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高中数学必修2圆与圆的位置关系


圆与圆的位置关系

位置 d与r 图形 交点 个数

相离 d> r
d r

相切 d= r
d r

相交 d<r
d r

0个

1个

2个

圆和圆的五种位置关系
R O1 r O2 R O1 r O2

R O1

r O2

外离

外切

相交

|O1O2|>|R+r|
R

|O1O2|=|R+r|
R

|R-r|<|O1O2|<|R+r|
R

O 1 O 2r

O 1 O 2r

O 1 O 2r

内切

内含

同心圆

(一种特殊的内含)

|O1O2|=|R-r|

0≤|O1O2|<|R-r|

|O1O2|=0

? 研究两圆的位置关系可以有两种方 法:
? 一是几何法,判断圆心距与两圆半径的和与 差的绝对值的大小关系. ? 一是代数法,联立两者方程看是否有解.

例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 :x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2 的位置关系.

解法一:圆C1与圆C2的方程联立,得 ?x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0
(1)-(2),得

(1) (2)

x ? 2 y ?1 ? 0
1? x y? 2

(3)
代入 (1), 整理得

由(3)得

例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 :x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2 的位置关系.

x ? 2x ? 3 ? 0
2

(4)

则 ? ? (?2) ? 4 ?1? (?3) ? 16 ? 0
2

所以,方程(4)有两个不相等的实数根x1,x2, 把x1,x2分别代入方程(3),得到y1,y2. 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2).

例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 :x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2 的位置关系. 把圆C1和圆C2的方程化为标准方程: 解法二:
C1 : ( x ? 1) ? ( y ? 4) ? 5
2 2 2

? C1的圆心(?1,?4),半径为r1 ? 5
2

C2 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( 10) 2

C2的圆心(2,2),半径为r2 ? 10
? 连心线长为 (?1 ? 2) ? (?4 ? 2) ? 3 5
2

| r1 ? r2 |? 5 ? 10

| r1 ? r2 |? 5 ? 10

例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 :x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2 的位置关系.

而5 ? 10 ? 3 5 ? 5 ? 10 即 | r1 ? r2 |? 3 5 ? | r1 ? r2 |
所以圆C1与圆C2相交,它们有两个公共点A,B.

练习
1、已知圆C1 : x2+y2+2x+3y+1=0和 圆C2 :x2+y2+4x+3y+2=0,试判断圆C1与圆C2 的位置关系.

能力提高 1.已知两圆x2+y2-6x=0,与

x2+y2-4y=m,问m取何值时,两圆相切.

1.已知C1:x2+y2=9,C2: (x-2)2+y2=r2,若C1与C2内切, 求r的值 2.已知C1:x2+y2=9,C2: (x-5)2+y2=r2,若C1与C2内切, 求r的值

例1 已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆 C2 :x2+y2-4x-4y-2=0, (1)试判断圆C1与圆C2的位置关系; (2)求两公共弦所在的直线方程;
(3)求两圆的公共弦的长 .

圆系方程 ▲经过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆可设为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 ▲当 λ=-1时,表示经过两相交圆两交点的直线方程

例2求经过两圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 :x2+y2-4x-4y-2=0交点, 且过点 O(0,0)的圆的方程.

练习
1、求过两圆C1 : x2+y2+2x+3y+2=0和 圆C2 :x2+y2+4x+3y+2=0的交点,且圆心在直 线2x-2y-5=0上的圆的方程.
2. 过两圆x2 + y2 + 6x –4 = 0 和 x2 + y2 + 6y –28 = 0 的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程是( C ) (A) x2+y2+x-5y+2=0 (C) x2+y2-x+7y-32=0 (B) x2+y2-x-5y-2=0 (D) x2+y2+x+7y+32=0

λ=-7

? 能力提高
2.点M在圆心为C1的圆x2+y2+6x-2y+1=0上, 点N在圆心为C2的圆x2+y2+2x+4y+1=0上, 求 |MN| 的最大值. y
M

c1

O

x

c2
N

解:把圆的方程都化成标准形式,为 (x+3)2+(y-1)2=9 (x+1)2+(y+2)2=4 如图,C1的坐标是(-3,1),半径是3;C2的坐标是(-1,-2), 半径是2,所以, y |C1C2|= (?3 ? 1) 2 ? (1 ? 2) 2 = 13 因此,|MN|的最大值是 13 +5. M ?

c1

O

x

c2
N

课堂练习
1. 求经过点M(2,-2)且过圆x2+y2-6x=0 与圆x2+y2=4交点的圆的方程.
2. 已知圆C与圆x ? y ? 2 x ? 0相外切, 并
2 2

且与直线x ? 3 y ? 0相切于点Q(3, ? 3), 求圆C的方程.

3. 求两圆x2+y2=1和(x-3)2+y2=4的外 公切线方程.

例2 已知一个圆的圆心为M(2,1), 且与圆C:x2+y2-3x=0相交于A、B两 点,若圆心M到直线AB的距离为 5 ,求 圆M的方程.
A DC B M

x2+y2-4x-2y-1=0

直线与圆的位置关系圆和圆的位置关系 两圆的位 置关系 外离 图形 d与R, 公切线 r的关系 的条数
公切线长

d>R+r

4

外切
相交 内切

d=R+r
R-r<d<R+r

3
2 1

d=R-r
0≤d<R-r

内含

0

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