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解析几何专题05直线与椭圆综合问题


解析几何专题 05 直线与椭圆综合问题
学习目标
(1)能够根据直线与椭圆的方程准确判断它们之间的位置关系; (2)能够利用弦长公式准确求解直线被椭圆截得的弦长,并在此基础上解决相关三 角形的面积问题; (3)能够利用“点差法”以及“韦达定理”正确求解椭圆的弦中点问题; (4)初步熟悉直线与椭圆综合问题的解题程序。

知识回顾及应用
1.椭圆中的定值或定点问题 此类问题的一般解题思路 2.椭圆中的最值或范围问题 此类问题的一般解题思路 3.椭圆中的其它综合问题 4.应用所学知识解决问题: 【题目】 已知椭圆 E 的中心在原点 O, 焦点在 x 轴上, 离心率 e ?
6 , 过点 C (?1, 0) 的 3

直线 l 交椭圆于 A, B 两点,且满足 CA ? 2BC .试用直线 l 的斜率 k 表示 ?OAB 的面积。 【答案】 S?OAB ?
3k (k ? 0) 3k 2 ? 1

【变式 1】已知椭圆 E 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

6 ,过点 C (?1, 0) 3

的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,且满足 CA ? 2 BC .当 ?OAB 的面积最大时,求椭圆 E 的方程。 【答案】 x2 ? 3 y 2 ? 5

【变式 2】 *已知椭圆 E 的中心在原点 O, 焦点在 x 轴上, 离心率 e ?

6 , 过点 C (?1, 0) 3

斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点。若 CA ? ? BC (? ? 2) ,且 ? ? k 2 ? 1 。试问:实
1

数 ? , k 分别为何值时,椭圆 E 的短轴长最大?求此时椭圆 E 的方程。 【答案】 ? ? 2, k ? ?1时,椭圆 E 的方程为 x2 ? 3 y 2 ? 3

问题探究(请先阅读课本,再完成下面例题)
【类型一】椭圆中的定值或定点问题 此类问题常常可以先由特殊情况得到定值或定点,再从一般情况加以证明;也可以 分别从条件和结论两个方向探索,最后在中间某处实现统一;有时还可能会用到“多项 式恒等定理” 。 例 1.已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两

→· → 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若 点,在 x 轴上是否存在点 M,使MA MB
不存在,请说明理由. →· → 为常数.设 A(x ,y ),B(x ,y ). 解 假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使MA MB 1 1 2 2 ①当直线 AB 与 x 轴不垂直时,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y =k(x+1),将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5, 消去 y 整理, 得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.

? ?x +x =-3k6k , +1 则? 3k -5 ? x · x = ? 3k +1.
2 1 2 2 2 1 2 2

Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0,

→· → =(x -m)(x -m)+y y =(x -m)(x -m)+k2(x +1)(x +1)=(k2+ 所以MA MB 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1)x1x2+(k -m)(x1+x2)+k +m . (6m-1)k2-5 → → 整理,得MA· MB= +m2 3k2+1 1? 14 ? ?2m-3?(3k2+1)-2m- 3 ? ? = +m2 2 3k +1 1 6m+14 =m2+2m-3- . 3(3k2+1) →· → 是与 k 无关的常数,从而有 6m+14=0,m=-7,此时MA →· → =4. 注意到MA MB MB 3 9 2? ? ② 当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A , B 的坐标分别为 A ?-1, ? 、 3? ?
2

2? ? B?-1,- ?, 3? ? 7 →· → =4. 当 m=-3时,亦有MA MB 9 ? 7 ? →· → 为常数. 综上,在 x 轴上存在定点 M?-3,0?,使MA MB ? ?

3? ? 练习:椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,该椭圆经过点 P?1,2?且离心率为 ? ? 1 2.(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. x2 y2 解 (1) 4 + 3 =1 (2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2), y=kx+m, ? ? 联立?x2 y2 + =1, ? ?4 3 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0.

? 8mk ?x +x =-3+ , 4k 则? 4(m -3) ? x · x = . ? 3+4k
1 2 2 2 1 2 2 2

Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0, ①

又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
2

3(m2-4k2) =k x1x2+mk(x1+x2)+m = . 3+4k2 ∵椭圆的右顶点为 A2(2,0),AA2⊥BA2, ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, 3(m2-4k2) 4(m2-3) 16mk ∴ + + +4=0, 3+4k2 3+4k2 3+4k2 ∴7m2+16mk+4k2=0, 2k 解得 m1=-2k,m2=- 7 , 由①,得 3+4k2-m2>0, 当 m1=-2k 时,l 的方程为 y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾. 2k ? 2? ?2 ? 当 m2=- 7 时,l 的方程为 y=k?x-7?,直线过定点?7,0?, ? ? ? ? ?2 ? ∴直线 l 过定点,定点坐标为?7,0? ? ?
3

【类型二】2.椭圆中的最值或范围问题 此类问题往往与函数、不等式有关系:有时可以通过建立函数关系求函数的最值; 有时可以通过判别式定理得到一个不等式再求解; 有时还可以通过三角代换转化为三角 问题借助三角函数的有界性求解……其解题关键是对题目信息的有效整合。 x2 例 2 已知椭圆 2 +y2=1 的左焦点为 F,O 为坐标原点. (1)求过点 O、F,并且与直线 l:x=-2 相切的圆的方程; (2)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围. 9 ? 1? 答案:(1)?x+2?2+(y± 2)2=4 ? ? ? 1 ? (2)点 G 横坐标的取值范围为?-2,0? ? ?

x2 y2 练习:已知椭圆 C:a2+b2=1 (a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点. (1)当椭圆的半焦距 c=1,且 a2,b2,c2 成等差数列时,求椭圆的方程; (2)在(1)的条件下,求弦 AB 的长度; 3 2 (3)当椭圆的离心率 e 满足 3 ≤e≤ 2 ,且以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O,求椭圆 长轴长的取值范围. x2 y2 8 3 答案:(1) 3 + 2 =1 (2) 5

(3) 5≤2a≤ 6

【类型三】 椭圆中的其它综合问题 弦长公式常常配合韦达定理一起使用:
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

其中 k 是直线的斜率, x1 , x2 分别是 A,B 两点的横坐标。

4

例 3.已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R) (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 c 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y=kx+4 与 曲线 c 交于不同的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线。 解: (1)原曲线方程可化简得:
x2 y2 ? ?1 8 8 5?m m?2

8 ? 8 ?5 ? m ? m ? 2 ? ? 8 7 ?0 由题意可得: ? ,解得: ? m ? 5 2 ?5 ? m ? 8 ?m ? 2 ? 0 ?

(2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k 2 ? 1) x2 ? 16kx ? 24 ? 0 ,
?=32(2k 2 ? 3) ,解得: k 2 ?

3 2

由韦达定理得: xM ? xN ?

16k 24 ①, xM xN ? 2 ,② 2 2k ? 1 2k ? 1

设 N ( xN , k xN ? 4) , M ( xM , kxM ? 4) , G( xG , 1)
MB 方程为: y ?
? 3xM ? kxM ? 6 x ? 2 ,则 G ? , 1? , xM ? kxM ? 6 ?

? AG ? ?

? 3xM ? ,? 1? , AN ? ? xN ,xN k ? 2 ? , ? xM k ? 6 ?

欲证 A , G ,N 三点共线,只需证 AG , AN 共线 即
3 xM ( xN k ? 2) ? ? xN 成立,化简得: (3k ? k ) xM xN ? ?6( xM ? xN ) xM k ? 6

G ,N 三点共线得证。 将①②代入易知等式成立,则 A ,

. 练习: 如图,椭圆 M :
3 x2 y 2 ,直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

的矩形 ABCD 的面积为 8.

(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程;
5

(Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q , l 与矩形 ABCD 有 两个不同的交点 S , T .求 【答案】 (I) e ? ?
c a | PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

3 a 2 ? b2 3 ? ? ??① 2 a2 4

矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2b ? 8 ??② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是 (II) ?
? x 2 ? 4 y 2 ? 4, ? y ? x ? m,

x2 ? y2 ? 1 . 4

? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? 由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .

8 5

4m2 ? 4 , 5

4m2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 5 ? 5 ?

2

当 l 过 A 点时, m ? 1 ,当 l 过 C 点时, m ? ?1 . ①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2,2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,
| PQ | 4 5 ? m2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , 2 | ST | 5 (3 ? m) 5 t t

其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, ②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? 时, ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , 由此知,当 m ? 0 时,
5 3
5 3

1 t

3 4

4 3

5 3

| PQ | 2 取得最大值 5 . | ST | 5

| PQ | 2 取得最大值 5 . | ST | 5

| PQ | 2 ? 5 ? m2 , | ST | 5

| PQ | 2 取得最大值 5 . | ST | 5 | PQ | 2 取得最大值 5 . | ST | 5

综上可知,当 m ? ? 和 0 时,

6

检测
1.如图, F1 , F2 分别是椭圆 C :
x2 y2 + =1( a ? b ? 0 )的 a2 b2

左、右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的 另一个交点, ?F1 A F2 =60°.(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值.

7

2.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 右焦点的距离为 3. (I)求椭圆 C 的标准方程;

1 ,且椭圆的左顶点到 2

(II)若过 点 P(0, m)的直线l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且 AP ? 3PB ,求 实数 m 的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)设所求的椭圆方程为:
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

?c 1 ?a ? 2 ?a ? 2 ? ? 由题意: ?a ? c ? 3 ? ?b ? 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?c ? 1 ? ?

所求椭圆方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)若过点 P(0, m) 的斜率不存在,则 m ? ?

3 . 2 3 时, 2

若过点 P(0, m) 的直线斜率为 k ,即: m ? ? 直线 AB 的方程为 y ? m ? kx

B P O A

y

? y ? kx ? m 由? 2 ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 2 ?3x ? 4 y ? 12
? ? 64m2k 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12)
因为 AB 和椭圆 C 交于不同两点 所以 ? ? 0 , 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0 所以 4k 2 ? m2 ? 3 ①
8km 4m2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

x

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

② y B P O x

由已知 AP ? 3PB , AP ? (?x1, m ? y1 ), PB ? ( x2 , y2 ? m) 所以 ? x1 ? 3x2 ③

4km 2 4m2 ? 12 ) ? 将③代入②得: ?3( 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
8

A

整理得: 16m2 k 2 ? 12k 2 ? 3m2 ? 9 ? 0 所以 k 2 ?
9 ? 3m2 9 ? 3m 2 2 4 k ? ? m2 ? 3 代入①式得 2 2 16m ? 12 4m ? 3

3 4m2 (m2 ? 3) ? 0 ,解得 ? m 2 ? 3 . 2 4 4m ? 3

所以 ? 3 ? m ? ?

3 3 或 ?m? 3. 2 2
3 3 ] [ , 3) . 2 2

综上可得,实数 m 的取值范围为: (? 3, ?

3. (2013 西城一模)如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线 a 2 b2

交椭圆于 A ,B 两点.当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 60? . (Ⅰ) 求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交 于 D, E 两点.记△ GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面积为 S2 ,求 值范围.

S1 的取 S2

(Ⅰ)解:依题意,当直线 AB 经过椭圆的顶点 (0, b) 时,其倾斜角为 60? . 设 F (?c, 0) ,则
b ? tan 60? ? 3 . c

将 b ? 3c 代入 a 2 ? b2 ? c 2 , 解得 a ? 2c . 所以椭圆的离心率为 e ?
c 1 ? . a 2

x2 y2 (Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,椭圆的方程可设为 2 ? 2 ? 1 . 4c 3c

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .
9

依题意,直线 AB 不能与 x, y 轴垂直,故设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) ,将 其代入 3x2 ? 4 y2 ? 12c2 ,整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8ck 2 x ? 4k 2c2 ?12c2 ? 0 .
6ck ?8ck 2 ?4ck 2 3ck , 2 ). 则 x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c) ? 2 , G( 2 4k ? 3 4k ? 3 4 k ? 3 4k ? 3

因为 GD ? AB ,

3ck 2 ?ck 2 4 k ? 3 所以 . ? k ? ?1, xD ? 2 4k ? 3 ?4ck 2 ? xD 4k 2 ? 3
因为 △ GFD ∽△ OED ,

?4ck 2 ?ck 2 2 3ck ? ) ? ( 2 )2 2 2 S1 | GD | 4k ? 3 所以 ? ? 4k ? 3 4 k ? 3 2 2 ?ck 2 S2 | OD | ( 2 ) 4k ? 3
2

(

?

(3ck 2 )2 ? (3ck )2 9c 2 k 4 ? 9c 2 k 2 9 ? ? 9? 2 ? 9. 2 2 2 4 (ck ) ck k

所以

S1 的取值范围是 (9, ??) . S2

4.已知点 A 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 的左顶点, 直线 l : x ? my ? 1(m ? R) 与椭圆 C 相 9 t
16 . 3

交于 E , F 两点,与 x 轴相交于点 B .且当 m ? 0 时,△ AEF 的面积为

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点,试判断以 MN 为直径的 圆是否经过点 B ?并请说明理由. 解: (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,

? x2 y 2 ? 1, 2 2t 2 2t 4 2t ? ? ), F (1, ? ) ,所以 EF ? 由? 9 解得 E (1, . t 3 3 3 ? x ?1 ?
1 4 2t 16 ? ,解得 t ? 2 . 因为△ AEF 的面积为 ? 4 ? 2 3 3
x2 y 2 ?1. 所以椭圆 C 的方程为 ? 9 2

10

? x2 y 2 ? 1, ? ? (Ⅱ)由 ? 9 得 (2m2 ? 9) y 2 ? 4my ?16 ? 0 ,显然 m ? R . 2 ? x ? my ? 1 ?
设 E( x1, y1), F ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?
?4m ?16 , y1 y2 ? , 2 2m ? 9 2m 2 ? 9

x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 .
y1 ? ( x ? 3), y1 6 y1 ?y ? x1 ? 3 又直线 AE 的方程为 y ? 解得 M (3, ( x ? 3) ,由 ? ), x1 ? 3 x1 ? 3 ? x?3 ?
同理得 N (3,
6 y1 6 y2 6 y2 ) .所以 BM ? (2, ), BN ? (2, ), x1 ? 3 x2 ? 3 x2 ? 3 6 y1 6 y2 ) ? (2, ) x1 ? 3 x2 ? 3

又因为 BM ? BN ? (2,

? 4?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? 4? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4)

?

4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16

?

?16(4m2 ? 36) ? 16 ? 4m2 ? 16 ? 4(2m2 ? 9) ?32m2 ? 16(2m2 ? 9)
?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ? 0. 9

?

所以 BM ? BN ,所以以 MN 为直径的圆过点 B .

纠错矫正

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总结反思

12


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