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2013年鄂州二中高一数学必修二立体几何测试卷答h


2013 年鄂州市二中必修二《立体几何》测试题
试卷满分 150 分,时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1、垂直于同一条直线的两条直线一定 ( D ) A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能 2、过直线 l 外两点作与直线 l 平行的平面,可以作( C ) A.1 个 B.1 个或无数个 C.0 个、1 个或无数 D.0 个或无数个个

3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4,5 ,且它的 8 个
顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( B )

A. 25?

B. 50?

C. 125?

D.都不对

4.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2) 为( A )

A. 48+12 5 、已知 ( D )

B.48+24

C.36+12

D.36+24

? 、 ? 是平面,m、n 是直线,则下列命题不正确的是 ...
B.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? D.若 m n,? ? ? ? n,则 a∥? ∥

A.若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? C.若 m ? ? , m // n, n ? ? ,则 ? ? ? 6、给出下列命题

①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为( B A.0 个 ) C.2 个 D.3 个

B.1 个

7、点 P 是等腰三角形 ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,PA=8,在△ABC 中,底 边 BC=6,AB=5,则 P 到 BC 的距离为( A)
1

A.

B.

C.

D.

8.如图,A—BCDE 是一个四棱锥,AB ⊥平面 BCDE ,且 四边形 BCDE 为矩形,则图中互相垂直的平面共有( A.4 组 B.5 组 C.6 组 D.7 组 C )

9. 在正三 棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,AA1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离为( B ) A. 3 4 B. 3 2 3 3 C. 4 D. 3

10.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1, 1 线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF= ,则下列结论错误 2 的是(D) A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD

C.三棱锥 A—BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 a, b 是两条异面直线, c // a ,那么 c 与 b 的位置关系__异面或相交________ 12.圆台的上、下底半径分别为 2 和 4,母线长为 4,则截得此圆台的圆锥侧面展开图的 中心角为___π_____. 13、 是棱长为 2cm 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点, M 沿正方体表面从点 A 到点 M 的最短路程是

13

cm.

14. 如下图所示, 以等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AD 为折痕. ABD 和△ACD 使△ 折成互相垂直的两个平面,则: (1)BD 与 CD 的关系为___ BD⊥CD _____. (2)∠BAC=___60°_____.

2

15.在正方体 ABCD—A′B′C′D′中,过对角线 BD′的 一个平面交 AA′于 E,交 CC′于 F,则 ①四边形 BFD′E 一定是平行四边形. ②四边形 BFD′E 有可能是正方形. ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形. ④平面 BFD′E 有可能垂直于平面 BB′D.以上结论正确的为____①③④______. (写 出所有正确结论的编号) 三、解答题(75 分) 16.(12 分)如下图,已知 ABCD 是矩形,E 是以 CD 为直径的半圆周上一点,且面

CDE⊥面 ABCD.
求证:CE⊥平面 ADE. 面ABCD⊥面CED?

证明:

ABCD为矩形

? ?

?AD⊥面CDE?AD⊥CE 又AD∩ED=D ?CE⊥面 ADE.

点E在直径为CD的半圆上?CE⊥ED

? ? ?

17.(12 分)已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上 的点,A1M=AN= 2 a,如图. 3

(1)求证:MN∥面 BB1C1C; (2)求 MN 的长. 解:(1)证明:作 NP⊥AB 于 P,连接 MP.NP∥BC,



AP AN A1M = = ,∴MP∥AA1∥BB1, AB AC A1B

3

∴面 MPN∥面 BB1C1C.MN?面 MPN, ∴MN∥面 BB1C1C. 2 a 3

(2)

NP AN 1 1 2 = = = ,NP= a,同理 MP= a. BC AC 3 3 2a 3

又 MP∥BB1,∴MP⊥面 ABCD,MP⊥PN. 在 Rt△MPN 中 MN= 4 2 1 2 5 a + a = a. 9 9 3

π ,斜边 AB ? 4 . Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以 6 直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角.动点 D 的斜边 AB 上.
18. (12 分) Rt△AOB 中,?OAB ? (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与 CD 所成 角正切值的大小; 18(I)由题意, CO ? AO , BO ? AO ,

??BOC 是二面角 B ? AO ? C 是直二面角, 又?二面角 B ? AO ? C 是直二面角, ?CO ? BO ,又? AO ? BO ? O , ?CO ? 平面 AOB ,又 CO ? 平面 COD . ?平面 COD ? 平面 AOB .
(II)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图) ,则

DE ∥ AO ,??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角. 1 在 Rt△COE 中, CO ? BO ? 2 , OE ? BO ? 1 , 2 1 ? CE ? CO 2 ? OE 2 ? 5 .又 DE ? AO ? 3 . 2
?在 Rt△CDE 中, tan CDE ?
CE 5 15 . ? ? DE 3 3

?异面直线 AO 与 CD 所成角的正切为 15 . 3
19. (本小题满分 13 分)在 ? BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,

4

∠ ADB=60 ° , E 、 F 分 别 是 AC 、 AD 上 的 动 点 , 且

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1). AC AD
(Ⅰ)求证:不论λ为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (Ⅱ)当λ为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD? (14 分) 19(Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵ CD ⊥ BC 且 AB ∩ BC=B ,

A

E C F D

∴ CD ⊥ 平 面

ABC. B

又? AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1), AC AD ∴不论λ为何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC,EF ? 平面 BEF, ∴不论λ为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, ∴ BD ?
? AC ?

2 , AB ? 2 tan 60 ? ? 6 ,
AB 2 ? BC 2 ? 7 , 由 AB2=AE〃AC 得 AE ? 6 ,? ? ? AE ? 6 ,
7 AC 7

故当 ? ?

20( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 图 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 底 面 A B C D ,

6 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7

P AB ? AD,AC ? CD, ?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. E (Ⅰ)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (Ⅱ)证明 AE ? 平面 PCD ; A D (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的正弦值. C 20(Ⅰ)解:在四棱锥 P ? ABCD 中,因 PA ? 底面 ABCD , AB ? 平 B 面 ABCD ,故 PA ? AB . 又 AB ? AD , PA ? AD ? A ,从而 AB ? 平面 PAD .故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA ,从而∠APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角. P ? M 在 Rt△PAB 中, AB ? PA ,故∠APB ? 45 . E ? 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45 . A D (Ⅱ)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中, C B 因 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,故 CD ? PA . 由条件 CD ? AC ,PA ? AC ? A ,?CD ? 面 PAC .又 AE ? 面 PAC , AE ? CD . ?
由 PA ? AB ? BC ,∠ABC ? 60 ,可得 AC ? PA .? E 是 PC 的中点,? AE ? PC ,
?

5

? PC ? CD ? C .综上得 AE ? 平面 PCD . (Ⅲ)解:过点 E 作 EM ? PD ,垂足为 M ,连结 AM .由(Ⅱ)知, AE ? 平面 PCD , AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ,则 AM ? PD .
因此∠AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角.由已知,得∠CAD ? 30 .设 AC ? a ,得
?

PA ? a , AD ?

2 3 21 2 a , AE ? a , PD ? a. 3 3 2

在 Rt△ADP 中,? AM ? PD ,? AM ? PD ? PA?AD ,则

PA?AD AM ? ? PD

2 3 a? a 2 7 AE 14 3 ? a .在 Rt△AEM 中, sin AME ? AM 4 7 21 a 3

21.(本小题满分 13 分)已知某几何体的三视图如下图所示,其中俯视图为正三角形, 设 D 为 AA1 的中点. (1)作出该几何体的直观图并求其体积. (2)求证:平面 BB1C1C⊥平面 BDC1. (3)BC 边上是否存在点 P,使 AP∥平面 BDC1?若不存在, 说明理由;若存在,证明你的结论. 21[解析] 由题意可知该几何体为直三棱柱, 且它的直观图如 图所示.由图知底面正三角形边长为 2,棱柱高为 3, ∴S△ABC= 3,∴V=3 3. (2)证明:连结 B1C 交 BC1 于 E 点,则 E 为 B1C、BC1 的中 点,连结 DE.∵AD=A1D,AB=A1C1,∠BAD=∠DA1C1= 90°,∴△ABD≌△A1C1D.∴BD=C1D.∴DE⊥BC1. 同理,DE⊥B1C,又∵B1C∩BC1=E.∴DE⊥平面 BB1C1C. 又∵DE?平面 BDC1,∴平面 BB1C1C⊥平面 BDC1. (3)解:取 BC 的中点 P,连结 AP,则 AP∥平面 BDC1, 证明:连结 PE,则 PE∥AD,且 PE=AD,∴四边形 APED 为平行四边形.∴AP ∥DE.又 DE?平面 BDC1,AP?平面 BDC1,∴AP∥平面 BDC1.
6


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