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数学人教A版必修5第二章2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)


精品 第 2 课时 数列的递推公式 1.知道递推公式是给出数列的一种形式. 2.能够根据递推公式写出数列的前几项. 递推公式 如果已知数列{an}的______(或 前几项),且任一项 an 与它的_______ _________间的关系可 用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式.用递推公式给出数列的方法叫做递推 法. [来源:学科网] 递推公式也是给出数列的一种重要方法,但并不是所有的数列都有递推公式. 【做一做 1】 已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an,则 a3 等于( ) A.3 B.6 C .12 D.18 答案:首项 前一项 an-1(或前几项) 【做一做 1】 C [来源:学&科&网] 通项公式与递推公式的异同 剖析:如表 所示. 通项公式 递推公式 [来源:Z。xx。k.Com] 不同点 可根据某项的序号,直接用代入法求出该项 可根据第 1 项或前几项的值,通过一次或多次 赋值逐项求出数列的项,直至求 出所需的项 相同点 都可确定一个数列,都 可求出数列的任何一 项 题型一 递推公式的应用 【例题 1】 已知数列{an}的第一项是 1,以后各项由公式 an-1=2an-2(n>1)给出,写出这 个数列的前 5 项. 1 分析:先将递推公式变形为 an=1+ an-1,再根据递推公式写出数列的前几项.由 a1=1 及 2 1 a2=1+ a1,求出 a2 这一步是解题的关键,求 a3,a4,a5 与求 a2 类似. 2 反思:根据递推公式写出数列的前几项,这类问题要弄清楚递推公式中各部分的关系,依 次代入 n 的值计算即可.解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成 用前面的项表示后面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前 面的项的形式. 题型二 由递推公式写出通项公式 1 【例题 2】 已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+ (n≥2),写出该数列前 5 项,并归纳 n(n-1) 出它的一个通项公式. 分析:由首项及递推关系写出前 5 项,再观察前 5 项的规律,写出一个通项公式. 反思:由递推公式 写出通项公式的步骤: (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前 3 项); (2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式; (3)写出一个通项公式. 题型三 易错辨析 精品 【例题 3】 已知数列{an}中,a1=3,an+1=3an+2,则 a3=__________. 错解:∵an+1=3an+2,∴an+1=3an+2. 1 ∴a3+1=3a3+2,∴2a3=-1,∴a3=- . 2 错因分析:错解中,错认为 an+1=an+1,其实不然,an+1 表示数列中的第 n+1 项,而 an+ 1 表示数列中的第 n 项与 1 的和. 反思:递推公式中往往含有 an+m,其意义是数列中的第 n+m 项,通常与 an+m 不相等. 答案:【例题 1】 解:∵an-1=2an-2(n>1), 1 ∴an=1+ an-1(n>1). 2 1 1 3 又 a1=1,∴a2=1+ a1=1+ ×1= , 2 2 2 1 1 3 7 a3=1+ a2=1+ × = , 2 2 2 4 1 1 7 15 a4=1+ a3=1+ × = , 2 2 4 8 1 1 15 31 a5=1+ a5=1+ × = . 2 2 8 16 3 7 15 31 ∴这个数列的前 5 项是 a1=1,a 2= ,a3= ,a4= ,a5= . 2

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