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高三数学一轮复习课件:数列的通项与求和


数列的通项与求和 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展
误 解 分 析

要点·疑点·考点

求数列的前n项和Sn,重点应掌握以下几种方法: 1.倒序相加法:如果一个数列{an},与首末两项等距的两项之 和等于首末两项之和,可采用把正着写和与倒着写和的两个 和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和的方法称为倒 序相加法. 2.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列与一 个等比数列对应项乘积组成,此时求和可采用错位相减法. 3.分组转化法:把数列的每一项分成两项,或把数列的项 “集”在一块重新组合,或把整个数列分成两部分,使其转 化为等差或等比数列,这一求和方法称为分组转化法. 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一 项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消, 于 是 前 n项 的 和 变成 首尾若干少数项之和 , 这一 求 和 方法 称 为裂项相消法.

5.公式法求和:所给数列的通项是关于n的多项式,此时求 和可采用公式法求和,常用的公式有:

1 ? k ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 n?n ? 1? k ?1 n 1 2 2 2 2 ? k ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 6 n?n ? 1??2n ? 1? k ?1 n 1 2 2 3 3 3 3 ? k ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 4 n ?n ? 1? k ?1

n

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课前热身
,n ? 1 ?2 ? 2+1,则a =_________________. 1.数列{an}的前n项和Sn=n ?2n ? 1,n ? 1 n
2.已知{an}的前n项和Sn=n2-4n+1,则|a1|+|a2|+…|a10|=( A )

(A)67

(B)65

(C)61

(D)56

3.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项 和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等 比数列的项数为( C ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)6

4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的,二进 制即“逢2进1”,如(1101)2表示二进制数,将它转换成 十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么将二进 制数(111…11)2位转换成十进制形式是( C )

(A)

16 217-2

(B) 216-2

(C) 216-1

(D)215-1

1 1 1 1 1 5.数列 1 , , , , , n ? 1? ? , 的前n项之和 3 5 7 ? ?2 ? n 2 4 8 16 2
为Sn,则Sn的值得等于( A )

1 (A) n ? 1 ? n 2 1 2 (C) n ? 1 ? n -1 2
2

1 (B) 2n ? n ? 1 ? 2n 1 (D) n 2 ? n ? 1 ? 2n
2

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能力·思维·方法
1.求下列各数列前n项的和Sn:
(1) 1×4,2×5,3×6,…n(n+3)…

5 9 1 1 1 1 (3) , , ,, ? , ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n?n ? 2?
(2) 5, , , , 10 n ? 1 , 55 555 ? ?

?

?

【解题回顾】对类似数列(3)的求和问题,我们可以推广 到一般情况:设{an}是公差为d的等差数列,则有

? 1 1 ? 1 1 ? ? ? a a ?a ? a a ?a ? ① ? a1a2 ?an ?n - 1?d ? 1 2 n -1 2 3 n ?

特别地,以下等式都是①式的具体应用:

1 1? 1 1 ? 1 1 1 ; ? ? ? ? ? ? n?n ? 1? n n - 1 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1 1? 1 1 ? ? ? n?n ? 1? ? ?n ? 1??n ? 2? ? ? ?n ? 1??n ? 2? 2 ? n ?
上述方法也称为“升次裂项法”.

2.求数列a,2a2,3a3,…,nan,…(a为常数)的前n项的 和.

【解题回顾】若一个数列的各项是由一个等差数列与一个 等比数列的对应项乘积组成,则求此数列的前n项和多采 用错位相减法.

3.已知数列{an}中的a1=1/2,前n项和为Sn.若Sn=n2an, 求Sn与an的表达式.

【解题回顾】当本题解出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2)n,下面要 想到迭代法求Sn,(即选乘),同样如得出Sn+1-Sn=f(n), 可用迭差.

4.若数列{an}中,an=-2[n-(-1) n],求S10和S99.

【解题回顾】若构成数列的项中含有(-1)n,则在求和Sn 时,一般要考虑n是奇数还是偶数.

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延伸·拓展
5.在数列{an}中,an>0, ①求Sn和an的表达式; 2√Sn = an +1(n∈N)

1 1 1 1 ②求证: ? ? ?? ?2 S1 S 2 S 3 Sn

1 1 【解题回顾】利用 2 ? ,再用裂项法求和.利用 n n?n - 1?
此法求和时,要细心观察相消的规律,保留哪些项等.必 要时可适当地多写一些项,防止漏项或增项. 返回

误解分析
1.求数列通项时,漏掉n=1时的验证是致命错误.

2.求数列前n项和时,一定要数清项数,选好方法,否 则易错.

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