点, ∴P ∴ = = = ∴|PA| +|PB| = ∴ 故答案为:10 =10.
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=10(

)=10|PC|

2

点评: 本题考查坐标法,考查距离公式的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 16. (4 分)如图是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中 点.在此几何体中,给出下面四个结论: ①B,E,F,C 四点共面; ②直线 BF 与 AE 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD; . ⑤折线 B→E→F→C 是从 B 点出发,绕过三角形 PAD 面,到达点 C 的一条最短路径. 其中正确的有①②③. (请写出所有符合条件的序号)

考点: 棱锥的结构特征;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: 首先可根据几何体的平面展开图画出其直观图,然后根据中位线的性质,两条平行 直线可确定一个平面, 异面直线的概念, 线面平行的判定定理, 二面角的平面角的定义及求法, 即可判断 每个结论的正误,而对于结论⑤,可画出该几何体沿底面正 方形的边,及侧棱 PD 剪开后所得的平面展开图,由该展开图即可求出从 B 点出发,绕过平面 PAD,到达点 C 的最 短距离,从而判断出该结论的正误. 解答: 解:根据几何体的平面展开图,画出它的直观图如下: ①根据已知,EF∥AD∥BC; ∴EF∥BC; ∴B,E,F,C 四点共面; ∴该结论正确; ②由图可看出 BF 和 AE 异面; ∴该结论正确; ③由①EF∥BC,EF?平面 PBC,BC?平面 PBC; ∴EF∥平面 PBC; ∴该结论正确; ④分别取 AD,EF,BC 的中点 G,H,M,并连接 GH,HM,MG,则 GH⊥EF,HM⊥EF; 而 EF 是平面 BCE 和平面 PAD 的交线; ∴∠GHM 为平面 BCE 与平面 PAD 形成的二面角的平面角; 若设该几何体的侧棱长为 2,则:

GH=

,HM=
2 2

,MG=2;
2

显然 GH +HM ≠MG ; ∴∠GHM≠90°; ∴平面 BCE 与平面 PAD 不垂直; ∴该结论错误; ⑤把该正四棱锥沿底面各边及侧棱 PD 剪开,得到的展开图如下:

BH⊥PA,∴B 到侧棱 PA 的最短距离为 BE,BE=

; ,NP= ;

过 E 作 EN⊥PD,则 EN 是点 E 到 PD 的最短距离,且 EN= 而 N 到 C 的最短距离便是线段 NC 的长,NC= ; ∴从 B 点出发,绕过 PAD 面到达 C 点的最短距离为 而 BE+EF+FC= ; ∴该结论错误; 综上得正确的结论为①②③. 故答案为:①②③.



点评: 考查中位线的性质,两平行直线可确定一个平面,能根据几何体的平面展开图画出 它的直观图,线面平行的判定定理,以及二面角的平面角的概念及求法,将立体图形转变成平 面图形解题的方法.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) 17. (12 分)已知直线 l:kx﹣y+1﹣2k=0(k∈R) . (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 交 x 轴正半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,且|OA|=|OB|,求 k 的值. 考点: 恒过定点的直线. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)设直线过定点(x0,y0) ,则 kx0﹣y0+1﹣2k=0 对任意 k∈R 恒成立,即(x0﹣2) k﹣y0+1=0 恒成立,即可证明直线 l 过定点; (2)求出直线 l 在 y 轴上的截距为 1﹣2k,在 x 轴上的截距为 2﹣ ,利用|OA|=|OB|,即可求 k 的值. 解答: (1)证明:设直线过定点(x0,y0) ,则 kx0﹣y0+1﹣2k=0 对任意 k∈R 恒成立, 即(x0﹣2)k﹣y0+1=0 恒成立, ∴x0﹣2=0,﹣y0+1=0, 解得 x0=2,y0=1,故直线 l 总过定点(2,1) .…(6 分) (2)解:因直线 l 的方程为 y=k x﹣2k+1, 则直线 l 在 y 轴上的截距为 1﹣2k,在 x 轴上的截距为 2﹣ , 依题意:1﹣2k=2﹣ >0 解得 k=﹣1 或 k= (经检验,不合题意) 所以所求 k=﹣1 …(12 分) 点评: 本题考查恒过定点的直线,考查直线的一般式方程,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 18. (12 分)有 100 件规格相同的铁件(铁的密度是 7.8g/cm ) ,该铁件的三视图如图所示, 其中正视图, 侧视图均是由三角形与半圆构成, 俯视图由圆与内接三角形构成 (图中单位 cm) . (1)指出该几何体的形状特征; (2)根据图中的数据,求出此几何体的体积; (3)问这 100 件铁件的质量大约有多重(π 取 3.1, 取 1.4)?
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考点: 由三视图求面积、体积;简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由三视图可知,该几何体是个组合体;上部分是个正三棱锥,其三条侧棱两两 垂直;下部分为一个半球;

(2)分别求出棱锥的体积和半球的体积,相加可得答案; (3)计算出这 100 件铁件 的体积和,乘以密度后可得质量. 解答: 解: (1)由三视图可知,该几何体是个组合体; 上部分是个正三棱锥,其三条侧棱两两垂直; 下部分为一个半球,并且正三棱锥的一个侧面与半球的底面相切.…(3 分)

(2)由图可知: 球半径 …(6 分) …(8 分) 所以该几何体体积 V= …(9 分)

…(5 分)

(3)这 100 件铁件的质量 m:

…(11 分)

答:这批铁件的质量超过 694g.…(12 分) 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 19. (12 分)已知点 M(2,0) ,两条直线 l1:2x+y﹣3=0 与 l2:3x﹣y+6=0,直线 l 经过点 M, 并且与两条直线 l1?l2 分别相交于 A(x1,y1)?B(x2,y2)两点,若 A 与 B 重合,求直线 l 的方程,若 x1+x2=0,求直线 l 的方程. 考点: 待定系数法求直线方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)若 A 与 B 重合,可得直线过 l1?l2 的交点 N 的坐标,可得方程; (2)①直线 l 过点 M 且斜率不存在时,不满足 x1+x2=0;②直线 l 过点 M 且斜率存在时, 设其方程为 y=k(x﹣2) ,分别解方程组可得 x1 和 x2,由 x1+x2=0 可得 k 的方程,解方程可得 k 值,可得直线方程. 解答: 解: (1)若 A 与 B 重合,则直线过 l1?l2 的交点 N, 联立 2x+y﹣3=0 与 3x﹣y+6=0 可解得 x= 且 y= ,

∴直线过点 M(2,0)和 N(



) ,

∴直线的斜率 kMN=

=



∴直线的方程为 y﹣0=

(x﹣2) ,即 21x+13y﹣42=0;

(2)①直线 l 过点 M 且斜率不存在时,不满足 x1+x2=0; ②直线 l 过点 M 且斜率存在时,设其方程为 y=k(x﹣2) , 联立 y=k(x﹣2)和 2x+y﹣3=0 可解得 x1= 联立 y=k(x﹣2)和 3x﹣y+6=0 可解得 x2= ∵x1+x2=0,∴ 解得 k= + =0, (k≠﹣2) , (k≠3) ,

或 k=﹣1,

可得方程为 x+y﹣2=0 或 3x+4y﹣6=0; 综合①②可得直线的方程为:21x+13y﹣42=0 或 x+y﹣2=0 或 3x+4y﹣6=0 点评: 本题考查待定系数法求直线的方程,涉及分类讨论的思想,属中档题. 20. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,O 是正方形 ABCD 的中心, PO⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.求证: (Ⅰ)PA∥平面 BDE; (Ⅱ)平面 PAC⊥平面 BDE.

考点: 直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间角. 分析: 对(I) ,通过作平行线的方法,由线线平行来证线面平行. 对(II) ,只需证明平面 BDE 内的一条直线 BD 垂直于平面 PAC 内的两条 相交直线即可. 解答: 证明: (Ⅰ)连接 OE. ∵O 是 AC 的中点,E 是 PC 的中点, ∴OE∥AP, 又∵OE?平面 BDE,PA?平面 BDE,

∴PA∥平面 BDE. (Ⅱ)∵PO⊥底面 ABCD, PO⊥BD, 又∵AC⊥BD,且 AC∩PO=O, ∴BD⊥平面 PAC. ∵BD?平面 BDE, ∴平面 PAC⊥平面 BDE.

点评: 本题考查线面平行的判定与面面垂直的判定.证明线面平行常有两种思路:一是线 线平行?线面平行;二是面面平行?线面平行. 证明面面垂直的常用方法是:线面垂直?面面垂直. 21. (12 分)如图,已知正三角形 ABC 的边长为 6,将△ ABC 沿 BC 边上的高线 AO 折起, 使 BC=3 ,得到三棱锥 A﹣BOC.动点 D 在边 AB 上. (1)求证:OC⊥平面 AOB; (2)当点 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO、CD 所成角的正切值; (3)求当直线 CD 与平面 AOB 所成角最大时的正切值.

考点: 直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (1)对比折叠前后便可得出,AO⊥平面 BOC ,从而 OC⊥AO,并且可说明△ BOC 为直角三角形,OC⊥OD,从而得到 OC⊥平面 AOB; (2)根据上面可分别以 OC,OB,OA 三直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,从而求 出向量 , 的坐标.设异面直线 AO、CD 所成角为 θ,由 cos 即

可求出 cosθ,再求出 sinθ,从而求出 tanθ;

(3)根据条件并结合图形可设 D( 设直线 CD 与平面 AOB 所成角为 α, 从而根据 sin

) ,并且说明

是平面 AOB 的法向量, 即可求得 α 最大时

sinα 值,从而求出 cosα,tanα. 解答: 解: (1)证明:根据条件,AO⊥OB,AO⊥OC,OB∩OC=O; ∴AO⊥底面 BCO,OC?平面 BCO; ∴AO⊥OC,即 OC⊥AO; 又 OB=OC=3,BC=3 ; 2 2 2 ∴OB +OC =BC ; ∴OC⊥OB,AO∩OB=O; ∴OC⊥平面 AOB; ∴OC,OB,OA 三直线两两垂直,分别以这三直线为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐 标系,则:

O(0,0,0) ,A(0,0,3 C(3,0,0) ; D 为 AB 中点,∴D(0, ∴ , ) ; ;

) ,B(0,3,0) ,

设异面直线 AO,CD 所成角为 θ,则 cosθ=|cos ∴ ,tan ; ;

|=



即异面直线 AO、CD 所成角的正切值为

(3)由(1)知, 为 α,D(0, sin ) , ( =

为平面 AOB 的法向量,设直线 CD 与平面 AOB 所成角 ) ,则: = ;



时,sinα 取最大值 ,tanα= ;

,此时 α 最大;

∴此时 cosα=

∴当直线 CD 与平面 AOB 所成角最大时的正切值为



点评: 考查对折叠前后图形的认识,线面垂直的判定,线面垂直的性质,以及通过建立空 间直角坐标系,利用空间向量求线线角及线面角的方法,平面法向量的概念,直线和平面所成 角与直线的方向向量和平面法向量夹角的关系,以及清楚异面直线所成角和线面角的范围. 22. (14 分) 已知圆 C: x +y ﹣2x+4my+4m =0, 圆 C1: x +y =25, 以及直线 l: 3x﹣4y﹣15=0. 2 2 (1)求圆 C1:x +y =25 被直线 l 截得的弦长; (2)当 m 为何值时,圆 C 与圆 C1 的公共弦平行于直线 l; (3)是否存在 m,使得圆 C 被直线 l 所截的弦 AB 中点到点 P(2,0)距离等于弦 AB 长度 的一半?若存在,求圆 C 的方程;若不存在,请说明理由. 考点: 相交弦所在直线的方程;圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: (1)根据直线和圆相交的弦长公式即可求圆 C1:x +y =25 被直线 l 截得的弦长; (2)求出两圆的公共弦结合直线平行的条件即可求出直线 l; (3)根据两点间的距离公式结合弦长关系即可得到结论. 解答: 解: (1)因为圆 的圆心 O(0,0) ,半径 r=5,
2 2 2 2 2 2 2

所以,圆心 O 到直线 l:3x﹣4y﹣15=0 的距离 d: 知, 圆 被直线 l 截得的弦长为
2

,由勾股定理可

.…(4 分)

(2)圆 C 与圆 C1 的公共弦方程为 2x﹣4my﹣4m ﹣25=0, 因为该公共弦平行于直线 3x﹣4y﹣15=0, 则 ≠ ,

解得:m= …(7 分) 经检验 m= 符合题意,故所求 m= ; …(8 分)

(3)假设这样实数 m 存在. 设弦 AB 中点为 M,由已知得|AB|=2|PM|,即|AM|=|BM|=|PM| 所以点 P(2,0)在以弦 AB 为直径的圆上. …(10 分) 2 2 2 设以弦 AB 为直径的圆方程为:x +y ﹣2x+4my+4m +λ(3x﹣4y﹣15)=0,


2 2

消去 λ 得:100m ﹣144m+216=0,25m ﹣36m+54=0 2 因为△ =36 ﹣4×25×54=36(36﹣25×6)<0 2 所以方程 25m ﹣36m+54=0 无实数根, 所以,假设不成立,即这样的圆不存在. …(14 分) 点评: 本题主要考查圆与圆的位置关系的应用,以及直线和圆相交的弦长公式的计算,考 查学生的计算能力.


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