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不定积分的分部积分法(2)_图文


第三节
分部积分法

第四章

由导数公式 (uv)? ? u?v ? uv?
积分得: uv ? ? u?vdx ? ? uv?dx ? uv?dx ? uv ? ? u?v dx 分部积分公式
或 ?udv ? uv ? ?v du

1) v 容易求得 ;

容易计算 .

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例1. 求 解: 令 u ? x , v? ? cos x , 则 u? ? 1, v ? sin x

? ∴ 原式 ? xsin x ? sin x dx ? x sin x ? cos x ? C



? xsin x ? ? sin x dx

? x sin x ? cos x ? C

?

x cos xdx

?

?

cos

xd

(

1 2

x2)

?

x2 2

cos

x

?

?

x2 2

sin

xdx

思考: 如何求

? ? x 2 d(? cos x)

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? 例3 求积分 x2e xdx.
? ? ? 解 x2exdx ? x2dex ? x2ex ? exdx2
? ? x2e x ? 2 xe xdx
? ? x2ex ? 2 xdex ? ? x2ex ? 2(xex ? exdx)
? x2e x ? 2( xe x ? e x ) ? C.
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函
数为u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
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例6 求积分 ? x arctan xdx.

? 解
?

? x arctan xdx ?
x2 arctan x ?

?xa2rdc(taanrcxtda(n12xx)2 )

2

2

? ? x2 arctan x ?
2

x2 2

?

1

1 ?x

2

dx

? ? x2 arctan x ?
2

1 2

?

(1

?

1

1 ?x

2

)dx

? x2 arctan x ? 1 ( x ? arctan x) ? C .

2

2

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? 补例 求积分 x3 ln xdx.

? ? ? 解 x3 ln xdx ? ln xd ( 1 x4) ? 1 x4 ln x ? 1 x4d (ln x)

44

4

?

1 4

x4

ln

x

?

1 4

?

x 3dx

? 1 x4 ln x ? 1 x4 ? C .

4

16

总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积,就考虑设对数函
数或反三角函数为 u.

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? 例7 求积分 e x sin xdx.
解 ? e x sin xdx ? ? sin xde x ? e x sin x ? ? e xd(sin x) ? e x sin x ? ? e x cos xdx ? e x sin x ? ? cos xde x ? e x sin x ? (e x cos x ? ? e xd cos x)

? e x (sin x ? cos x) ? ? e x sin xdx 注意循环形式

?

?

e

x

sin

xdx?

ex 2

(sin

x

?

cos

x)

?

C

.

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例5. 求

解:

? 原式 = x arccos x ?

x dx
1? x2

? ?

x

arccos

x

?

1 2

(1

?

x

2

?1
)2

d(1

?x

2

)

? x arccos x? 1? x2 ? C

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补例. 求 解: 原式 =
? ? tan x ?lncos x ? tan2 x dx
? ? tan x ? ln cos x ? (sec2 x ?1) dx
? tan x ? ln cos x ? tan x ? x ? C
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例10. 求
解: 令 x ? t ,则 x ? t2 , dx ? 2t d t
原式 ? 2? t e t d t ? 2? t d e t ? ? 2(t e t ? e t d t)
? 2(t et? et ) ? C ? 2e x ( x ?1) ? C
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补例. 求

解: 令 u ?

x2 ? a2 , v? ? 1, 则 u? ?

x x2?a2

,

v?x

? ? x2 ? a2 dx ? x x2 ? a2 ?

x2 dx
x2 ?a2

? ? x

x2 ? a2 ?

(x2 ?a2 )?a2 dx
x2 ?a2

? ? ? x x2 ? a2 ?

x2 ? a2 dx ? a2 dx
x2 ?a2

? ? x x2 ? a2 ? x2 ? a2 dx ?a2 ln(x ? x2 ? a2 )

∴ 原式 = 1 x 2

x2 ? a2 ? a2 ln ( x ? 2

x2 ? a2 ) ? C

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例9. 求

解:



u

?

(x2

1 ? a2)n

,

v?

? 1,



u?

?

? 2nx (x2 ? a2 )n?1

,v

?

x

? ?

In

?

(

x

2

x ?a

2

)n

? 2n

(x2

x2 ? a2

)n?1

dx

? ?

(x2

x ? a2)n

? 2n

(x2 ? a2) ? a2 (x2 ? a2 )n?1

dx

?

(x

2

x ?a

2

)n

? 2 n In ? 2 n a2In?1

得递推公式

I n?1

?

1 2na2

(x2

x ? a2)n

?

2n 2n

?1 a2

I

n

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递推公式

I n?1

?

1 2na2

(x2

x ? a2)n

?

2 2

n n

?1 a2

I

n

说明:

已知

I1

?

1 a

arctan

x a

?

C

利用递推公式可求得

In

.

例如,

I3

?

1 4a2 (x2

x ? a2)2

?

3 4a2

I2

?

1 4a2

(x2

x ? a2)2

?

3 4a2

?

1 2a

2

x2

x ? a2

?

1 2a2

I1 ?

?

1 4a2

(x2

x ? a2

)2

?

3 8a4

x2

x ?

a2

?

3 8a5

arctan

x a

?

C

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补例. 证明递推公式

? 证: In ? tann?2 x (sec2 x ?1) dx

?? tann?2 x d(tan x) ? In?2

?

tann?1 x n ?1

?

In?2

注:



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说明: 分部积分题目的类型:

1) 直接分部化简积分 ;

2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;

(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,

解出积分后加 C )

例7

3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .

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补例. 已知

的一个原函数是



解: ? x f ?(x) dx ? ? x d f (x)

? x f (x) ? ? f (x)dx

? x ? cos x ?? ? cos x ? C

x

x

? ?sin x ? 2 cos x ? C

x

说明: 此题若先求出

再求积分反而复杂.

?

x

f

?(x) dx

?

?

??? ?

cos

x

?

2 sin x

x

?

2 cos x2

x ?? d ?

x

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内容小结
分部积分公式 ? u v?dx ? u v ? ? u?v dx ? 1. 使用原则 : v易求出, u?v dx易积分
2. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式
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思考与练习

1. 求 I ? ? sin ( ln x) dx

解法一、 令

则 x ? et , d x ? et dt

? I ? ? et sin t d t

? ? et sin t ? et cos t d t

? et (sin t ? cos t) ? I

? I ? 1 et (sin t ? cos t) ? C 2
? 1 x[sin(ln x) ? cos(ln x)] ? C 2

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求积分 ? sin(ln x)dx.

解法二、? sin(ln x)dx ? x sin(ln x) ? ? xd[sin(ln x)]

?

x sin(ln

x)

?

?

x cos(ln

x)?

1 x

dx

? x sin(ln x) ? x cos(ln x) ? ? xd[cos(ln x)]

? x[sin(ln x) ? cos(ln x)] ? ? sin(ln x)dx

??

sin(ln

x)dx?

x [sin(ln 2

x)

?

cos(ln

x)] ?

C.

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