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湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2015届高三五月模拟考试(二)数学(理)试卷


绝密★启用前

2015 年全国高等学校招生统一考试汉阳一中仿真模拟(二)

数学(理工类)试题
★ 祝考试顺利 ★
考试时间:2015 年 5 月 21 日下午 15:00-17:00 试卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、已知 i 是虚数单位,则复数 z ? A. 1 B. i C. ?i

4 ? 3i 的虚部是( 3 ? 4i
D. 0

)

2、下列四个结论:①若 x ? 0 ,则 x ? sin x 恒成立; ②命题“若 x ? sin x ? 0, 则x ? 0 ”的逆命题为“若 x ? 0,则x ? sin x ? 0 ”; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件; ④命题“ ?x ? R , x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R ? , x0 ? ln x0 ? 0 ”. 其中正确结论的个数是( A.1 个 3、 已知函数 f ( x) ? B.2 个 ) C.3 个 D.4 个
?

1 3 其中 a ? {1,2,3,4} , 则函数 f ( x) 在 x ? (a ? 1) x 2 ? b 2 x , b ? {1,2,3} , 3
)

R 上是增函数的概率为(
A.

1
4

B.

1
2

C.

3 4

D.

2
3


4、已知 m,n 是两条不同的直线,? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 ? ? ? , ? ? ? , 则? / / ? C.若 m / / n, m / /? , 则n / /? 5、设 a n 是 (1 ? 最大值是( A. B.若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ? D.若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ?

,若 bn ? x ) n 的展开式中 x 项的系数( n ? 2, 3, 4, ? ) )

an ?1 ,则 bn 的 (n ? 7)an ? 2

9 ? 2 14 7?2 6 2 3 B. C. D. 25 25 33 50 6、 如图所示的程序框图的运行结果为 S ? 35 , 那么判断框中应填入的关于 k 的条件是(

)

1

A. k ? 6

B. k ? 7

C. k ? 8

D. k ? 9

7、对于函数 f ( x) ? x 3 cos 3( x ?

) ) ,下列说法正确的是( 6 π π π π A. f ( x) 是奇函数且在( ? , )上递增 B. f ( x) 是奇函数且在( ? , )上递减 6 6 6 6 π π C. f ( x) 是偶函数且在( 0, )上递增 D. f ( x) 是偶函数且在( 0, )上递减 6 6

?

8、如图,用一边长为 2 的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形, 做成一个蛋巢,将表面积为 4? 的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状 保持不变, 则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( ) A.

C.

2 1 ? 2 2 3 1 ? 2 2
c 3

B.

6 1 ? 2 2

D.

3 2

9、点 F (c, 0) 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点,点 P 为双曲线左支上一点,线段 a 2 b2 b2 相切于点 Q,且 PQ ? 2QF ,则双曲线的离心率等于( 9
C. 3 D. 5 ) )

PF 与圆 ( x ? )2 ? y 2 ?
A.2

B. 2

10、已知函数 f ( x) ? (a ? 3) x ? ax 3 在 [?1,1] 的最小值为 ?3 ,则实数 a 的取值范围是( A. ? ??, ?1? B. ?12, ?? ? C. ? ?1,12?
? D. ? ? ? 2 ,12 ? ? ? 3

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... (一)必考题(11-14 题) 11、已知向量 a , b 满足 ? a ? 2b ?? a ? b ? = ?6 ,且 a ? 1, b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为 12、若圆 C: x +y +2 x -4 y +3=0 关于直线 2ax ? by ? 6 ? 0 对称,则由点 (a, b) 向圆
2 2

所作的切线长的最小值是_____________。 13、在小语种自主招生考试中,某学校获得 5 个推荐名额,其中韩语 2 名,日语 2 名,俄语 1 名.并且日语和韩语都要求必须有女生参加.学校通过选拔定下 3 女 2 男共 5 个推荐对 象,则不同的推荐方法共有 _____________种;

14、在三棱锥 A ? BCD 中,底面 BCD 为边长为 2 的正三角形,顶点 A 在底面 BCD 上的射 影为 ?BCD 的中心, 若 E 为 BC 的中点,且直线 AE 与底面 BCD 所成角的正切值为

2 2 ,则三棱锥 A ? BCD 外接球的表面积为________.

2

(二)选做题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 C 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(几何证明选讲选做题) 如图,圆 O 上一点 C 在直线 AB 上的射影为 D , 点 D 在半径 OC 上的射影为 E .若 AB ? 3 AD ,则

CE 的值为________ EO

A

E D O

B

16. (极坐标与参数方程选做题) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极 第 15 题图 轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ? 两点,则 AB ? ______ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知 m ? ? b sin x, a cos x ? , n ? ? cos x, ? cos x ? , f ? x ? ? m ? n ? a , 其中 a , b , x ? R .且满足 f ( ) ? 2 , f ?(0) ? 2 3 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若

?x ? t2 ? ( t 为参数)相交于 A, B 3 y ? t ? ?

?

6

关于 x 的方程 f ( x) ? log 1 k ? 0 在区间 ?0,
3

? 2? ? 上总有实数解,求实数 k 的取值范围. ? 3 ? ?

18. (本题满分 12 分)如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各棱长都是 4, E 是 BC 的中 点,动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合. (Ⅰ)当 CF ? 1 时,求证: EF ? A1C ; (Ⅱ)设二面角 C ? AF ? E 的大小为 ? ,求 tan ? 的最小值.

3

19. (本题满分 12 分)某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3,一 旦发生,将造成 400 万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采 用甲、乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元,采用相应预防措施后此突发事件 不发生的概率为 0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或 不采用, 请确定预防方案使总费用最少. (总费用 =采取预防措施的费用+发生突发事件损失 ... 的期望值.)

bn ?1 ? 20. (本题满分 12 分) 设数列 {bn } , 已知 b1 ? 3 , c1 ? 5 , {cn } ,
( n ? N* ) . (Ⅰ)设 an ? cn ? bn ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求证:对任意 n ? N* , bn ? cn 为定值;

cn ? 4 b ?4 c n ?1 ? n , 2 2

(Ⅲ)设 S n 为数列 {cn } 的前 n 项和,若对任意 n ? N* ,都有 p ? ( S n ? 4n) ? [1 , 3] ,求实数

p 的取值范围.

21. (本题满分 13 分) 如图, 在以点 O 为圆心, AB ? 4 为直径的半圆 ADB 中,OD ? AB ,

P 是半圆弧上一点, ?POB ? 30 0 ,曲线 C 是满足 MA ? MB 为定值的动点 M 的轨迹,
且曲线 C 过点 P . (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E , F .若 ?OEF 的面积不小于 ...2 . 2, 求直线 l 斜率的取值范围.

4

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 若直线 y ? kx ? 1 与 f ( x) 的反函数 ...g ( x) 的图像相切, 求实数 k 的值; (注:指数函数与对数函数互为反函数) (Ⅱ) 若函数

g ( x) m ? x ? ? 2e ? 0 只有一个零点,求实数 m 的值; 2 x x
f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) 与 的大小, 并说明理由. 2 b?a

(Ⅲ) 设 a ? b , 比较

5

2015 届高三年级模拟仿真考试(二)数学(理科)答案 1 A 11、п
17.
/3

2 B

3 C
12、4

4 D
13、24

5 B

6 A
14、 6?

7 D
15、8

8 C

9 D
16、16

10 D

解:(Ⅰ)由题意知, = ,





, ,∴ = , ,f(x)∈[0,3]. …………………9 分 有解,即 f(x)=﹣log3k 有解, ,∴a=2.……………6 分 ,

∵f′(x)=asin2x+bcos2x,又 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ∵ ∴ 又∵ ,

∴﹣3≤log3k≤0,解得
∴实数 k 的取值范围为


.…………………12 分

18. (本小题满分 12 分)如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各棱长都是 4, E 是 BC 的
中点,动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合. (1)当 CF ? 1 时,求证: EF ? A1C ; (2)设二面角 C ? AF ? E 的大小为 ? ,求 tan ? 的最小值. 解:法一:过 E 作 EN⊥AC 于 N,连接 EF. (1) 如图 1,连接 NF、AC1, 由直棱柱的性质知,底面 ABC⊥侧面 A1C, 又底面 ABC∩侧面 A1C=AC,且 EN?底面 ABC,所以 EN⊥侧面 A1C.NF 为 EF 在侧面 A1C 内的射影, 在 Rt△CNE 中,CN=CEcos60° =1.

6

CF CN 1 则由 = = , 得 NF∥AC1, AC1⊥A1C, 故 NF⊥A1C.由三垂线定理知 EF⊥A1C…………… CC1 CA 4 (6 分

(2) 如图 2,连接 AF,过 N 作 NM⊥AF 于 M,连接 ME.

由(1)知 EN⊥侧面 A1C,根据三垂线定理得 EM⊥AF, 所以∠EMN 是二面角 C-AF-E 的平面角,即∠EMN=θ. 设∠FAC=α,则 0° <α≤45° .在 Rt△CNE 中,NE=EC· sin60° = 3, 在 Rt△AMN 中,MN=AN· sinα=3sinα, NE 3 2 故 tanθ= = .又 0° <α≤45° ,∴0<sinα≤ . MN 3sinα 2 故当 sinα= (12 分) 2 3 6 , 即当 α=45° 时, tanθ 达到最小值, tanθ= × 2= , 此时 F 与 C1 重合. …. 2 3 3

法二:(1)建立如图 3 所示的空间直角坐标系,连接 EF,AF,

则由已知可得 A(0,0,0),B(2 3,2,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),E( 3,3,0),F(0,4,1), 于是 CA1― →=(0,-4,4),EF― →=(- 3,1,1). 则 CA1― →· EF― →=(0,-4,4)· (- 3,1,1)=0-4+4=0,故 EF⊥A1C. …….(6 分)

(2)设 CF=λ,(0<λ≤4),平面 AEF 的一个法向量为 m=(x,y,z),则由(1)得 F(0,4,λ).
?m· AE― →=0, ? AE― →=( 3, 3,0), AF― →=(0,4, λ), 于是由 m⊥AE― →, m⊥AF― → 可得? ? AF― →=0, ?m·

即?

? 3x+3y=0, 取 m=( 3λ,-λ,4).又由直三棱柱的性质可取侧面 A1C 的一个法向量 ?4y+λz=0.

为 n=(1,0,0), 于是由 θ 为锐角可得 cosθ= |m· n| 3λ = , |m|· |n| 2 λ2+4 1 16 1 1 + .由 0<λ≤4,得 ≥ ,即 tanθ≥ 3 3λ2 λ 4 1 1 + = 3 3

sinθ= 6 . 3

λ2+16 λ2+16 ,所以 tan θ = = 3λ 2 λ2+4

7

故当 λ=4,即点 F 与点 C1 重合时,tanθ 取得最小值

6 ……………..(12 分) 3

19.解:①不采取预防措施时,总费用即损失期望为 400×0.3=120(万元) ;…………2 分
②若单独采取措施甲,则预防措施费用为 45 万元,发生突发事件的概率为 1-0.9=0.1,损失期望值为 400×0.1=40(万元) ,所以总费用为 45+40=85(万元) ………………………………………………………………5 分 ③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为 30 万元,发生突发事件的概率为 1- 0.85=0.15,损失期望值为 400×0.15=60(万元) ,所以总费用为 30+60=90(万元) ; ………………………………………………………………8 分 ④若联合采取甲、乙两种预防措施,则预防措施费用为 45+30=75(万元) ,发生突发事 件的概率为(1-0.9) (1-0.85)=0.015,损失期望值为 400×0.015=6(万元) ,所以总 费用为 75+6=81(万元). ……………………………………………………………11 分 综合①、②、③、④,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可使 总费用最少. ……………………………………………………………12 分

4 ? cn cn b ? ? 2 , c n ?1 ? n ? 2 , 2 2 2 1 1 1 又 a1 ? c1 ? b1 ? 2 ? 0 , 故 cn ?1 ? bn ?1 ? (bn ? cn ) ? ? (cn ? bn ) ,即 an ?1 ? ? an , 2 2 2 1 数列 {an } 是首项为 2 ,公比为 ? 的等比数列, 2

20. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)所以 bn ?1 ?

? 1? 所以 an ? 2 ? ? ? ? ? 2?

n ?1



…………………………………………………3 分

(Ⅱ)解: bn ?1 ? cn ?1 ?

1 (bn ? cn ) ? 4 , 2 b ? cn 1 所以 bn ?1 ? cn ?1 ? 8 ? n ? 4 ? (bn ? cn ? 8) , 2 2 而 b1 ? c1 ? 8 ? 0 ,所以由上述递推关系可得,当 n ? N* 时, bn ? cn ? 8 ? 0 恒成立,
即 an ? bn 恒为定值 8. ……………………6 分

?bn ? cn ? 8 , n ?1 ? ? 1? n ?1 (Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)知 ? , 所 以 cn ? 4 ? ? ? ? , 所 以 ? 1? c ? b ? 2 ? ? ? 2? ? ? ? n n ? 2? ? n ? 1? 1? ?? ? n ? 2 ? ? 4n ? 2 ?1 ? ? ? 1 ? ? , S n ? 4n ? ……………8 分 ? ? ? ? 3? 2 ? 1? ? ? ? ? ? 1? ?? ? ? 2? n 2p ? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , 所以 p ? ( S n ? 4n) ? 3 ? ? ? 2? ? ?

8

n 2p ? ? 1? ? 由 p ? ( S n ? 4n) ? [1 , 3] 得 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 3 , 3 ? ? ? 2? ? ?

? 1? ? 1? 1? ?? ? 1? ?? ? ? 2? ? 2? 1 1 1 当 n 为奇数时, 随 n 的增大而增大,且 0 ? ? ? 1, n n n ? 1? ?1? ? 1? 1? ?? ? 1? ? ? 1? ?? ? ? 2? ?2? ? 2? 1 1 1 当 n 为偶数时, 随 n 的增大而减小,且 ? ? 1, n n n ? 1? ?1? ? 1? 1? ?? ? 1? ? ? 1? ?? ? ? 2? ?2? ? 2? 1 3 4 所以, 的最大值为 , 的最小值为 2 .11 分 n n 3 ? 1? ? 1? 1? ?? ? 1? ?? ? ? 2? ? 2? 1 2p 3 4 2p 由 ,得 ? ? ? ? 2 ,解得 2 ? p ? 3 . n n 3 3 3 ? 1? ? 1? 1? ?? ? 1? ?? ? ? 2? ? 2? 所以,所求实数 p 的取值范围是 [2 , 3] .……………………………………12 分
21、

? 1? 因为 1 ? ? ? ? ? 0 ,所以 ? 2?

n

1
n

?

2p ? 3

3
n

, ………………9 分

5分

9

9分

22、

……………………………………………………3 分

10

(2)设 h( x) ?

g ( x) ln x 2 , ? ( x) ? x ? 2ex ? m ? x x

1 。 ? ( x) 在 (0, e) 上 ? , e g ( x) m 在 (e,??) 上 ? ,? ? ( x) 在 x ? e 处极小值 m ? e 2 ? 函数 2 ? x ? ? 2e ? 0 只有一个 x x 1 1 零点,? h( x) = ? ( x) 只有一个零点,依题意, = m ? e 2 ? m ? e 2 ? e e
则 h( x) 在 (0, e) 上 ? ,在 (e,??) 上 ? ,? h( x) 在 x ? e 处极大值 ……………………………………………………8 分

11


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