伤城文章网 > 数学 > 高三数学第一轮复习专题七 第二讲

高三数学第一轮复习专题七 第二讲


第二讲





1. 基本事件的定义 一次试验中可能出现的结果都是随机事件,这类随机事件称为基本事件. 基本事件的特点: (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件都可以表示成基本事件的和. 2. 古典概型 (1)古典概型 我们把具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可 能性相等,以上两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (2)古典概率模型的概率求法 1 如果一次试验中基本事件共有 n 个, 那么每一个基本事件发生的概率都是 , 如果某个事 n m 件 A 包含了其中的 m 个基本事件,那么事件 A 发生的概率为 P(A)= . n 3. 几何概型 (1)几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. (2)几何概型的概率公式 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 4. 互斥事件与对立事件的关系 (1)对立是互斥,互斥未必对立; (2)如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A,B 中有一个发生)的概率,等于事件 A,B 分别发生的概率的和,即 P(A+B)=P(A)+P(B).这个公式称为互斥事件的概率加 法公式. (3)在一次试验中,对立事件 A 和 A 不会同时发生,但一定有一个发生,因此有 P( A ) =1-P(A).

1. (2013· 安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用 的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 ( )

2 A. 3 答案 D

2 B. 5

3 C. 5

9 D. 10

解析 由题意, 从五位大学毕业生中录用三人, 所有不同的可能结果有(甲, 乙, 丙), (甲, 乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙, 丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共 10 种,其中“甲与乙均未被录用”的所有不 同的可能结果只有(丙,丁,戊)这 1 种,故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有 9 9 种,所求概率 P= . 10 2. (2013· 四川)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相 互独立, 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( 1 1 3 7 A. B. C. D. 4 2 4 8 答案 C 解析 设在通电后的 4 秒钟内,甲串彩灯、乙串彩灯第一次 0≤X≤4 ? ? 亮的时刻为 x、y,x、y 相互独立,由题意可知?0≤y≤4 ? ?|x-y|≤2 , )

如图所示. ∴ 两串彩灯第一次亮的时间相差不超过 2 秒的概率为 P(|x - y|≤2) = 1 4×4-2× ×2×2 2 S正方形-2S△ABC 12 3 = = = . 16 4 S正方形 4×4 3. (2013· 福建)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“3a-1<0”发生的概率 为________. 1 答案 3 1 解析 由 3a-1<0 得 a< . 3 1 由几何概型概率公式得 P= . 3 4. (2012· 广东改编)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概 率是________. 1 答案 9 解析 个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数,所以 可以分两类. (1)当个位为奇数时,有 5×4=20(个)符合条件的两位数. (2)当个位为偶数时,有 5×5=25(个)符合条件的两位数. 因此共有 20+25=45(个)符合条件的两位数,其中个位数为 0 的两位数有 5 个,所以所 5 1 求概率为 P= = . 45 9

5. (2012· 安徽改编)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球.从球中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率是________. 2 答案 5 解析 设袋中红球用 a 表示,2 个白球分别用 b1,b2 表示,3 个黑球分别用 c1,c2,c3 表示,则从袋中任取两球所含基本事件为(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3), (b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3), (c2,c3),共 15 个. 两球颜色为一白一黑的基本事件有 (b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共 6 个. 6 2 ∴其概率为 = . 15 5

题型一 古典概型 例1 (1)(2013· 江苏)现有某类病毒记作 XmYn,其中正整数 m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取, 则 m,n 都取到奇数的概率为________. (2)设集合 P={a1,a2,a3,?,a10},则从集合 P 的全部子集中任取一个,取出含有 3 个元素的子集的概率是 3 1 A. B. 10 12 ( 45 C. 64 15 D. 128 )

审题破题 (1)利用古典概型概率的计算公式求解; (2)利用集合知识求出 P 的全部子集个 数和含 3 个元素的子集个数. 20 答案 (1) (2)D 63 4×5 20 解析 (1)P= = . 7×9 63 10×9×8 (2)集合 P 的全部子集个数为 210=1 024,含三个元素的子集个数为 . 6 10×9×8 15 ∴P= = . 128 6×210 m 反思归纳 古典概型是最基本的概率问题, 可以直接利用公式 P(A)= 求出事件的概率, n 解题关键是求基本事件总数和事件 A 所包含的基本事件个数. 变式训练 1 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教 师性别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同 一学校的概率.



(1)甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示;乙校男教师用 D 表示,两女

教师分别用 E、F 表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为: (A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共 9 种. 从中选出的 2 名教师性别相同的结果为:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共 4 种.所 4 以选出的 2 名教师性别相同的概率为 . 9 (2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D), (A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D, E),(D,F),(E,F),共 15 种. 从中选出的 2 名教师来自同一学校的结果为: (A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共 6 种. 6 2 所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 = . 15 5 题型二 几何概型 例2 (1)在区间[-1,1]上随机取一个数 x,cos 1 A. 3 πx 1 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2 2 D. 3 ( )

2 1 B. C. π 2 ?0≤x≤2, ? (2)设不等式组? 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点, 则此点到坐 ?0≤y≤2 ? 标原点的距离大于 2 的概率是 ( ) π-2 4-π π π A. B. C. D. 4 2 6 4 π 审题破题 (1)将 cos x 的条件转化为 x 的条件; (2)D 为正方形区域, 点满足的条件为 D 2 内的一个圆外. 答案 解析 (1)A (2)D (1)在区间[-1,1]上随机取一个实数 x,cos πx πx 的值位于[0,1]区间,若使 cos 的值 2 2 1 2 2 ? ? ? ? ? 位于? ?0,2?区间,取到的实数 x 应在区间?-1,-3?∪?3,1?内,根据几何概型的计算 1 2× 3 1 公式,可知 P= = . 2 3 ? ?0≤x≤2, (2)如图,不等式? 表示的区域 D 为正方形 OABC. ?0≤y≤2 ? 以 O 为圆心,以 2 为半径作圆弧 AMC ,则阴影部分内的点到原 点 O 的距离大于 2, 1 2×2- ·π·22 4 S阴影 4-π ∴P= = = . 4 S正方形 2×2 反思归纳 几何概型中基本事件总数是无限的,计算几何概型要抓住问题的测度(长度、

面积、体积),利用公式计算. 变式训练 2 (1)如图, 在单位圆 O 的某一直径上随机的取一点 Q, 过点 Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过 1 的概率为______. 3 答案 1- 2 解析 弦长不超过 1, 3 即|OQ|≥ ,而 Q 点在直径 AB 上是随机的, 2 事件 A={弦长超过 1}. 3 ×2 2 3 由几何概型的概率公式得 P(A)= = . 2 2 3 ∴弦长不超过 1 的概率为 1-P(A)=1- . 2 V (2)在体积为 V 的三棱锥 S—ABC 的棱 AB 上任取一点 P, 则三棱锥 S—APC 的体积大于 3 的概率为________. 2 答案 3 VS—ABC S△ABC AB 解析 ∵ = = , VS—APC S△APC AP AP V 1 ∴VS—APC= · V> ,AP> AB, AB 3 3 2 所以所求概率为 . 3 题型三 互斥事件、对立事件的概率 例3 班级联欢时,主持人拟出了如下一些节目:跳双人舞、独唱、朗诵等,指定 3 个男生 和 2 个女生来参与,把 5 个人分别编号为 1,2,3,4,5,其中 1,2,3 号是男生,4,5 号是女生, 将每个人的编号分别写在 5 张相同的卡片上,并放入一个箱子中充分混合,每次从中随 机地取出一张卡片,取出谁的编号谁就参与表演节目. (1)为了选出 2 人来表演双人舞,连续抽取 2 张卡片,求取出的 2 人不全是男生的概率; (2)为了选出 2 人分别表演独唱和朗诵,抽取并观察第一张卡片后,又放回箱子中,充分 混合后再从中抽取第二张卡片,求:独唱和朗诵由同一个人表演的概率. 审题破题 “不全是男生”包括“二个女生”,“一男一女”两种情况,将所求事件分 解为两个互斥事件的和. 解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取 2 张卡片的所有可能结果(如图所示).

由上图可以看出,试验的所有可能结果数为 20,因为每次都随机抽取,所以这 20 种结 果出现的可能性是相同的,试验属于古典概型. 用 A1 表示事件“连续抽取 2 人是一男一女”,A2 表示事件“连续抽取 2 人都是女生”,

则 A1 与 A2 互斥, 并且 A1∪A2 表示事件“连续抽取 2 张卡片, 取出的 2 人不全是男生”, 由列出的所有可能结果可以看出,A1 的结果有 12 种,A2 的结果有 2 种,由互斥事件的 12 2 7 概率加法公式, 可得 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)= + = =0.7, 即连续抽取 2 张卡片, 20 20 10 取出的 2 人不全是男生的概率为 0.7. (2)有放回地连续抽取 2 张卡片,需注意同一张卡片可再次被取出,并且它被取出的可能 性和其他卡片相等,我们用一个有序实数对表示抽取的结果,例如“第一次取出 2 号, 第二次取出 4 号”就用(2,4)来表示,所有的可能结果可以用下表列出. 第二次抽取 第一次抽取 1 2 3 4 5 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)

试验的所有可能结果数为 25,并且这 25 种结果出现的可能性是相同的,试验属于古典 概型. 用 A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”,由上表可以看出,A 的结果共有 5 种, 5 1 因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率 P(A)= = =0.2. 25 5 反思归纳 运用互斥事件的概率公式时,一定要首先确定各事件是否彼此互斥,然后分 别求出各事件发生的概率,再求和.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事 件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再运用公式求解. 变式训练 3 一盒中装有大小和质地均相同的 12 个小球,其中 5 个红球,4 个黑球,2 个白 球,1 个绿球.从中随机取出 1 球,求 (1)取出的小球是红球或黑球的概率; (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率. 解 方法一 (1)从 12 个球中任取 1 球是红球有 5 种取法,是黑球有 4 种取法,是红

球或黑球共有 5+4=9 种不同取法,而任取 1 球共有 12 种取法. 9 3 ∴任取 1 球是红球或黑球的概率为 P1= = . 12 4 (2)从 12 个球中任取 1 球是红球有 5 种取法,是黑球有 4 种取法,是白球有 2 种取法, 5+4+2 11 ∴任取 1 球是红球或黑球或白球的概率 P2= = . 12 12 方法二 记事件 A={任取 1 球为红球}, B={任取 1 球为黑球},C={任取 1 球为白球}, D={任取 1 球为绿球},

5 1 1 1 则 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 12 3 6 12 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 5 1 3 P1=P(A)+P(B)= + = . 12 3 4 (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 5 1 1 11 P2=P(A)+P(B)+P(C)= + + = . 12 3 6 12 1 11 (或 P2=1-P(D)=1- = ). 12 12

典例

(12 分)(2012· 湖南)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息, 安排一名员工随

机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 x 1 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 y 2.5 17 件及以上 10 3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率) 规范解答 解 (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45, [2 分]

所以 x=15,y=20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均 值可用样本平均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 100 =1.9(分钟). [6 分]

(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A1,A2,A3 分别表示事 件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分 钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率得 15 3 30 3 P(A1)= = ,P(A2)= = , 100 20 100 10 25 1 P(A3)= = . 100 4 因为 A=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件, 所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3)

[9 分]



3 3 1 7 + + = . 20 10 4 10 [12 分]

7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10

评分细则 (1)x,y 计算正确得 2 分;若只有 x,y 的值而无计算过程得 1 分;(2)将事件 A 正确拆分得 1 分;P(A1)、P(A2)、P(A3)少一个扣 0.5 分;(3)没有指明 A1、A2、A3 互斥 扣 1 分. 阅卷老师提醒 (1)对复杂事件概率的计算要对事件进行拆分,转化为几个互斥事件的

和;(2)事件拆分要不重不漏,否则易造成失分;(3)求概率时步骤要完备,每个小事件的 概率要计算出来.

1. 有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 答案 A 解析 甲、乙两位同学参加 3 个小组的所有可能性有 3×3=9(种),其中甲、乙两人参加 3 1 同一个小组的情况有 3 种.故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率 P= = . 9 3 2 2 x y 3 2. 某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为 a,b,则椭圆 2+ 2=1 的离心率 e> 的概率 a b 2 是 1 A. 18 答案 C 解析 e= 四种情况: 当 b=2 时,有 a=5,6 两种情况,总共有 6 种情况. 6 1 所以概率为 = . 6×6 6 3. 盒子内装有红球、白球、黑球三种,其数量分别为 3、2、1,从中任取两球,则互斥而 不对立的两个事件为 A.至少有一个白球;都是白球 B.至少有一个白球;至少有一个红球 C.恰有一个白球;一个白球一个黑球 D.至少有一个白球;红、黑球各一个 答案 D ( ) b2 3 b 1 1- 2> ? < ?a>2b,符合 a>2b 的情况有:当 b=1 时,有 a=3,4,5,6 a 2 a 2 5 B. 36 1 C. 6 1 D. 3 ( ) ( )

解析 红、 黑球各取一个, 则一定取不到白球, 故“至少有一个白球; 红、 黑球各一个” 为互斥事件,又任取两球还包含其他事件,所以不对立. 4. 盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个.若从中随机取 出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率为________. 3 答案 5 解析 红色球分别用 A1,A2,A3 表示,黄色球分别用 B1,B2 表示.从中随机取出 2 个 球:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(A1,A2), 6 3 (A2,A3),(A1,A3)共 10 种取法.2 个球颜色不同共 6 种,故所求概率为 = . 10 5 5. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心 1 1 的距离大于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家 2 4 看书.则小波周末不在家看书的概率为________. 13 答案 16 1?2 π×12-π×? ?2? 3 解析 ∵去看电影的概率 P1= = , 4 π×12 1?2 π×? ?4? 1 去打篮球的概率 P2= = , π×12 16 3 1 13 ∴不在家看书的概率为 P= + = . 4 16 16 3 6. 在集合 A={m|关于 x 的方程 x2+mx+ m+1=0 无实根}中随机地取一元素 x,恰使式子 4 lg x 有意义的概率为________. 4 答案 5 3 ? 解析 由于 Δ=m2-4? ?4m+1?<0,得-1<m<4,若使 lg x 有意义,必须使 x>0. 在数轴上表示为 4 故所求概率为 . 5 ,

专题限时规范训练
一、选择题 1. 某射手的一次射击中,射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.2、0.3、0.1,则此射手在 一次射击中不超过 8 环的概率为 A.0.5 答案 A 解析 依题设知,此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 1-(0.2+0.3)=0.5. 2. 从数字 1,2,3,4,5 中随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数, 其各位数字之和等于 9 的概率是 ( ) B.0.3 C.0.6 D.0.9 ( )

1 A. 3 答案 D

16 B. 125

18 C. 125

19 D. 125

解析 个位数字依次为 1,2,3,4,5 时, 前两位数字之和依次为 8,7,6,5,4, 且依次有 3,4,5,4,3 3+4+5+4+3 19 种结果,故组成的三位数各位数字之和等于 9 的概率 P(A)= = . 125 125 3. 一只猴子任意敲击电脑键盘上的 0 到 9 这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数 字键)得到的两个数字恰好都是 3 的倍数的概率为 9 3 A. B. 100 50 3 2 C. D. 100 9 答案 A 解析 任意敲击 0 到 9 这十个数字键两次,其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,?,9); (1,i)(i=0,1,2,?,9);(2,i)(i=0,1,2,?,9);?;(9,i)(i=0,1,2,?9).故共有 100 种结果.两个数字都是 3 的倍数的结果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3), 9 (9,6),(9,9).共有 9 种,故所求概率为 . 100 x y 4. 在集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}内任取一个元素,能使不等式 + -1≤0 成立的概率为 5 2 ( 1 A. 4 答案 A 解析 集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线 x=0,x x y =5,y=0,y=4 所围成的长为 5,宽为 4 的矩形,而不等式 + -1≤0 和集合{(x, 5 2 y)|0≤x≤5,0≤y≤4}表示的公共区域是以 5 为底、2 为高的一个直角三角形,由几何概型 1 ×5×2 2 1 公式可以求得概率为 = . 4 5×4 5. 口袋中有 100 个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球 45 个,从口袋中摸出一个球, 摸出白球的概率是 0.23,则摸出黑球的概率为 A.0.45 答案 D 45 解析 摸出红球的概率为 =0.45,因为摸出红球,白球和黑球是互斥事件,因此摸出 100 黑球的概率为 1-0.45-0.23=0.32. 6. 任意抛掷两颗骰子,得到的点数分别为 a,b,则点 P(a,b)落在区域|x|+|y|≤3 中的概率 为 25 A. 36 答案 D ( 1 B. 6 1 C. 4 1 D. 12 ) B.0.67 C.0.64 D.0.32 ( ) 3 B. 4 1 C. 3 2 D. 3 ) ( )

3 1 解析 P(a,b)落在区域|x|+|y|≤3 中的有(1,1),(1,2),(2,1),∴P= = . 6×6 12 7. 记集合 A={(x,y)|x2+y2≤16}和集合 B={(x,y)|x+y-4≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区 域分别为 Ω1, Ω2, 若在区域 Ω1 内任取一点 M(x, y), 则点 M 落在区域 Ω2 的概率为( π-2 1 1 1 A. B. C. D. 2π π 4 4π 答案 A 解析 区域 Ω1 为圆心在原点,半径为 4 的圆,区域 Ω2 为等腰直角三角形,两腰长为 4, SΩ2 8 1 所以 P= = = ,故选 A. SΩ1 16π 2π 8. A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则 A∩B=B 的概率是 2 1 8 A. B. C. D.1 9 3 9 答案 C 解析 有序实数对(a,b)的取值情形共有 9 种,满足 A∩B=B 的情形有 ①(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3),此时 B=?; ②(2,1),此时 B={1}; ③(3,2),此时 B={1,2}. 8 所以 A∩B=B 的概率为 P= . 9 二、填空题 9. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面,记所 x 得的数字分别为 x,y,则 为整数的概率是________. y 1 答案 2 解析 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字 x,y 记作有序实数对(x,y), x 共包含 16 个基本事件,其中 为整数的有 y (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),共 8 个基本事件,故所求的概率为 8 1 = . 16 2 10.在区间[-6,6]内任取一个元素 x0,若抛物线 y=x2 在 x=x0 处的切线的倾斜角为 α,则 π 3π? α∈? ?4, 4 ?的概率为________. 11 答案 12 π 3π? 1 1 解析 当 α∈? ?4, 4 ?时,斜率 k≥1 或 k≤-1,又 y′=2x,所以 x0≥2或 x0≤-2,所以 11 P= . 12 11.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点.若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 AB 的长 度小于 1 的概率为________. 2 答案 3 ( ) )

解析 如图可设 l

=1,则由几何概型可知其整体事件是 2 其周长 3,则其概率是 . 3
AB

12.已知函数 f(x)=-x2+ax-b.若 a,b 都是从区间[0,4]任取的一个数,则 f(1)>0 成立的概率 是________. 9 答案 32 解析 f(1)=-1+a-b>0,

即 a-b>1, 如图,A(1,0),B(4,0),C(4,3), 9 S△ABC= , 2 9 2 S△ABC 9 P= = = . S矩 4×4 32 三、解答题 x+2 13.已知集合 A={x|x2+3x-4<0},B={x| <0}. x-4 (1)在区间(-4,5)上任取一个实数 x,求“x∈A∩B”的概率; (2)设(a,b)为有序实数对,其中 a,b 分别是集合 A,B 中任取的一个整数,求“a- b∈A∪B”的概率. 解 x+2 (1)由已知得 A={x|x2+3x-4<0}={x|-4<x<1},B={x| <0}={x|-2<x<4}, x-4

显然 A∩B={x|-2<x<1}. 3 1 设事件“x∈A∩B”的概率为 P1,由几何概型的概率公式得 P1= = . 9 3 (2)依题意,得(a,b)的所有可能的结果一共有以下 20 种: (-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2),(-3,3),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2), (-2,3),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2), (0,3), 又 A∪B={x|-4<x<4}, 因此“a-b∈A∪B”的所有可能的结果一共有以下 14 种: (-3, -1),(-3,0),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0, -1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3). 14 7 所以“a-b∈A∪B”的概率 P2= = . 20 10 14.某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果;

②求抽取的 2 所学校均为小学的概率. 解 (1)由分层抽样定义知, 21 从小学中抽取的学校数目为 6× =3; 21+14+7 14 从中学中抽取的学校数目为 6× =2; 21+14+7 7 从大学中抽取的学校数目为 6× =1. 21+14+7 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记为 A4,A5,大 学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5}, {A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6}, {A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1, A3},{A2,A3},共 3 种, 3 1 所以 P(B)= = . 15 5


搜索更多“高三数学第一轮复习专题七 第二讲”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com