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2014-2015学年点拨高中数学必修2(R-B版)过关测试卷:第一章+立体几何初步+过关测试卷


第一章过关测试卷
(100 分,60 分钟) 一、选择题(每题 5 分,共 20 分) 1. 〈广东高考〉某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( )

图1 A.72 ? B.48 ? C.30 ? D.24 ? 2. 〈青岛模拟〉如图 2 所示,b,c 在平面 α 内,a∩c=B,b∩c=A,且 a⊥ b, a⊥ c,b⊥ c,C∈ a,D∈ b,(C,D 均异于 A,B),则△ ACD 是( )

图2 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3. 〈天津塘沽模拟〉如图 3 所示,边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与 中位线 DE 交于点 G,已知△ A′DE 是△ ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形, 则下列命题中正确的是( ) ① 动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ② BC // 平面 A′DE; ③ 三棱锥 A′-FED 的体积有最大值. A.① B.① ② C.① ② ③ D.② ③

图3

图4

4. 如图 4 所示,若 Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,EH // A1D1,则下列结论中不正确的是( ) A.EH // FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 D.Ω 是棱台 二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 5. 如图 5 所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则 四棱锥 A-BB1D1D 的体积为 ________cm3.

图5 6.〈辽宁卷〉一个几何体的三视图如图 6 所示.则该几何体的表面积 为_________.

图6 7. 如图 7 所示,AB 为圆 O 的直径,C 为圆周上异于 A,B 的任意一点,PA 平面 ABC,则图中共有_________个直角三角形.

图7

图8

8.〈临沂高三教学质量检测〉具有如图 8 所示的正视图和俯视图的几何体中, 体积最大的几何体的表面积为_________. 9. 用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体形礼品盒完全包好,不将纸撕 开,则所需纸的最小面积是___________. 10. 〈辽宁丹东四校联考〉设 l,m 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平 面,给出下列 5 个命题: ① 若 m⊥ α,l⊥ m,则 l //α; ② 若 m⊥ α,l ? β,l // m,则 α⊥ β; ③ 若 α//β,l⊥ α,m //β,则 l⊥ m;

④ 若 α//β,l //α,m ? β,则 l // m; ⑤ 若 α⊥ β,α∩β=l,m⊥ l,则 m⊥ β. 其中正确的命题是__________. 三、解答题(14 题 14 分,其余每题 12 分,共 50 分) 11. 如图 9 所示,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:AD⊥ 平面 BCC1B1; (2)求证:A1C // 平面 AB1D.

图9

12. 如图 10(1)所示,在梯形 BCDE 中,BC // DE,BA⊥ DE,且 EA=DA= AB=2CB=2,如图 10(2)沿 AB 将四边形 ABCD 折起,使得平面 ABCD 与平面 ABE 垂直,M 为 CE 的中点. (1) 求证:AM⊥ BE; (2) 求三棱锥 C-BED 的体积.

图 10

13.〈福建厦门 3 月高三质量检查〉如图 11 所示,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ 底面 ABC,D,E 分别是线段 BC,PD 的中点. (1)若 AP=AB=AC=2,BC= 2 3 ,求三棱锥 P-ABC 的体积;

(2)若点 F 在线段 AB 上,且 AF=

1 AB,证明:直线 EF // 平面 PAC. 4

图 11

14. 如图 12 所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,DB=BC,DB⊥ AC,点 M 是棱 BB1 上的一点. (1) 求证:B1D1 // 平面 A1BD; (2) 求证:MD⊥ AC; (3) 试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1⊥ 平面 CC1D1D.

图 12

第一章过关测试卷答案及点拨
一、1.C 点拨:显然本题的几何体是由一个半球和一个倒立的圆锥组成的组合 体. 1 1 4 V= π×32 × 4+ × π×33 =30π. 3 2 3 2. B 点拨:∵a⊥b,b⊥c,a∩c=B, ∴b⊥平面 ABC, ∴AD⊥AC,故△ ACD 为直角三角形. 3. C 点拨:①由已知可得平面 A′FG⊥平面 ABC,∴点 A′在平面 ABC 上的 射影在线段 AF 上.②由已知可得 BC∥DE,∴BC∥平面 A′DE.③当平面 A′ DE⊥平面 ABC 时,三棱锥 A′-FED 的高最大,为 A′G,所以三棱锥 A′-FED 的 体积有最大值. 4. D 点拨:∵EH∥A1D1,A1D1∥BC, ∴EH∥BC,∴EH∥平面 BCGF. ∵平面 BCGF∩平面 EFGH=FG,∴EH∥FG,故 A 对. ∵B1C1⊥平面 A1B1BA,EF ? 平面 A1B1BA, ∴B1C1⊥EF,∵EH∥BC,BC∥B1C1,∴EH∥B1C1, ∴EH⊥EF.易知,四边形 EFGH 为平行四边形,故它也是矩形,故 B 对. 由 EH∥B1C1∥FG,知 Ω 是棱柱,故 C 对. 二、5. 6 点拨:方法一:∵长方体的底面 ABCD 是正方形,∴BD= 3 2 cm,
3 2 cm (它也是四棱锥 A-BB1D1D 的底面 BB1D1D 上的高) . 2 1 3 ∴四棱锥 A-BB1D1D 的体积为 ×3 2 × 2× 2 =6(cm3). 3 2 3 方法二:长方体的体积为 3× 3× 2=18(cm ),所以三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积 1 1 为 9 cm3,三棱锥 A-A1B1D1 的体积为 × 2× × 3× 3=3(cm3), 3 2 ∴四棱锥 A-BB1D1D 的体积为 9-3=6(cm3). 6. 38 点拨:本小题主要考查三视图的应用和常见几何体表面积的求法.解 题的突破口为弄清要求的几何体的形状,以及表面积的构成.由三视图可 知,该几何体是在一个长方体中挖去一个圆柱形成的,几何体的表面积 S =长方体的表面积+圆柱的侧面积-圆柱的上下底面面积, 由三视图知, 长 方体的长、宽、高分别为 4、3、1,圆柱的底面圆的半径为 1,高为 1,所 以 S=2× (4× 3+4× 1+3× 1)+2π×1×1-2×π×12=38. 7. 4 点拨:∵PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC. ∴△PAB,△ PAC 为直角三角形. 又∵C 为圆周上一点,∴∠ACB=90° , ∴△ACB 为直角三角形. ∵BC⊥AC,PA⊥BC,∴BC⊥平面 PAC, ∴BC⊥PC,∴△PCB 为直角三角形.

BD 边上的高是

8. 14 点拨:由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置 的三棱柱,或水平放置的圆柱.四棱柱的体积最大.四棱柱的高为 1,底面边分 别为 1,3,所以表面积为 2× (1× 3+1× 1+3× 1)=14. 9. 8 点拨:如答图 1(1)为棱长为 1 的正方体形礼品盒,先把正方体的表面展 开成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如答图 1(2) 所示,由答图 1(2)知,正方形的边长为 2 2 ,其面积为 8.

答图 1 10. ②③ 点拨:①l 可能在 α 内,①错;④l 若在 β 内,可能与 m 相交,④ 错; ⑤m 垂直于交线,不一定垂直于 β,⑤错. 三、 11. 证明: (1) 因为△ ABC 是正三角形,而点 D 是 BC 的中点, 所以 AD⊥BC. 又因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱,所以 CC1⊥平面 ABC,因为 AD ? 平面 ABC,所以 CC1⊥AD,因为 CC1∩BC=C,所以 AD⊥平面 BCC1B1; (2)连接 A1B,设 AB1∩A1B=E,则 E 为 A1B 的中点,连接 DE,由 D 是 BC 的中 点,得 DE∥A1C. 因为 DE ? 平面 AB1D,且 A1C ? 平面 AB1D,所以 A1C∥平面 AB1D. 12. (1) 证明: ∵平面 ABCD⊥平面 ABE, 由已知条件可知, DA⊥AB, AB⊥BC, 平面 ABCD∩平面 ABE=AB, ∴DA⊥平面 ABE,CB⊥平面 ABE. 取 EB 的中点 N,连接 AN、MN, 在△ ABE 中,∵AE=AB,N 为 EB 的中点, ∴AN⊥BE.在△ EBC 中, ∵EM=MC,EN=NB,∴MN∥BC, 又∵CB⊥平面 ABE, ∴MN⊥平面 ABE,∴MN⊥BE. 又∵AN∩MN=N,∴BE⊥平面 AMN, 又∵AM ? 平面 AMN,∴AM⊥BE. (2) 解: ∵平面 ABCD⊥平面 ABE, AE⊥AB, 平面 ABCD∩平面 ABE=AB , ∴AE⊥平面 ABCD,即 AE⊥平面 BCD. 1 1 又∵S△ BCD = × BC× BA = × 1× 2 = 1 ,∴三棱锥 C-BED 的体积= VE-BCD 2 2 1 1 2 = × S△ BCD× EA= × 1× 2= . 3 3 3 点拨:将线线垂直转化为线面垂直来处理.

如答图 2.

如答图 3,

13.(1)解:连接 AD,如答图 3,在△ ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,
1 点 D 是线段 BC 的中点,∴AD⊥ BC,∴ AD=1,∴ S△ ABC= × 2 3 ×1= 3 , 2
1 1 2 3 ∵PA⊥底面 ABC,∴VP-ABC= · S△ ABC · PA= × 3 × 2= . 3 3 3

(2)证法一:取 CD 的中点 H,连接 FH,EH, ∵E 为线段 PD 的中点,∴EH∥PC, ∵EH ? 平面 PAC,PC ? 平面 PAC, ∴EH∥平面 PAC, 1 ∵AF= AB,∴FH∥AC, 4 ∵FH ? 平面 PAC,AC ? 平面 PAC, ∴FH∥平面 PAC, ∵FH∩EH=H,∴平面 EHF∥平面 PAC, ∵EF ? 平面 EHF,∴EF∥平面 PAC. 证法二:分别取 AD,AB 的中点 M,N,连接 EM,MF,DN, ∵点 E、M 分别是线段 PD、AD 的中点,∴EM∥PA, ∵EM ? 平面 PAC,PA ? 平面 PAC, ∴ EM∥ 平面 PAC, 1 1 ∵AN= AB, AF= AB, ∴点 F 是线段 AN 的中点,∵在△ADN 中, AF=FN, 4 2 AM=MD,∴MF∥DN, ∵在△ABC 中,AN=NB,CD=DB,∴DN∥AC,∴MF∥AC, ∵MF ? 平面 PAC,AC ? 平面 PAC,∴MF∥平面 PAC, ∵EM∩MF=M,∴平面 EMF∥平面 PAC,∵EF ? 平面 EMF, ∴EF∥平面 PAC. 14. (1) 证明:由几何体 ABCD-A1B1C1D1 是直四棱柱,得 BB1∥DD1,BB1= DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形, ∴B1D1∥BD. 而 BD ? 平面 A1BD,B1D1 ? 平面 A1BD,

∴B1D1∥平面 A1BD. (2) 证明:连接 B1D,∵BB1⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, ∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC,且 BD∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D. 而 MD ? 平面 BB1D,∴MD⊥AC. (3) 解:当点 M 为棱 BB1 的中点时, 平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.取 DC 的中点 N,D1C1 的中点 N1,连接 NN1 交 DC1 于 O,连接 OM,BN,B1N1,如答图 4 所示.∵N 是 DC 的中点,BD= BC, ∴BN⊥DC.又∵DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线, 易知平面 ABCD⊥平面 DCC1D1, ∴BN⊥平面 DCC1D1. 又可证得 O 是 NN1 的中点,且四边形 BB1N1N 是平行四边形, ∴BM∥ ON 且 BM=ON,∴四边形 BMON 是平行四边形, ∴BN∥ OM,∴OM⊥平面 CC1D1D. ∵OM ? 平面 DMC1, ∴平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.

答图 4


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