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黑龙江省海林市高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3导数的应用课件新人教A版选修_图文


3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 导数的应用

目标导航
[学习目标] 1.借助函数图象,直观地理解函数的最大值和最小值的概 念. 2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联 系,理解和熟悉函数 f(x)必有最大值和最小值的充分条件. 3.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.

[目标解读] 1.重点是利用导数求给定区间上函数的最大值、最小值. 2.难点是求函数最值与函数单调性、参数的讨论等知识的 综合运用.

情境切入
当你喝完一罐饮料时,你是否留意过手中的易拉罐?你是否 思考过:容积一定的圆柱体易拉罐,怎样设计半径与高之比能使 用料最少?在我们的生活中处处存在数学知识,只要留意,你会 发现经常遇到的如何才能使“用料最省”“效率最高”“利润 最大”等问题,在数学上就是求函数的最大值、最小值问题.

那么,我们如何应用数学知识求函数的最大(小)值呢? 提示:应用导数可以求函数的最大(小)值问题.

自主预习 感悟教材 学与思
(对应学生用书 P17)

1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值 如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续的曲线,
则该函数在[a,b]上一定能够取得 最大值 和最小值 ,并且函 数的最值必在 极值点 或 区间端点 取得.

问题探究 1:在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续 不断的曲线,那么它在[a,b]上一定存在最值和极值吗?
提示:一定有最值,但不一定有极值.如果函数 f(x) 在[a,b]上是单调的,此时 f(x)在[a,b]上无极值;如果 f(x) 在[a,b]上不是单调函数,则 f(x)在[a,b]上有极值.

2.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的 极值 ; (2)将函数 y=f(x)的各极值与 端点处 的函数值 f(a),f(b)比 较,其中最大的一个是最大值 ,最小的一个是 最小值.
问题探究 2:函数的极值与最值有何区别与联系?

提示:(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况, 是在局部上对函数值的比较,具有相对性;而函数的最值则是表 示函数在整个定义区间上的情况,是对整个区间上的函数值的比 较,具有绝对值.
(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或 最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能多于 一个,也可能没有,例如:常函数就没有极大值,也没有极小值.

(3)极值只能在函数的定义域内部取得,而最值可以在区间的 端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极 值有可能成为最值,最值只要不在端点处则一定是极值.

特别提醒
如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的 最值恰好在两个端点处取到.当 f(x)在闭区间[a,b]上递增时,f(a) 是最小值,f(b)是最大值;当 f(x)在闭区间[a,b]上递减时,f(a)是 最大值,f(b)是最小值.

互动课堂 核心突破 导与练
(对应学生用书 P17)

要点一 求函数的最值 利用导数求函数的最值比用传统方法要简便得多,而且好多 传统方法无法解决的问题,应用导数都可以解决, 求解函数在固定区间上的最值,在熟练掌握求解步骤的基础 上,还须注意以下几点:

1.对函数进行准确求导; 2.研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值; 3.比较极值与端点函数值大小时,有时需要作差或作商, 甚至要分类讨论.

例 1 求下列函数的最值. (1)f(x)=2x3-12x,x∈[-1,3]; (2)f(x)=12x+sinx,x∈[0,2π]. 【思路启迪】 要求区间[a,b]上函数的最值,只需求出函 数在(a,b)内的极值,最后与端点处函数值比较大小即可.

【解】 (1)f(x)=2x3-12x,

∴f′(x)=6x2-12=6(x+ 2)(x- 2).

令 f′(x)=0,解得 x=- 2或 x= 2.

当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:

x

-1 (-1,- 2) - 2 (- 2, 2) 2 ( 2,3) 3

f′(x)



0



0



f(x) 10

极大值

极小

值-

18

82

82

∴当 x= 2时,f(x)取得最小值-8 2; 当 x=3 时,f(x)取得最大值 18. (2)f′(x)=12+cosx,令 f′(x)=0, 又 x∈[0,2π],解得 x=23π 或 x=43π. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x 0 (0,23π)

2 3π

(23π,43

4 3π

π)

f′(x)



0



0

(43π, 2π 2π) +

f(x) 0

π3+

3 2

23π-

3 2

π

∴当 x=0 时,f(x)有最小值 f(0)=0;

当 x=2π 时,f(x)有最大值 f(2π)=π.

方法指导
对于在[a,b]上图象为连续不断的一段曲线的函数的最值求 解步骤为:(1)先求 f′(x);(2)令 f′(x)=0 后确定函数的极值;(3) 把极值与函数的端点值比较,最大的为最大值,最小的为最小值.

求下列函数在给定区间上的最值. (1)f(x)=2x3-3x2-12x+5,x∈[-2,3]; (2)f(x)=ln(1+x)-14x2,x∈[0,2].

解:(1)f′(x)=6x2-6x-12, 令 f′(x)=0,则 6x2-6x-12=0, 即 x2-x-2=0, 解得 x1=-1,x2=2. ∵f(-1)=12,f(2)=-15,f(-2)=1,f(3)=-4, ∴函数 f(x)=2x3-3x2-12x+5 在 x∈[-2,3]上的最大值为 12,最小值为-15.

(2)f′(x)=1+1 x-12x. 令1+1 x-12x=0,解得 x1=-2(舍),x2=1. 当 0≤x<1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 1<x≤2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 所以 f(1)=ln2-14为函数 f(x)的极大值.

又 f(0)=0,f(2)=ln3-1>0,且 f(1)>f(2), 所以 f(0)=0 为函数 f(x)在[0,2]上的最小值; f(1)=ln2-14为函数 f(x)在[0,2]上的最大值.

要点二 由函数的最值确定参数值 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的 逆向应用,通常是已知函数的最值求函数关系式中字母的取值问 题,一般采用待定系数法.具体解题时,综合运用求函数极值、 最值的方法,列出含参数的方程或方程组,从而得出参数的值, 这也是方程思想的应用.

例 2 已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为 3, 最小值为-29,求 a,b 的值.
【思路启迪】 先求出函数 f(x)在[-1,2]上的极值点,然后 与两个端点的函数值进行比较,建立关于 a,b 的方程组,从而 求出 a,b 的值.

【解】 由题设知 a≠0,否则 f(x)=b 为常函数,与题设矛 盾.
取导得 f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令 f′(x)=0,得 x1 =0,x2=4(舍去).
(1)当 a>0 时,列表如下:

x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2

f′(x)

+ 0-

-7a f(x)
+b

-16a b
+b

由表可知,当 x=0 时,f(x)取极大值,也就是函数在[-1,2]

上的最大值,∴f(0)=3,即 b=3.

又 f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1),

∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.

(2)当 a<0 时,同理可得,当 x=0 时,f(x)取极小值,也就是 函数在(-1,2]上的最小值,
∴f(0)=-29,即 b=-29. 又 f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1), ∴f(2)=-16a-29=3,∴a=-2. 综上可得,a=2,b=3 或 a=-2,b=-29.

方法指导
(1)已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时,仍然可以 按照求函数最值的方法步骤进行求解,最后建立方程(组)求得参 数的值.(2)含参数问题要注意分类讨论,本题在求解时,依据条 件需要对 a 进行分类讨论,以便确定函数 f(x)在[-1,2]上的最大值 和最小值.

若函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a 在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

解:f′(x)=-3x2+6x+9,令 f′(x)=0,得 x=-1 或 3, 但 x∈[-2,2],故只取 x=-1.
当-2<x<-1 时,f′(x)<0; 当-1<x<2 时,f′(x)>0. ∴x=-1 是函数 f(x)的极小值点,该极小值也就是函数 f(x) 在[-2,2]上的最小值,即 f(x)min=f(-1)=a-5. 又函数 f(x)的区间端点值为 f(2)=-8+12+18+a=a+22,

f(-2)=8+12-18+a=a+2. ∵a+22>a+2,∴f(x)max=a+22=20,∴a=-2. 此时 f(x)min=a-5=-7.

要点三 与最值有关的综合问题 导数的综合应用是重要内容,常将函数的单调区间、极值和 最值综合考查.而不等式恒成立问题是常见的典型问题.这类问 题的解决,大多可用函数的观点来审视,用函数的有关性质来处 理,而导数是研究函数性质的有力工具,因而常将不等式 f(x)>g(x)(f(x)<g(x))恒成立问题转化为 F(x)=f(x)-g(x)>0(F(x)= f(x)-g(x)<0)恒成立问题,再用导数方法探讨 F(x)的单调性及最 值.

例 3 已知函数 f(x)=(x+1)lnx-x+1,若 xf′(x)≤x2+ax +1 恒成立,求 a 的取值范围.
【思路启迪】 求出导函数 f′(x),转化为函数的最值问题.

【解】 f′(x)=x+x 1+lnx-1=lnx+1x,xf′(x)=xlnx+1, 故 xf′(x)≤x2+ax+1 等价于 lnx-x≤a. 令 g(x)=lnx-x,则 g′(x)=1x-1,令 g′(x)=0,得 x=1. 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0,故 x=1 是 g(x) 的极大值点,且是最大值点,则 g(x)≤g(1)=-1. 综上,a 的取值范围是[-1,+∞).

方法指导
由不等式恒成立求参的问题,可采用分离参数法,即将参数 移至不等式的一端,化成 m≥f(x)或 m≤f(x)的形式,然后利用导 数知识求出函数 f(x)的最值,则由结论 m≥f(x)max 或 m≤f(x)min 即 可求出参数 m 的取值范围.

已知函数 f(x)=x3-12x2+bx+c. (1)若 f(x)有极值,求 b 的取值范围; (2)当 f(x)在 x=1 处取得极值时,证明对[-1,2]内的任意两个 值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤72.

解:(1)∵f(x)=x3-12x2+bx+c, ∴f′(x)=3x2-x+b,要使 f(x)有极值, 则 3x2-x+b=0 有实数解, 从而 Δ=1-12b≥0, ∴b≤112.而当 b=112时,函数在 R 上单调递增,不符合题意. ∴b<112.

(2)证明:∵f(x)在 x=1 处取得极值, ∴f′(1)=3-1+b=2+b=0. ∴b=-2.∴f′(x)=3x2-x-2. 令 f′(x)=0, 解得 x=1 或 x=-23. 由上可知,当 x=1 时,f(x)有极小值-32+c; 当 x=-23时,f(x)有极大值2227+c.

又 f(2)=2+c>2227+c,f(-1)=12+c>-32+c. ∴x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为-32+c,最大值为 2+c. ∴|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=72. 故结论成立.

易错盘点

(对应学生用书 P19)

易错点 极值与最值的概念混淆致误

典例 求函数 f(x)=sin2x-x 在[-π2,π2]上的最值.

【错解】 因为 f(x)=sin2x-x, 所以 f′(x)=2cos2x-1. 又 x∈[-π2,π2], 令 f′(x)=0,解得 x=-π6或 x=π6. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x (-π2,-π6) -π6 (-π6,π6)

π 6

(π6,π2)

f′(x)



0



0



f(x)

π6-

3 2

23-π6

由上表可得函数

f(x)的最大值为

23-π6,最小值为π6-

3 2.

【错因分析】 错解中出错的主要原因是误认为极值就是最 值.
【正确解答】 因为 f(x)=sin2x-x, 所以 f′(x)=2cos2x-1. 又 x∈[-π2,π2], 令 f′(x)=0,解得 x=-π6或 x=π6. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

-π2

(-π2, -π6)

-π6

(-π6, π 6)

π 6

(π6,π2)

π 2

f′(x)



0



0



f(x)

π 2

π6-

3 2

23-π6

-π2

由上表可得函数 f(x)的最大值为π2,最小值为-π2.

误区警示
极值与最值是两个不同的概念,函数极值反映的是函数在某 一点上的局部性质,而不是整个定义区间上的性质,它可能有多 个极值,函数的最值则反映的是整个定义区间上的性质,对于连 续函数在闭区间上的最大值与最小值只能各有一个,只有当在一 个区间上极值只有一个时,这个区间上对应的极值才是最值.

函数 f(x)=x3-2x2+1 在区间[-1,2]上的最大值与最小值分

别是( )

A.1 和-2

B.2 和-1

C.1 和-257

D.1 和 0

解析:f′(x)=3x2-4x.令 f′(x)=0,有 3x2-4x=0,解得 x

=0 或 x=43.当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

x

-1 (-1,0) 0 (0,43)

4 3

(43,2) 2

f′(x)



0-

0



f(x) -2

1

-257

1

从上表可知,最大值是 1,最小值是-2. 答案:A

要点归纳
1.函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x) 在[a,b]上必有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函 数 f(x)不一定有最大值与最小值.

2.设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下: (1)求 f(x)在(a,b)内的极值; (2)将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,确定 f(x)的最大值与最 小值.

成功体验
(对应学生用书 P19)
1.设 f(x)是[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列 结论中正确的是( )
A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在此区间上可能没有极值点 D.f(x)在此区间上可能没有最值点

解析:根据函数的极值与最值的概念判断知选项 A,B,D 都不正确,只有选项 C 正确.
答案:C

2.函数 f(x)=13x3-2x2 在区间[-1,5]上(

)

A.有最大值 0,无最小值

B.有最大值 0,有最小值-332

C.有最小值-332,无最大值

D.既无最大值也无最小值

解析:f′(x)=x2-4x=x(x-4), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=4, ∴f(0)=0,f(4)=-332,f(-1)=-73,f(5)=-235, ∴f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(4)=-332.
答案:B

3.函数 f(x)=x+2sinx 在区间[-π,0]上的最小值是( )

A.-2π

B.2

C.6π+ 3

D.-23π- 3

解析:f′(x)=1+2cosx,令 f′(x)=0 得 x=-23π,又 f(-π)=-π,f(-23π)=-23π- 3,f(0)=0,故最小值为-23π - 3.
答案:D

4.函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间[-3,0]上的最大值,最小 值分别是________.

解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 令 f′(x)=0, 则 x=-1 或 x=1(舍去), f(-1)=3,f(0)=1,f(-3)=-17, ∴f(x)max=f(-1)=3, f(x)min=f(-3)=-17.
答案:3,-17

5.已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围为________.

解析:由题意,知 f′(x)=3x2-a≥0(x≥1)恒成立, ∴a≤(3x2)min,又 x≥1 时,3x2≥3, ∴a≤3.
答案:(-∞,3]


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