伤城文章网 > 数学 > 含绝对值不等式的解法比较

含绝对值不等式的解法比较


含绝对值不等式的解法比较
佛山市顺德区乐从中学 曾光 在 2014 年的高考中, 有多个地方的高考题均出现了含绝对值不等式的题目。 虽然难度 普遍为中低档,但是我们需要研究的问题是如何能做到准确率高、耗时少。选择恰当的解法 是关键, 那么含绝对值不等式的问题有哪些解法呢?选择何种解法最为有利?下面让我们一 起来探讨这个问题。首先请用心体会以下的解法比较: (2014 广东理科数学第 9 题) .不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集为 .

【分析】 :含绝对值不等式的解法一般有三种,分别是零点区域法、数轴法和图象法. ⑴零点区域法(分类讨论思想) :令 x ? 1 ? 0 及 x ? 2 ? 0 ,得 x1 =1 ,x2 ? ?2 . x1,x2 把实数 轴分成三个区 域: x ? ?2, ?2 ? x ? 1, x ? 1 . ①当 x ? 1 时,原不等式可 去掉绝对 值化为

x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,解得: x ? 2 ,考虑 x ? 1 时得 x ? 2 . ②同理当 ?2 ? x ? 1 时,原不等式可 去掉绝对值化为 1 ? x ? x ? 2 ? 5 ,得 3 ? 5 ,无解. ③当 x ? ?2 时,原不等式可去掉绝对值 化为 1 ? x ? x ? 2 ? 5 ,解得: x ? ?3 ,考虑 x ? ?2 时得 x ? ?3 。
综合①②③得 x ? ??, ?3?

?

? ? 2, ?? ? .

⑵数轴法:从几何意义方面去考虑. x ? 1 的几何意义是表示 x 与 1 的距离, x ? 2 的几何意 义是表示 x 与 ?2 的距离, 原不等式的几何意义是求 x 与 1 的距离及与 ?2 的距离之和大于等 于 5,观察数轴:

?2

1

X

3 ;当 x 当 x 位于 ?2 与 1 之间时,x 与 1 的距离及与 ?2 的距离之和为 3, 即 x ?1 ? x ?2=
在 1 的右边时,取 x =2,有 x 与 1 的距离及与 ?2 的距离之和为 5,即 x ?1 ? x ? 2 =5 ,因 此当 x ? 2 时,有 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 . 同理,当 x 在 ?2 的左边时,取 x = ?3 ,有 x 与 1 的距 离及与 ?2 的距离之和为 5,即 x ?1 ? x ? 2 =5 ,因此当 x ? ?3 时,有 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 . 综合以上得 x ? ??, ?3?

?

? ? 2, ?? ? .

?2 x ? 1????, x ? 1 ? ⑶图象法:令 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ? ? ???3????????, ?2 ? x ? 1 ,画出其函数图象如下: ??2 x ? 1, ? x ? ?2 ?

y

5 3

?2

?3

?2

1

2

x

由图象可得,当 x ? 2 或 x ? ?3 时,有 f ( x) ? 5 ,即 x ?1 ? x ? 2 ? 5 。 【点评】 :比较以上三种解法,零点区域法的应用范围是最广的,蕴含了非常重要的分类讨 论的思想;而数轴法的解题速度是最快的,但应用范围较窄;而图象法则是运用了数形结合 的思想。为了更深刻地体会以上三种解法的特点,再看以下这道题: (2014 重庆理科数学第 16 题) 若不等式 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a ?
2

1 a ? 2 对任意实数 x 恒成立, 2

则实数 a 的取值范围是____________ 【分析】 :本题综合考查绝对值不等式及一元二次不等式的知识. 令 f ( x ) = 2x ?1 + x ? 2 , 观察 2x ?1 + x ? 2 的特点得出,不适合用数轴法,而零点区域法和图象法均可以。下面比 较一下这两种解法: 零点区域法:令 2 x ? 1 ? 0 及 x ? 2 ? 0 ,得 x1 = ,x2 ? ?2 . x1,x2 把实数轴分成三个区域:

1 2

1 1 1 , x ? . ①当 x ? 时,原不等式可去掉绝对值化为 f ( x) ? 3x ? 1 ,得: 2 2 2 5 1 f ( x) ? . ②同理当 ?2 ? x ? 时,原不等 式可去 掉绝对 值化为 f ( x) ? ? x ? 3 ,得: 2 2 5 f ( x ) ? . ③当 x ? ?2 时,原不等式可去掉绝对值化为 f ( x) ? ?3x ? 1 ,得: f ( x) ? 5 . 综 2 5 1 5 2 上得: 2 x ? 1 + x ? 2 ? ,因此有 a ? a ? 2 ? ,整理得: (2a ? 1)(a ? 1) ? 0 ,解得: 2 2 2 1 ?1 ? a ? . 2 x ? ?2, ?2 ? x ?

1 ? ?3 x ? 1, x ? 2 ? 1 ? 图象法: f ( x) ? 2 x ? 1 + x ? 2 ? ?? x ? 3, ?2 ? x ? ,画出其函数图象如下: 2 ? ??3 x ? 1, x ? ?2 ? ?

y

5

5 2

?2

1 2

x

由图象可得: 2 x ? 1 + x ? 2 ? 解得: ?1 ? a ?

5 1 5 2 ,因此有 a ? a ? 2 ? ,整理得: (2a ? 1)(a ? 1) ? 0 , 2 2 2

1 . 2

【点评】 :1. 本题不适合用数轴法,因为两个绝对值里 x 前面的系数不相同。2. 对比零点区 域法和图象法, 由于本题去绝对值后各段均为一次函数, 图象较简单, 因此图象法略胜一筹。 【巩固练习】 : ( 2014 江 西 理 科 数 学 第 11 题 ) (不等式选做题)对任意

x, y ? R , x ?1 ? x ? y ?1 ? y ? 1 的最小值为(
A. 1 B. 2 C. 3

) D. 4

【提示】 :令 f ( x) ? x ?1 ? x , g ( y) ? y ?1 ? y ?1 ,分别求出 f ( x), g ( y ) 的最小值后 加起来即可。同学们想一想,动手做一做,本题用哪种方法最快? 【总结】 : 1. 若每一个绝对值里 x 前面的系数都可化为 1 的话,则用数轴法是最方便的. 2. 在不能用数轴法的情况下,若能画出函数图象,一般来说图象法比零点区域法略胜一筹. 3. 零点区域法应用范围较广,可以解决难度较大的问题,如含参数的题目。


搜索更多“含绝对值不等式的解法比较”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com