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高一数学教案:棱柱棱锥和棱台的结构特征2


棱柱、棱锥和棱台的结构特征 教学目标:理解棱锥、棱台的基本概念 教学重点:理解棱锥、棱台的基本概念 教学过程: 1.“一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形”是棱锥的本质特征. 正棱锥是一种特殊棱锥.正棱锥除具有棱锥的所有特征外,还具有:①底面为正多边形;② 顶点在过底面正多边形的中心的铅垂线上. “截头棱锥”是棱台的主要特征,因此,关于棱台的问题,常常将其恢复成相应的棱锥来研 究. 2.正棱锥的性质很多,但要特别注意: (1)平行于底面截面的性质 如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截,那么: ①棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段. ②所得的截面和度面是对应边互相平行的相似三角形. ③截面面积和底面面积的比,等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比. (2)有关正棱锥的计算问题,要抓住四个直角三角形和两个角: 正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个 直角三角形. 四个直角三角形是解决棱锥计算问题的基本依据,必须牢固掌握. 3.棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的,掌握它的性质,就得从这个特征入手 同棱锥一样,棱台也有很多重要性质,但要强调两点: (1)平行于底面的截面的性质: 设棱台上底面面积为 S1,下底面面积为 S2,平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底 的比为 m∶n,则截面面积 S 满足下列关系:

(2)有关正棱台的计算问题,应抓住三个直角梯形、两个直角三角形:

正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径,侧棱,斜高,两底面边长 的一半,组成三个直角梯形和两个直角三角形(上、下底面内各一个直角三角形). 正棱台中的所有计算问题的基本依据就是这三个直角梯形、两个直角三角形和两个重要的 角,必须牢固掌握. 4.棱锥、棱台的侧面展开图的面积,即侧面积,是确定其侧面积公式的依据. (1)正棱锥的侧面是彼此全等的等腰三角形,由此可得其侧面积公式:

(2)正棱台的侧面是彼此全等的等腰梯形,由此可得其侧面积公式:

棱锥的全面积等于:S 全=S 侧+S 底 棱台的全面积等于:S 全=S 侧+S 上底+S 下底 (3)棱柱、棱锥和棱台的侧面公式的内在联系必须明确,它有利认识这三个几何体的本质, 也有利于区分这三个几何体,在正棱台侧面积公式中: 当 C'=C 时,S 棱柱侧=Ch

可以联想:棱柱、棱锥都是棱台的特例. 6.关于截面问题 关于棱锥、棱台的截面,与棱柱截面问题要求一样,只要求会解对角面、平行于底面的截面 (含中截面)、以及已给出图形的截面,或已给出全部顶点的截面,但对于基础较好,能力较强的 同学,也可以解一些其他截面,比如:平行于一条棱的截面,与一条棱垂直的截面,与一个面成 定角的截面,与一个面平行的截面等. 作截面就是作两平面的交线,两平面的交线就是这两个平面的两个公共点的连线,或由线面 平行、垂直有关性质确定其交线,这是画交线,即作截面的基本思路. 课堂练习:教材第 11 页 练习 A、B 小结:本节课学习了棱锥、棱台的基本概念 课后作业:第 34 页习题 1-1A:2、5


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