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一元一次方程应用题归类汇集(实用)


一元一次方程应用题归类汇集 一、列方程解应用题的一般步骤(解题思路) (1)审—审题:认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系(找出等量关系). (2)设—设出未知数:根据提问,巧设未知数. (3)列—列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程. (4)解——解方程:解所列的方程,求出未知数的值. (5)答—检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案.(注意带 上单位) 二、各类题型解法分析 一元一次方程应用题归类汇集: 行程问题,工程问题,和差倍分问题(生产、做工等各类问题), 等积变形问题,调配问题,分配问题,配套问题,增长率问题, 数字问题,方案设计 ,古典数学问题等。 第一类、行程问题 基本的数量关系: (1)路程=速度×时间 ⑵ 速度=路程÷时间 ⑶ 时间=路程÷速度 要特别注意:路程、速度、时间的对应关系(即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少) 常用的等量关系: 1、甲、乙二人相向相遇问题 ⑴甲走的路程+乙走的路程=总路程 ⑵二人所用的时间相等或有提前量 2、甲、乙二人中,慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题 ⑴甲走的路程-乙走的路程=提前量 ⑵二人所用的时间相等或有提前量 3、单人往返 ⑴ 各段路程和=总路程 ⑵ 各段时间和=总时间 ⑶ 匀速行驶时速度不变 4、行船问题与飞机飞行问题 ⑴ 顺水速度=静水速度+水流速度 ⑵ 逆水速度=静水速度-水流速度 5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题 将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析,一切就一目了然。 6、时钟问题: ⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究 ⑵ 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。 常用数据:① 时针的速度是 0.5°/分 ② 分针的速度是 6°/分 ③ 秒针的速度是 6°/秒 一、一般行程问题(相遇与追击问题) 1、从甲地到乙地,某人步行比乘公交车多用 3.6 小时,已知步行速度为每小时 8 千米,公交车的速度为每小时 40 千米,设甲、乙两地相距 x 千米,则列方程为 。 解:等量关系 步行时间-乘公交车的时间=3.6 小时 列出方程是:

x x ? ? 3.6 8 40

2、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行 15 千米,可比预定时间早到 15 分钟;若每小时行 9 千米,可比预定 时间晚到 15 分钟;求从家里到学校的路程有多少千米? 解:方法一:设预定时间为 x 小/时,则列出方程是:15(x-0.25)=9(x+0.25) 方法二:设从家里到学校有 x 千米,则列出方程是:

x 15 x 15 ? ? ? 15 60 9 60

3、一列客车车长 200 米,一列货车车长 280 米,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车车尾完全离开经 过 16 秒,已知客车与货车的速度之比是 3:2,问两车每秒各行驶多少米? 老师提醒:将两车车尾视为两人,并且以两车车长和为总路程的相遇问题。 等量关系:快车行的路程+慢车行的路程=两列火车的车长之和 设客车的速度为 3x 米/秒,货车的速度为 2x 米/秒,则 16×3x+16×2x=200+280
1

4、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家,我们走了 1 小时后,爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里,便立刻带 上礼品以每小时 6 千米的速度去追我们,如果我和妈妈每小时行 2 千米,从家里到外婆家需要 1 小时 45 分钟, 问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗? (提示:此题为典型的追击问题) 解:设爸爸用 x 小时追上我们,则 6x=2x+2×1 解得 x=0.5 0.5 小时<1 小时 45 分钟 答:能追上。 5、甲、乙两人相距 5 千米,分别以 2 千米/时的速度相向而行,同时一只小狗以 12 千米/时的速度从甲处奔向乙, 遇到乙后立即掉头奔向甲,遇到甲后又奔向乙??直到甲、乙相遇,求小狗所走的路程。 注:此为二题合一的题目,即独立的二人相遇问题和狗儿的独自奔跑。只是他们的开始与结束时间是一样的, 以此为联系,使本题顿生情趣,为诸多中小学资料所采纳。 解:设甲、乙两人相遇用 x 时,则 2x+2x=5

x?

5 4

12 x ? 12 ?

5 ? 15 (千米) 4

6、甲骑自行车从 A 地到 B 地,乙骑自行车从 B 到 A 地,两人都匀速前进,已知两人在上午 8 时同时出发,到上午 10 时,两人还相距 36 千米,到中午 12 时,两人又相距 36 千米,求 A、B 两地间的路程。 解:设 A、B 两地间的路程是 x 千米,则 方法一:

x ? 36 x ? 36 ? 2 4

方法二:x+36=36×2×2 解,得 x=108 答:A、B 两地间的路程是 108 千米。 二、环行跑道与时钟问题: 1、在 6 点和 7 点之间,什么时刻时钟的分针和时针重合? 解析:6:00 时分针指向 12,时针指向 6,此时二针相差 180°, 在 6:00~7:00 之间,经过 x 分钟当二针重合时,时针走了 0.5x°分针走了 6x° 解:设经过 x 分钟二针重合,则 6x=180+0.5x 解得 x ?

360 8 ? 32 11 11

2、甲、乙两人在 400 米长的环形跑道上跑步,甲分钟跑 240 米,乙每分钟跑 200 米,二人同时同地同向出发,几 分钟后二人相遇?若背向跑,几分钟后相遇? 解:① 设同时同地同向出发 x 分钟后二人相遇,则 240x-200x=400 x=10 ② 设背向跑,x 分钟后相遇,则 240x+200x=400

x=

1 11

三、行船与飞机飞行问题: 1、 一艘船在两个码头之间航行,水流的速度是 3 千米/时,顺水航行需要 2 小时,逆水航行需要 3 小时,求两码 头之间的距离。 解:设船在静水中的速度是 x 千米/时,则 3×(x-3)=2×(x+3) 解得 x=15 2×(x+3)=2×(15+3) =36(千米)答:两码头之间的距离是 36 千米。 2、一架飞机飞行在两个城市之间,风速为每小时 24 千米,顺风飞行需要 2 小时 50 分钟,逆风飞行需要 3 小时, 求两城市间的距离。 解:设无风时的速度是 x 千米/时,则 3×(x-24)= 2

5 ×(x+24) 6

第二类:工程问题 工程问题的基本关系:工作量=工作效率×工作时间 ;工作效率=工作量÷工作时间 ;工作时间=工作量÷工作效 率注意:一般情况下把总工作量设为 1,完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1 1、一项工程,甲单独做要 10 天完成,乙单独做要 15 天完成,两人合做 4 天后,剩下的部分由乙单独做,还需要 几天完成? 解:设还需要 x 天完成 (

1 1 1 ? )?4 ? x ?1 10 15 15

解得 x=5

答:还需要 5 天完成

2、食堂存煤若干吨,原来每天烧煤 4 吨,用去 15 吨后,改进设备,耗煤量改为原来的一半,结果多烧了 10 天, 求原存煤量.
2

解:设原存煤量为 x 吨, x ? 15 ? x ? 15 ? 10 2 4

解得 x=55

答:原存煤量为 55 吨

3、一项工程 300 人共做, 需要 40 天,如果要求提前 10 天完成,问需要增多少人? 解:由已知每人每天完成 则列出方程为

1 ,设需要增 x 人, 40 ? 300 1 ? x ? 300? ? 30 ? 1 解得 x=100 40 ? 300

4、一水池,单开进水管 3 小时可将水池注满,单开出水管 4 小时可将满池水放完。现对空水池先打开进水管 2 小 时,然后打开出水管,使进水管、出水管一起开放,问再过几小时可将水池注满? 解:设再过 x 小时可将水池注满, 1 ? 2 ? ( 1 ? 1 ) x ? 1
3 3 4

解得 x=4 答:再过 4 小时可将水池注满。

5、一个水池安有甲乙丙三个水管,甲单独开 12h 注满水池,乙单独开 8h 注满,丙单独开 24h 可排掉满池的水, 如果三管同开,多少小时后刚好把水池注满水?

1 1 1 ( ? - )X ? 1 12 8 24

X=6

6、某工程,甲单独完成续 20 天,乙单独完成续 12 天,甲乙合干 6 天后,再由乙继续完成,乙再做几天可以完成 全部工程? 第三类、销售问题 基本关系: (1)销售问题中常出现的量有:进价(或成本)、售价、标价(或定价)、利润等。 (2)利润问题常用等量关系: 商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣率-商品进价 1 - 6(

1 1 1 ? )= X 20 12 12

X=2.4

商品利润 商品售价-商品进价 商品进价 商品利润率= 商品进价 ×100%= ×100%
(3)商品销售额=商品销售价×商品销售量 商品的销售利润=(销售价-成本价)× 销售量 (4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打 8 折出售,即按原标价的 80%出售.即商 品售价=商品标价×折扣率. (1)求商品进价 商场出售某种文具,每件可盈利 2 元,为了支援山区,现在按原售价的 7 折出售给一个山区学校,结果每件仍盈 利 0.2 元。问该文具每件的进价是多少元? 基本关系式:进价=标价×折数-利润

(2)求商品标价 商场出售某种文具,每件的进价是 4 元,为了支援山区,现在按原售价的 7 折出售给一个山区学校,结果每件仍 盈利 5﹪。问该文具每件的标价是多少元? 基本关系式:标价×折数=进价(1+利润率) (3)求折扣 商场出售某种文具,每件的进价是 4 元,原标价是 6 元。为了支援山区,把文具出售给一个山区学校。现在商场
3

要求以利润率不低于 5﹪的售价打折,售货员最低可以打几折出售? 基本关系式:

标价×折扣数
商品进价

— 商品进价 = 商品利润率

(4)求利润率 甲商品的进价是 1400 元,按标价 1700 元的九折出售。乙商品的进价是 400 元,按标价 560 元的八折出售。两种商 品哪种利润率更高些? 第四类、分配问题 这类问题要搞清人数的变化,常见题型有: (1)既有调入又有调出; (2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变; (3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。 1、有两个工程队,甲工程队有 32 人,乙工程队有 28 人,如果是甲工程队的人数是工程队人数的 2 倍,需从乙 工程队抽调多少人到甲工程队? 32+X=(28-X)*2 X=8

2、甲、乙两车间各有工人若干,如果从乙车间调 100 人到甲车间,那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的 6 倍;如果从甲车间调 100 人到乙车间,这时两车间的人数相等,求原来甲乙车间的人数。

第五类、盈不足问题 1、某班同学利用假期参加夏令营活动,分成几个小组,若每组 7 人还余 1 人,若每组 8 人还缺 6 人,问该班 分成几个小组,共有多少名同学? 7X+1=8X-6 第六类、比例分配 1、 有某种三色冰淇淋 50 克,咖啡色、红色和白色配料的比是 2:3:5,?这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和 白色配料分别是多少克? 解:设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为 2x 克,那么红色和白色配料分别为 3x 克和 5x 克. 根据题意,得 2x+3x+5x=50 得 x=5 于是 2x=10,3x=15,5x=25 第七类、数字问题 1.要搞清楚数的表示方法:一个三位数,一般可设百位数字为 a,十位数字是 b,个位数字为 c(其中 a、b、c 均为整数,且 1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9),则这个三位数表示为:100a+10b+c. 2.数字问题中一些表示: 两个连续整数之间的关系, 较大的比较小的大 1; 偶数用 2n 表示, 连续的偶数用 2n+2 或 2n-2 表示;奇数用 2n+1 或 2n—1 表示。
4

X=7

1、有一个三位数,个位数字为百位数字的 2 倍,十位数字比百位数字大 1,若将此数个位与百位顺序对调(个位 变百位)所得的新数比原数的 2 倍少 49,求原数。

2 、一个两位数,个位数字比十位数字小 1,这个两位数的个位十位互换后,它们的和是 33,求这个两位数. 10(X+1)+X+10X+X+1+33 x=1 为 21

3、已知三个连续偶数的和是 2004,求这三个偶数各是多少? X+2+X+X-2=2004 第八类、年龄问题 (1)某同学今年 15 岁,他爸爸今年 39 岁,问几年以后,爸爸的年龄是这位同学年龄的 2 倍? (15+x)*2=39+x x=9 x=668 666 668 670

(2)三位同学甲乙丙,甲比乙大 1 岁,乙比丙大 2 岁,三人的年龄之和为 41,求乙同学的年龄. x+1+x+x-2=41 x=14

第九类、和、差、倍、分问题——读题分析法 这类问题主要应搞清各量之间的关系,注意关键词语。仔细读题,找出表示相等关系的关键字, 例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套??”,利用这些关键字列出 文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程. 1、倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率?”来体现。 2、多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余??”来体现。 增长量=原有量×增长率 现在量=原有量+增长量

1.某单位今年为灾区捐款 2 万 5 千元,比去年的 2 倍还多 1000 元,去年该单位为灾区捐款多少元?

2.旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 25%,第二次旅程中用去剩余汽油的 40%,这样油箱中剩的 汽油比两次所用的汽油少 1 公斤,求油箱里原有汽油多少公斤?

第十类、等积变形问题 等积变形是以形状改变而体积不变为前提。 常用等量关系为:原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变. ①圆柱体的体积公式 ②长方体的体积 V=底面积×高=S·h= ? r h
2

V=长×宽×高=abc

现有直径为 0.8 米的圆柱形钢坯 30 米,可足够锻造直径为 0.4 米,长为 3 米的圆柱形机轴多少根?

5

第十一类、储蓄问题 1.顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做 期数,利息与本金的比叫做利率. 2.储蓄问题中的量及其关系为: 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息

利率 ?

利息 本金 ×100%

利息税=利息×税率(20%)

某同学把 250 元钱存入银行,整存整取,存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元,求银行半年期的年利率是 多少?(不计利息税)

第十二类、配套问题: 这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。 1、某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓 12 个或螺母 18 个,应如何分配生产螺栓 和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母)?

2、机械厂加工车间有 85 名工人,平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个,已知 2 个大齿轮与 3 个小齿 轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?

第十三类、比赛积分问题 例 19:某企业对应聘人员进行英语考试,试题由 50 道选择题组成,评分标准规定:每道题的答案选对得 3 分, 不选得 0 分,选错倒扣 1 分。已知某人有 5 道题未作,得了 103 分,则这个人选错了 第十四类、方案选择问题 1、某班将买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下:甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍。 乒乓球拍每副定价 30 元,乒乓球每盒定价 5 元,经洽谈后,甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的 9 折优惠。该班需球拍 5 副,乒乓球若干盒(不小于 5 盒)。问:(1)当购买乒乓球多少盒时,两种优惠办法付 款一样?(2)当购买 15 盒、30 盒乒乓球时,请你去办这件事,你打算去哪家商店购买?为什么? 2、某校校长在国庆节带领该校市级“三好学生”外出旅游,甲旅行社说“如果校长买一张票,则其余学生可享受半价 优惠”,乙旅行社说“包括校长在内全部按票价的 6 折优惠”(即按票的 60%收费)。现在全票价为 240 元,学生数 为 5 人,请算一下哪家旅行社优惠?你喜欢哪家旅行社?如果是一位校长,两名学生呢? 道题。

第十五类、古典数学 1.100 个和尚 100 个馍,大和尚每人吃两个,小和尚两人吃一个,问有多少大和尚,多少小和尚。 2.有若干只鸡和兔子,它们共有 88 个头,244 只脚,鸡和兔各有多少只?
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