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贵州省习水县第一中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


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贵州省习水市第一中学 2014-2015 学年度高一下学期期末考 试数学试题
题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
一、选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.如图□ABCD 中, = , = 则下列结论中正确的是 ( )

A. C.

+ = +

= -

B. D. ( ) D.

+ -

= = +

2. sin 585? 的值为 A. ?

2 2

B.

3 2 C. ? 2 2
) C. y ? e x

3 2

3.下列函数为偶函数的是( A. y ? sin x B.

y?x

3

D. y ? ln x2 ? 1

4. 已知集合 A ? {x | ?5 ? 2 x ? 1 ? 3, x ? R} , 则 A? B ? B ? {x | x( x ? 8) ? 0, x ? Z} , A. ? 0, 2 ? B. ? 0, 2? C. ?0, 2? D. ?0,1, 2?

5.已知集合 M ? ??1,1? , N ? ? x (A) ??1,1? (B)

? 1 ? ? 2x?1 ? 4, x ? Z ? ,则 M ? N ? ? 2 ?
(D)

??1?

(C) ?0?

??1,0?


6.若奇函数 f ( x) 在 [3, 7] 上是增函数,且最小值是 1,则它在 [?7, ?3] 上是( A.增函数且最小值是-1 C.减函数且最大值是-1 B.增函数且最大值是-1 D.减函数且最小值是-1

7.要得到 y=tan ? 2 x ?

? ?

??

? 的图像,只要将 y=tan2x 的图像( ) 3?

? 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 6
A.向左平移

? 个单位 3 ? D.向右平移 个单位 6
B.向右平移

8.若角 ? 和 ? 的终边关于 y 轴对称,则下列各式中正确的是 A.sin ? =sin ? C.tan ? =tan ? B.cos ? =cos ? D.cos(2 ? - ? )=cos ? ( )

9.为得到函数 f ( x) ? cos x ? 3 sin x ,只需将函数 y ? 2 cos x ? 2 sin x

5? 12 7? C.向左平移 12
A.向左平移

5? 12 7? D.向右平移 12
B.向右平移

10.设 a ? 1 ,且 m ? log a( a2 ? 1) , n ? log a (a ? 1) , p ? loga 2a ,则 m ,n ,p 的大 小关系是( ) A. n ? m ? p B. m ? p ? n C. m ? n ? p D. p ? m ? n

二、填空题(5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ,f ? ?1? ? 2 , 且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ? ? a ? 2? x ? b
x

( a , b 为常数) ,则 f ? ?10? 的值为 12.已知 sin ? x ? 13.函数 f ( x ) ? 14.函数 f ( x ) ?

.

? ?

??

1 ? 5? ? ?? ? ? x ? ? sin 2 ? ? x ?的值为 ? ? ,则 sin ? 6? 4 ? 6 ? ?3 ?
x ?1 ? 1 的定义域是 2?x
. 。



1 x ?1

的定义域为

15.若对任意的正数 x 使 2 (x-a)≥1 成立,则 a 的取值范围是____________

x

评卷人

得分 三、解答题(75 分)

16. (本小题满分 14 分) 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , an ? 0 ,a1 ?

3 2 , 且? , a2 3

1 1 , 成等差数列. a3 a4
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 满足 bn ? log3 ?1 ? Sn?1 ? ? 1 ,求适合方程 b1b2 ? b2b3 ? ??? ? bnbn ?1 ? 的正整数 n 的值. 17. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 和直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 ,直线 m , n 都经过圆 C 外 定点 A(1,0). (Ⅰ)若直线 m 与圆 C 相切,求直线 m 的方程; (Ⅱ)若直线 n 与圆 C 相交于 P,Q 两点,与 l 交于 N 点,且线段 PQ 的中点为 M, 求证: AM ? AN 为定值. 18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心, AA1=2 2 ,C1H⊥平面 AA1B1B,且 C1H= 5 .

25 51

(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥平面 A1B1C1,求线段 BM 的长. 19. (本小题 12 分)已知圆 C: ?x ? a ? ? ? y ? a ? 1? ? 9 ,其中 a 为实常数.
2 2

(1)若直线 l: x ? y ? 3 ? 0 被圆 C 截得的弦长为 2,求 a 的值; (2)设点 A ?3,0 ? ,0 为坐标原点,若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2 |MO|,求 a 的取值范围. 20 . (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足

3c sin A ? a cos C .
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)当 3 cos A ? cos B 取得最大值时,试判断 ?ABC 的形状. 21. (本题满分 13 分)已知函数 f ( x ) ?

1 1 ( x ? )( x ? 0) , an?1 ? f (an ) ,对于任意的 2 x

n ? N * ,都有 an?1 ? an .
(1)求 a1 的取值范围 (2)若 a1 ?

1 3 ,证明: an ? 1 ? n ?1 ( n ? N * , n ? 2 ) 2 2

(3)在(2)的条件下,证明:

a a1 a2 ? ??? n ? n ? 2 ?1 a2 a3 an?1

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参考答案 1.D. 【解析】 试题分析:由图形知 由 + = ,所以 A 不对;由 + = + + ,所以 B 不对;

= - ,所以 C 不对,故选 D。

考点:本题主要考查向量的线性运算。 点评:简单题,几何图形,应用向量运算的“平行四边形法则”或“三角形法则” 。 2.A 【解析】 sin 5850 ? sin(7200 ? 1350 ) ? ? sin1350 ? ?

2 . 故选 A 2

3.D 【解析】因为根据偶函数的定义可知,选项 A,B 是奇函数,选项 C 是非奇非偶函数,故选 D 【题型】选择题 4.D 【解析】 A ? {x | ?2 ? x ? 2, x ? R} , B ? {x | 0 ? x ? 8, x ? Z } ? {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8} ,则

A ? B ? {0,1,2} ,故选 D
5.B 【解析】本题考查函数单调性的应用,集合的运算. 函数 y ? 2x 是增函数,则不等式

1 ? 2 x ?1 ? 4 即 2?1 ? 2 x ?1 ? 22 可化为 ?1 ? x ?1 ? 2,即 2

?2 ? x ? 1; 所以 N ? ?x | ?2 ? x ? 1, x ? Z? ? ??1,0?; 则 M ? N ? ??1?. 故选 B.
6.B 【解析】因为奇函数对称区间上单调性一致因此可知,当 f(x)在[3,7]上为增函数,且有最 小值 1 时,那么可知在[-7,-3]上,函数为增函数且有最大值-1,选 B. 7.D 【解析】 试题分析: 由 y ? tan ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? ? ?? 可得只要将 y=tan2x 的图象向右平移 ? ? tan ?2 ? x ? ?? , 6 3? 6 ?? ? ?

个单位 考点:本题考查正切函数的图象和性质 点评:解决本题的关键是注意平移时,提出 x 的系数,只看 x 发生的变化 8.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 已 知 得

? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z )





s ?i ? s n 2 ik? ? n ? ?(? ) ? s

? i ?? n) ? s( ?i 。 n

答案第 1 页,总 12 页

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考点: (1)三角函数的诱导公式; (2)终边相同角的表示。 9.C 【解析】 试 题 分 析 : 函 数

f ?x? ? cos x ? 3 sin x

?? ? ? 2 cos? x ? ? 3? ?



?? ? y ? 2 cos x ? 2 sin x ? 2 cos? x ? ? , 4? ?
将 函 数 y ? 2 c ox ? s 2 s i xn ? 2 c o ? xs?

? ?

??

7? 得 到 函 数 ? 向 左 平 移 4? 12

7? ? ? ?? ? ? y ? 2 cos? x ? ? ? ? 2 cos? x ? ? ,故答案为 C. 12 4 ? 3? ? ?
考点:1、三角函数的化简;2、函数图象的平移. 10.B
2 【解析】? a ? 1 ,? a ? 1 ? a ? a ? a ? 1 ,? 函数 y ? loga x 单调递增,? m ? p ? n ,

故选 B。 11. ?993 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 , f ? 0? ? 1 ? b ? 0, f (1) ? ? f (?1) ? ?2 ? 2 ? 2 ? a ? b , 则

b ? ?1 , a ? ?5 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 , f (?10) ? ? f (10) ? ?993.
考点:奇函数的定义与性质,函数值. 12.

19 16
题 分 析 :

【解析】 试

?? ?? ?? ?? 1 1 19 ? 5? ? ?? ? ? ? ? ? sin ? ? x ? ? sin 2 ? ? x ? ? sin ? x ? ? ? cos 2 ? x ? ? ? sin ? x ? ? ? 1 ? sin 2 ? x ? ? ? ? 1 ? ? 6? 6? 6? 6? 4 16 16 ? 6 ? ?3 ? ? ? ? ?
考点:本题考查了三角恒等变换 点评:熟练运用诱导公式及同角三角函数关系式是解决此类问题的常用方法 13. [?1 , 2) ? (2, ? ?) 【解析】 试题分析:由题意得 í

ì x +1 ? 0 ? ,解得 x ? 1 ,且 x? 2 ,所以函数的定义域为 ? ? 2- x? 0

[?1 , 2) ? (2, ? ?) .

答案第 2 页,总 12 页

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考点:求函数的定义域问题. 14. (?1,??) 【解析】 试题分析:由

x ? 1 ? 0 ? x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 , 所 以 函 数 f ( x) ?

1 的定义域为 x ?1

(?1,??) .
考点:函数的定义域. 15. a ? ?1 【解析】

1 1 1 , 令 f ( x) ? x ? x , 则 f ( x ) ? x ? x 在 (0,??) x 2 2 2 1 上为增函数,即 f ( x) ? f (0) ? ?1 ,? a ? x ? x 恒成立,则 a ? ?1 . 2
试题分析: 将 2 x ( x ? a) ? 1化为 a ? x ? 考点:不等式恒成立问题. 16. (1) an ? 2 ? ( ) n ; (2) n ? 100 . 【解析】 试题分析:本题主要考查等差中项、等比数列的通项公式、等比数列的前 n 项和公式、对数 式的运算、裂项相消法等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算 能力.第一问,先利用等差中项的概念列出等式,再利用等比数列的通项公式将 a2 , a3 , a4 转 化成 a1 和 q,解出 q 的值,最后直接代入到 an 中即可;第二问,先利用等比数列的前 n 项 和将 S n ?1 展开,代入到 log3 (1 ? Sn?1 ) ,利用对数式的运算,化简得到 bn ? ? 用裂项相消法化简 b1b2 ? b2b3 ? ??? ? bnbn?1 ,然后解出 n 的值. 试题解析: (1)设数列 { an } 的公比为 q ,由 an ? 0 ,得 q ? 0 . 由?

1 3

1 ,最后利 n ?1

3 1 1 , , 成等差数列, a2 a3 a4



2 3 1 2 3 1 , ? ? ? ,所以 ?? ? 2 a3 a2 a4 a1q a1q a1q 3

得 ?3 ?

1 2 ? ,故 3q 2 ? 2q ? 1 ? 0 . q2 q
1 ,或 q ? ?1 (舍) . 3

2分

解得 q ?

4分

答案第 3 页,总 12 页

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2 1 n ?1 1 6分 ? ( ) ? 2 ? ( )n ; 3 3 3 2 1 (1 ? n ?1 ) a1 (1 ? q n ?1 ) 3 1 3 (2)由(1)得 S n ?1 ? ? ? 1 ? n ?1 , 1 1? q 3 1? 3 1 故 log 3 (1 ? S n ?1 ) ? log 3 n ?1 ? ? n ? 1 , 8分 3
所以 an ? a1q n ?1 ? 所以 bn ?

1 1 . ?? log 3 (1 ? S n ?1 ) n ?1

9分

bnbn ?1 ?

1 1 1 . ? ? (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

11 分

b1b2 ? b2b3 ? ? ? bnbn ?1 ?
由题意得

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2
13 分

1 1 25 .. ? ? 2 n ? 2 51 解得 n ? 100 , ? 满足题意得 n ? 100 .

14 分 考点:等差中项、等比数列的通项公式、等比数列的前 n 项和公式、对数式的运算、裂项相 消法. 17. (Ⅰ)x ? 1 ,3x ? 4 y ? 3 ? 0(Ⅱ) 设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 , 由?

0 ? x ? 2 y ?2 ? ?kx ? y ? k ? 0



N(

? y ? kx ? k k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k 2k ? 2 3k ? M ( , ) ,? )由? 得 1 2 2 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k 1 ? k y ? 4 ? ? ( x ? 3) ? k ?
k 2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 2k 2 2k ? 2 3k 2 2 ? 1) ? ( ) ? ( ? 1)2 ? (? ) 2 2 1? k 1? k 2k ? 1 2k ? 1

∴ AM ? AN ? (

?

2 2 | 2k ? 1| 2 3 1? k 1 ? k ? ? 6 为定值 1? k 2 | 2k ? 1|

【解析】 试题分析: (Ⅰ)①若直线 m 的斜率不存在,即直线是 x ? 1 ,符合题意. ②若直线 m 斜率存在,设直线 m 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即:

1分

3k ? 4 ? k k 2 ?1

? 2 ,解之得

k?

3 . 4

5分

答案第 4 页,总 12 页

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所求直线方程是 x ? 1 , 3x ? 4 y ? 3 ? 0 .

6分

(Ⅱ)解法一:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0, 可设直线方程为 kx ? y ? k ? 0

由?

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?kx ? y ? k ? 0

得 N(

2k ? 2 3k ,? ). 2k ? 1 2k ? 1

8分

再由 ?

? y ? kx ? k
2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4

得 (1 ? k 2 ) x2 ? (2k 2 ? 8k ? 6) x ? k 2 ? 8k ? 21 ? 0 .



x1 ? x 2 ?

2k 2 ? 8k ? 6 1? k 2

得M(

k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k , ). 1? k 2 1? k 2

12 分



AM ? AN ? (

k 2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 2k 2 2k ? 2 3k 2 2 ? 1) ? ( ) ? ( ? 1)2 ? (? ) 2 2 1? k 1? k 2k ? 1 2k ? 1
14 分

2 2 | 2k ? 1| 2 3 1? k ? 1? k ? ? 6 为定值. 1? k 2 | 2k ? 1|

解法二:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 kx ? y ? k ? 0

由?

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?kx ? y ? k ? 0

得 N(

2k ? 2 3k ,? ). 2k ? 1 2k ? 1

8分

又直线 CM 与 l1 垂直,

? y ? kx ? k k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k ? M ( , ). 由? 得 1 2 2 1 ? k 1 ? k y ? 4 ? ? ( x ? 3) ? k ?
∴ AM ? AN ?| yM ? 0 | 1 ?

10 分

1 1 k 2 ?1 ? | y ? 0 | 1 ? ? | y ? y | N M N k2 k2 k2
14 分

?|

4k 2 ? 2k 3k k 2 ?1 ? ( ? ) | ? 6 ,为定值. 1? k 2 2k ? 1 k2

解法三:用几何法,如图所示,△AMC∽△ABN,则 可得 AM ? AN ? AC ? AB ? 2 5 ?

AM AC ? , AB AN

3 ? 6 ,是定值. 5

答案第 5 页,总 12 页

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考点:直线与圆的位置关系 点评: 当直线与圆相切时常用圆心到直线的距离等于圆的半径, 当直线与圆相交时常用圆心 到直线的距离,弦长一半,圆的半径构成的直角三角形三边勾股定理关系;第一问在求直线 方程时需注意分直线斜率存在与不存在两种情况讨论, 过直线外一点做圆的切线有 2 条, 不 要丢解 18. (1)

2 3 5 10 ; (2) ; (3) 3 7 4

【解析】 试题分析: (1)平移法是求异面直线所成的角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把 异面问题转化为共面问题来解决,具体步骤如下:①平移:平移异面直线中的一条或两条, 作出异面直线所成的角;②认定:证明作出的角就是异面直线所成的角;③计算:求该角的 值,常利用解三角形;④取舍:由异面直线所成的角的取值范围是 ? 0,

? ?? ,当所作的角为 ? 2? ?

钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角; (2)利用已知的线面垂直关系建立空间直角 坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的 关键,空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立 恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确 运算;二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备. 试题解析:解:如图所示 ,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原点.

依题意得 A(2 2 ,0,0) ,B(0,0,0) ,C( 2 ,- 2 , 5 ) ,A1(2 2 ,2 2 ,0) ,B1 (0,2 2 ,0) ,C1( 2 , 2 , 5 ) . (1)易得 AC =(- 2 ,- 2 , 5 ) ,A 0,0) ,于是 cos〈 AC , A 1B 1 =(-2 2 , 1B 1〉

????

???? ?

????

???? ?

???? ???? ? 4 AC ? A1B1 2 = ???? ???? = . ? = 3 3? 2 2 AC ? A1B1
所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为

2 . 3

(2)易知 AA1 =(0,2 2 ,0) , AC . 1 1 =(- 2 ,- 2 , 5 ) 设平面 AA1C1 的法向量 m ? (x,y,z) ,则

????

???? ?

答案第 6 页,总 12 页

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?? ???? ? ? ? ?? 2 x ? 2 y ? 5 z ? 0 ? m ? A1C1 ? 0 ,即 ?? ???? ? ? ? ? ?2 2 y ? 0 ? m ? AA1 ? 0
不妨令 x= 5 ,可得 m ? ( 5 ,0, 2 ) . 同样的,设平面 A1B1C1 的法向量 n ? (x,y,z) ,则

? ???? ? ? ? ?? 2 x ? 2 y ? 5 z ? 0 ?n ? A1C1 ? 0 ,即 ? ? ? ? ???? ? ? ?? 2 2 x ? 0 ?n ? A1B1 ? 0
不妨令 y= 5 ,可得 n ? (0, 5 , 2 ) . 于是 cos m, n ?

m?n mn

?

2 2 ? 7? 7 7

从而 sin m, n ?

?? ?

3 5 7
3 5 . 7

所以二面角 A-A1C1-B1 的正弦值为

(3)由 N 为棱 B1C1 的中点,得 N ?

? 2 3 2 5? ? ? 2 , 2 , 2 ? ? ?

? 2 3 2 5? ?, ? a , ? b , ? 2 ? 2 2 ? ? ???? ? ???? ? ? ? MN ? A1B1 ? 0 由 MN⊥平面 A1B1C1,得 ? ???? ? ???? ? MN ? A C ? ? 1 1 ?0
设 M(a,b,0) ,则 MN ? ?

?? ?? ? ?? 即? ?? ? ?? ??

? 2 ? a? ?? ? 2 2 ? 0 2 ? ? ?3 2 ? 2 5 ? a? ? 2 ?? ? b? ? 2 ? ? 5 ?0 ? ? ? 2 2 ? ? 2 ?

?

?

?

?

?

?

? 2 ?a ? ? 2 2 ? 2 2 ? ? 2 ,故 M ? ? ? ,因此 BM ? ? ? 解得 ? , , 0 ? 2 4 ? ? 2 , 4 ,0 ? 2 ? ? ? ? ?b ? ? 4 ?
所以线段 BM 的长| BM |=

???? ?

10 .. 4
答案第 7 页,总 12 页

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考点:1、异面直线所成的角;2、平面与平面所成角的余弦值;3、求线段的长. 19. (1) a ? ?1 或 a ? 3 ;(2) ? ?1 ?

? ?

5 2 2? ? 2 5 2? , ?1 ? , ?1 ? ? U ? ?1 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ?

【解析】 试题分析: (1)由圆的方程知,圆 C 的圆心为 C ? a, a ? 1? ,半径为 3.根据点到线的距离公 式求圆心到直线 l 的距离 d .根据勾股定理可列出关于弦长, d 和半径间的关系式,从而可 求得 a . (2)设 M?x, y ? ,根据 MA ? 2 MO 可得点 M 的轨迹方程.又点 M 在圆 C 上,说明所 求点 M 的轨迹与圆 C 有公共点.从而可求得 a 的范围. 试题解析: (1)由圆的方程知,圆 C 的圆心为 C ? a, a ? 1? ,半径为 3
2 设 圆 心 C ? a, a ? 1? 到 直 线 l 的 距 离 为 d , 因 l 被 圆 C 截 得 弦 长 为 2 , 则 d ? 1 ? 9 即

d ?2 2?

a ? ?a ? 1? ? 3 2

? 2 2 即 a ? 1 ? 2,? a ? ?1 或 a ? 3

(2)设 M?x, y ? ,由 MA ? 2 MO ,得 即 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0
? 点 M 在圆心为 D

?x ? 3?2 ? y 2

? 2 x2 ? y2

? ?1,0? ,半径为 2 的圆上。又点 M 在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共

点,
?1 ? CD ? 5
? 2 2 ? ?a ? 1?2 ? 1 ? a或a ? ?1 ? ?? 1 ? ? ? 2 2 2 ,解得 ? ? 5即 ? ? 25 5 2 5 2 ? ??a ? 1?2 ? ?1? ? a ? ?1 ? ? ? 2 ? 2 2 ?

?1 ?

?a ?1?2 ? ?a ?1?2

即 -1 -

5 2 2 2 5 2 ? a ? ?1 ? 或-1 ? ? a ? ?1 ? 2 2 2 2

故 a 的取值范围是 ? ?1 ?

? ?

5 2 2? ? 2 5 2? , ?1 ? , ?1 ? ? U ? ?1 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ?

考点:1 圆的弦长问题;2 求轨迹问题;3 两圆的位置关系. 20. (Ⅰ) C ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由

?
6

; (Ⅱ) ?ABC 为等腰三角形.

3c sin A ? a cos C 变 形 得

3c a ,由正弦定理变形得: ? c o sC sin A

答案第 8 页,总 12 页

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c a a 3c c 3 ? ,从而得 , 3 sin C ? cos C ,所以 tan C ? .在 ? ? sin C sin A sin A cos C sin C 3
三角形中, 0 ? C ? ? ,所以 C ?

?
6

.

(Ⅱ)为了求 3 cos A ? cos B 的最大值,需将角 A, B 换掉一个.由(1)知 B ?

5? ? A ,所 6



3 cos A ? cos B
3 1 cos A ? sin A ,即 2 2

? 3 cos A ? cos(

5? ? A) 6

? 3 cos A ?

3 1 cos A ? sin A 2 2

?

? 3 cos A ? cos B ? sin( A ? ) . 由 此 可 知 , 3 cos A ? cos B 取 得 最 大 值 时 3 ? ? 2? , C ? ,故此时 ?ABC 为等腰三角形. A? ,B ? 6 6 3
试题解析: (Ⅰ)由 3c sin A ? a cos C 结合正弦定理变形得:

a 3c c ? ? sin A cos C sin C

3分

从而 3 sin C ? cos C , tan C ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (Ⅱ)由(1)知 B ?

3 , 3
7分

6分

?
6



5? ?A 6

8分

则 3 cos A ? cos B ? 3 cos A ? cos(

5? ? A) 6

? 3 cos A ?
∵0 ? A ? 当 A?

3 1 3 1 ? cos A ? sin A ? cos A ? sin A ? sin( A ? ) 11 分 2 2 2 2 3
12 分 13 分 14 分 15 分

?
3

5? ? ? 7? , ∴ ? A? ? 6 3 3 6

?

?

此时 A ?

?

2

时,

3 cos A ? cos B 取得最大值 1,

6 故此时 ?ABC 为等腰三角形 .

,B ?

? 2? ,C ? , 6 3

考点:1、解三角形;2、三角恒等变换. 21. (1) a1 ? 1 ; (2)证明见解析; (3)证明见解析. 【解析】 试题分析:
答案第 9 页,总 12 页

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(1)根据函数 f ( x) 的表达式,再结合 an?1 ? f (an ) ,得 an ?1 ? f (an ) ?

1 1 (an ? ) ,解不 2 an

等式 an?1 ? an ? 0 ,又 an ? 0 ,得到 an ? 1,又 n 取任意正整数,所以 a1 ? 1 ; (2)先用导数进行研究,可到函数 f ( x) 在区间 (1, ??) 上是增函数,再利用数学归纳的方 法,可以证明 an ? 1 ? (3) 由 an ?1 ? f (an ) ?

1 ( n ? N*, n ? 2 ) ; n ?1 2

a 1 1 1 2 解得 an ? an ?1 ? an ?1 ? 1 , 变形得 n ? 1 ? 1 ? 2 , (an ? ) , 2 an an?1 an?1
1 an 1 ? 1 ? 1 ? 2 , g ( x) ? 1 ? 2 ,则 g ( x) 在 (1, ??) 上递增,再 x an?1 an

又 0 ? an?1 ? an ,所以 通过放缩得

an 1 ? 1 ? n ,再依此为依据,进行累加即可得到原式是成立的. an?1 2
试题解析: (1)由题得 an ?1 ? f (an ) ?

1 1 (an ? ) 2 an

? an?1 ? an
1 1 ? an?1 ? an ? ( ? an ) ? 0 恒成立 2 an
2 1 ? an ? ?0 an

? an ? 0 ?an ? 1
故: a1 ? 1

1 1 (x ? ) 2 x 1 1 ? f ?( x) ? (1 ? 2 ) 2 x
(2)? f ( x ) ?

? 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0
? 有结论:函数 f ( x) 在(1, ?? )上是单调递增函数。
下面用数学归纳法证明: an ? 1 ?

1 2n ?1

(n ? N * , n ? 2)

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①当 n ? 2 时,由 a1 ?

1 1 13 1 3 得 a2 ? (a1 ? ) ? ? 1 ? 3 成立。 2 a1 12 2 2
1 2 k ?1

②假设当 n ? k (k ? 2) 时,结论成立。即: ak ? 1 ? 那么当 n ? k ? 1 时 ak ?1 ? f (ak ) ? f (1 ?

1 1 1 1 ) ? (1 ? k ?1 ? ) k ?1 1 2 2 2 1 ? k ?1 2 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? k ?1 ? 1 ? k ?1 ) ? (2 ? k ?1 ) ? 1 ? k ? 2 2 2 2 ?1 2 2 2
1 成立 2 n ?1

这表明当 n ? k ? 1 时不等式也成立,综合①②可知:当 n ? N * , n ? 2 时 an ? 1 ? (3)? an ?1 ?

1 1 (an ? ) 且 an ? 0 2 an

2 ? an ? an ?1 ? an ?1 ? 1 ?

an 1 ? 1? 1? 2 an?1 an?1

? an?1 ? an

?

1 an 1 ? 1 ? 1 ? 2 令 g ( x) ? 1 ? 2 ,则 g ( x) 在 (1, ??) 上递增 x an?1 an

? 由(2)知:

an 1 1 2 ? 2n ?1 ? 1 2 ? 2n ?1 ? 2 2 1 ?1 ? 1 ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? n ?1 2 n ?1 2 n ?1 1 an ?1 an (2 ? 1) (2 ? 1) 2 ?1 2n (1 ? n ?1 )2 2
(n ? 2)


a1 5 1 ?1 ? ? a2 13 2
a a1 a ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ? ? ( n ? 1) a2 a3 an?1

? 左边 ? (

2 2 ? [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 2 2 ? ? 2 ? 3 ?? ? n ? 2 ? ( 2 ? 1) ? [1 ? ( ) n ] ? 2 ? 1 2 2 2 2 2 2 1? 2

?

a a1 a2 ? ??? n ? n ? 2 ?1 a2 a3 an?1

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考点:数列与函数的综合;数列与不等式的综合.

答案第 12 页,总 12 页


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