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浙江省宁波市余姚三中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年浙江省宁波市余姚三中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本题共 10 小题,每题 4 分,共 40 分) 1.设集合 A={x|x>﹣1,x∈Q},则( ) A.Φ?A B. ?A C.{ }∈A D.{ }?A

2.函数 y=ln(x﹣1)的定义域是( ) A. (1,2) B.[1,+∝) C. (1,+∝)
2

D. (1,2)∪(2. ,+∝)

3.如果函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间[4,+∞)上是递增的,那么实数 a 的取值范围 是( ) A.a≤3 B.a≥﹣3 C.a≤5 D.a≥5 4.已知 a>0 且 a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是( A. C.
0.3 7



B. D. )

5.三个数 7 ,0.3 ,ln0.3,的大小关系是( 0.3 7 0.3 7 A.7 >0.3 >ln0.3 B.7 >ln0.3>0.3 7 0.3 0.3 7 C.0.3 >7 >ln0.3 D.ln0.3>7 >0.3
x

6.根据表格中的数据,可以判定方程 e ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间为( x 0 1 2 3 ﹣1 x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 e x+2 1 2 3 4 5 A. (﹣1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.已知函数 f(2x﹣1)的定义域为(1,2) ,则函数 f(x+1)的定义域为( A. (0,2) B. (1,2) C. (1,3) D. (0,3)
2





8.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=﹣x +2x,则当 x<0 时,f(x)的解 析式是( ) A.f(x)=﹣x(x+2) B.f(x)=x(x﹣2) C.f(x)=﹣x(x﹣2) D.f(x)=x (x+2) 9.函数 y=|lg(x+1)|的图象是( )

A.

B.

C.

D. 10.设 f(x)是偶函数且在(﹣∞,0)上是减函数,f(﹣1)=0 则不等式 xf(x)>0 的解 集为( ) A. (﹣1,0)∪(0,1) B. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C. (﹣1,0)∪(1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(0,1)

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.若函数 f(x)既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是 f(x)=

12.化简
2

=

. 个,分别是 +3 过定点 . .

13.函数 f(x)=﹣x +2x+3,则该函数的零点有 14.y=loga(x+2)+3 过定点 ;y=a
x+2

15.已知函数 f(x)=ax +bx+ +2,f(﹣2)=﹣6,则 f(2)=

3



16.函数 f(x)=( )

的单调递减区间是



17.若 loga <1(a>0 且 a≠1) ,则实数 a 的取值范围是



三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 18. (10 分) (2015 秋?余姚市校级期中)计算:

(1)

﹣( ) +0.25
2

0

×(

) ;

﹣4

(2)lg25+lg50?lg2+(lg2) .

19. (10 分) (2015 秋?余姚市校级期中)已知函数 f(x)= 合 A,集合 B={x|1<x<8},C={x|a<x<2a+1} (1)求 A, (?RA)∩B; (2)若 A∪C=A,求实数 a 的取值范围.



的定义域为集

20. (10 分) (2015 秋?余姚市校级期中)已知函数 f(x)=loga(1+x) ,g(x)=loga(1﹣x) 其中(a>0 且 a≠1) ,设 h(x)=f(x)﹣g(x) . (1)求函数 h(x)的定义域,判断 h(x)的奇偶性,并说明理由; (2)求使 h(x)>0 的 x 的取值范围. 21. (10 分) (2015 秋?余姚市校级期中)已知函数 f(x)=2 ,且 f(a+2)=12,g(x)=2 x ﹣9 . (1)求 g(x)的解析式; (2)当 x∈[﹣2,1]时,求 g(x)的值域.
x ax

22. (12 分) (2015 秋?余姚市校级期中)已知函数 f(x)=a﹣ (1)若该函数为奇函数,求 a; (2)判断 f(x)在 R 上的单调性,并证明你的结论.

2015-2016 学年浙江省宁波市余姚三中高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 10 小题,每题 4 分,共 40 分) 1.设集合 A={x|x>﹣1,x∈Q},则( ) A.Φ?A B. ?A C.{ }∈A D.{ }?A

【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】探究型;集合. 【分析】根据集合元素和集合关系进行判断即可. 【解答】解:∵ ∴ ?A. 是无理数,

故选:B. 【点评】本题主要考查元素和集合关系的判断,比较基础. 2.函数 y=ln(x﹣1)的定义域是( ) A. (1,2) B.[1,+∝) C. (1,+∝) D. (1,2)∪(2. ,+∝) 【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据对数函数的真数一定大于 0,即可求出 x 的取值范围,得到答案. 【解答】解:解不等式 x﹣1>0,得 x>1, 故选 C. 【点评】本题考查的是对数函数的定义域问题,注意真数一定大于 0;属于基础知识. 3.如果函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间[4,+∞)上是递增的,那么实数 a 的取值范围 是( ) A.a≤3 B.a≥﹣3 C.a≤5 D.a≥5 【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 2 【分析】由抛物线函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 开口向上,对称轴方程是 x=1﹣a,在区间 [4,+∞)上递增,知 1﹣a≤4,由此能求出实数 a 的取值范围. 2 【解答】解:∵抛物线函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 开口向上, 对称轴方程是 x=1﹣a,在区间[4,+∞)上递增, ∴1﹣a≤4,解得 a≥﹣3. 故选 B. 【点评】本题考查二次函数的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 4.已知 a>0 且 a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是( )
2

A. C. D.

B.

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】常规题型. 【分析】根据函数的三个要素:定义域,对应法则,值域,进行判断,对 A、B、C、D 四 个选项进行一一判断;

【解答】解:A、∵y=logax,其定义域为{x|x>0}, 为{x|x>0 且 x≠1},故 A 错误; B、 C、∵ D、∵

=

,其定义域

=x,其定义域为{x|x>0},y=x 的定义域为 R,故 B 错误; =2x,与 y=2x,的定义域都为 R,故 C 正确; 的定义域为 R,y=2logax 的定义域为{x|x>0},故 D 错误,

故选 C. 【点评】判断两个函数为同一函数,不能光看函数的解析式,还得看定义域,此题是一道基 础题; 5.三个数 7 ,0.3 ,ln0.3,的大小关系是( ) 0.3 7 0.3 7 A.7 >0.3 >ln0.3 B.7 >ln0.3>0.3 7 0.3 0.3 7 C.0.3 >7 >ln0.3 D.ln0.3>7 >0.3 【考点】对数值大小的比较. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】本题宜用中间量法比较,由相关的函数的性质,求出其所在的范围,再比较大小即 可 0.3 7 【解答】解:由题,7 >1,0.3 ∈(0,1) ,ln0.3<0 0.3 7 三者大小关系为 7 >0.3 >ln0.3 故选 A 【点评】本题考查数的大小比较,由于三个数涉及到三类函数,故无法用单调性直接比较, 一般此类题都是用中间量法比较. 6.根据表格中的数据,可以判定方程 e ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间为( ) x 0 1 2 3 ﹣1 x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 e x+2 1 2 3 4 5 A. (﹣1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 【考点】函数零点的判定定理;函数的零点与方程根的关系. 【专题】计算题. x x x 【分析】令 f(x)=e ﹣x﹣2,方程 e ﹣x﹣2=0 的根即函数 f(x)=e ﹣x﹣2 的零点,由 f (1)<0,f(2)>0 知,
x 0.3 7

方程 e ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间为 (1,2) . x 【解答】解:令 f(x)=e ﹣x﹣2,由图表知,f(1)=2.72﹣3=﹣0.28<0,f(2)=7.39﹣ 4=3.39>0, x 方程 e ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间为 (1,2) , 故选 C. 【点评】本题考查方程的根就是对应函数的零点,以及函数在一个区间上存在零点的条件. 7.已知函数 f(2x﹣1)的定义域为(1,2) ,则函数 f(x+1)的定义域为( ) A. (0,2) B. (1,2) C. (1,3) D. (0,3) 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】函数 f(2x﹣1)的定义域为(1,2) ,求出 2x+1 的范围,再得出函数 f(x)的定 义域,最后求出函数 f(x+1)的定义域. 【解答】解:∵函数 f(2x﹣1)的定义域为(1,2) ,∴1<2x﹣1<3, 即函数 f(x)的定义域为(1,3) . ∴函数 f(x+1)的定义域需满足 1<x+1<3, 即 0<x<2, 函数 f(x+1)的定义域为(0,2) 故选:A 【点评】本题考查了函数的概念,符合函数定义域的求解方法思路,要求对函数要素的理解 非常好. 8.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=﹣x +2x,则当 x<0 时,f(x)的解 析式是( ) A.f(x)=﹣x(x+2) B.f(x)=x(x﹣2) C.f(x)=﹣x(x﹣2) D.f(x)=x (x+2) 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. 2 【分析】f(x)是 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=﹣x +2x,设 x<0 时则﹣x>0,转 化为已知求解. 【解答】解:∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) , 2 当 x≥0 时,f(x)=﹣x +2x, 设 x<0,则﹣x>0, 2 2 ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[﹣(﹣x) +2(﹣x)]=x +2x, 故选:D 【点评】本题考查了运用奇偶性求解析式,注意自变量的转化. 9.函数 y=|lg(x+1)|的图象是( )
2

x

A.

B.

C.

D. 【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】数形结合. 【分析】 本题研究一个对数型函数的图象特征, 函数 y=|lg (x+1) |的图象可由函数 y=lg (x+1) 的图象将 X 轴下方的部分翻折到 X 轴上部而得到,故首先要研究清楚函数 y=lg(x+1)的 图象,由图象特征选出正确选项 【解答】解:由于函数 y=lg(x+1)的图象可由函数 y=lgx 的图象左移一个单位而得到,函 数 y=lgx 的图象与 X 轴的交点是(1,0) , 故函数 y=lg(x+1)的图象与 X 轴的交点是(0,0) ,即函数 y=|lg(x+1)|的图象与 X 轴的 公共点是(0,0) , 考察四个选项中的图象只有 A 选项符合题意 故选 A 【点评】 本题考查对数函数的图象与性质, 解答本题关键是掌握住对数型函数的图象图象的 变化 规律,由这些规律得出函数 y=|lg(x+1)|的图象的特征,再由这些特征判断出函数图 象应该是四个选项中的那一个 10.设 f(x)是偶函数且在(﹣∞,0)上是减函数,f(﹣1)=0 则不等式 xf(x)>0 的解 集为( ) A. (﹣1,0)∪(0,1) B. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C. (﹣1,0)∪(1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先根据偶函数的性质确定函数在(0,∞)上是增函数,再将不等式等价变形,利 用函数的单调性,即可求解不等式. 【解答】解:∵f(x)是偶函数且在(﹣∞,0)上是减函数, ∴函数在(0,+∞)上是增函数, ∵f(﹣1)=0,∴f(1)=0,

则不等式 xf(x)>0 等价于 解得 x>1 或﹣1<x<0,





故不等式 xf(x)>0 的解集为(﹣1,0)∪(1,+∞) , 故选:C. 【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中 档题. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 若函数 f (x) 既是幂函数又是反比例函数, 则这个函数是 f (x) = 【考点】幂函数的性质;函数的表示方法. 【专题】计算题. 【分析】根据幂函数和反比例函数的定义确定出函数的解析式,从而问题解决. 【解答】解:∵函数 f(x)既是幂函数 ∴y=x , 又是反比例函数 ∴ , ∴k=1, 故答案为: . 【点评】本题主要考查了幂函数的性质、函数的表示方法等,属于基础题.
α

12.化简

= π﹣3 .

【考点】有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题.

【分析】根据公式 【解答】解: 故答案为:π﹣3

化简即可 =|3﹣π|=π﹣3

【点评】本题考查公式 简单题

的应用,要注意被开方数的底数的正负号.属

13.函数 f(x)=﹣x +2x+3,则该函数的零点有 2 个,分别是 ﹣1,3 . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用. 【分析】 利用函数的零点与方程的关系, 求解方程的根, 即可得到函数的零点的个数与零点. 2 2 【解答】解:函数 f(x)=﹣x +2x+3,则该函数的零点就是方程﹣x +2x+3=0 的根,解得 x=﹣1,x=3 是方程的解. 所以函数的零点有 2 个,分别为:﹣1,3. 故答案为:第一问:2;

2

第二问:﹣1,3. 【点评】本题考查函数的零点的个数的求法,考查计算能力. 14.y=loga(x+2)+3 过定点 (﹣1,3) ;y=a 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【专题】函数的性质及应用.
x+2

+3 过定点 (﹣2,4) .

【分析】由对数定义知,函数 y=logax 图象过定点(1,0) ,故可令 x+2=1 求此对数型函数 x 图象过的定点.由指数定义知,函数 y=a 图象过定点(0,1) ,故可令 x+2=0 求此对数型函 数图象过的定点. 【解答】解:由对数函数的定义, 令 x+2=1,此时 y=3, 解得 x=﹣1, 故函数 y=loga(x+2)的图象恒过定点(﹣1,3) , 由指数函数的定义, 令 x+2=0,此时 y=4, 解得 x=﹣2, 故函数 y=a +3 的图象恒过定点(﹣2,4) , 故答案为(﹣1,3) , (﹣2,4) 【点评】 本题考点是对数函数和指数函数的单调性与特殊点, 考查对数函数和指数函数恒过 定点的问题,属于基础题.
x+2

15.已知函数 f(x)=ax +bx+ +2,f(﹣2)=﹣6,则 f(2)= 10 . 【考点】函数奇偶性的性质;函数的值. 【专题】整体思想;函数的性质及应用. 【分析】运用函数 f(x)=ax +bx+ +2,f(﹣x)+f(x)=4,当 x=2 时整体求解. 【解答】解:∵函数 f(x)=ax +bx+ +2,∴f(﹣x)+f(x)=4, ∵f(﹣2)=﹣6,∴f(2)=4﹣(﹣6)=10, 故答案为:10. 【点评】本题综合考查了函数性质奇偶性,结合整体方法求解.
3 3

3

16.函数 f(x)=( ) 【考点】复合函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用.

的单调递减区间是 (﹣∞,0]



【分析】令 t=﹣x +4,则 f(x)= 性质可得结论.

2

,本题即求函数 t 的增区间,再利用二次函数的

【解答】解:令 t=﹣x +4,则 f(x)=

2

,本题即求函数 t 的增区间,

再利用二次函数的性质可得函数 t 的增区间为(﹣∞,0], 故答案为: (﹣∞,0]. 【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于 基础题.

17.若 loga <1(a>0 且 a≠1) ,则实数 a 的取值范围是 (0, )∪(1,+∞) . 【考点】指、对数不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】分 0<a<1 和 a>1 把对数不等式转化为一次不等式得答案. 【解答】解:当 0<a<1 时, 由 loga <1=logaa,得 0 当 a>1 时, 由 loga <1=logaa,得 a>1. ∴实数 a 的取值范围是(0, )∪(1,+∞) . 故答案为: (0, )∪(1,+∞) . 【点评】本题考查对数不等式的解法,考查了分类讨论的数学思想方法,是基础题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 18. (10 分) (2015 秋?余姚市校级期中)计算:
0
﹣4



(1)

﹣( ) +0.25
2

×(

) ;

(2)lg25+lg50?lg2+(lg2) . 【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用有理指数幂的运算法则化简求解即可. (2)利用对数运算法则化简求解即可.
0
﹣4

【解答】解: (1)

﹣( ) +0.25

×(



=﹣2﹣0+0.5×2=﹣1. 2 (2)lg25+lg50?lg2+(lg2) =lg25+lg2(lg50+lg2) =lg25+lg4 =lg100 =2. 【点评】本题考查对数运算法则的应用,有理指数幂的化简求值,考查计算能力.

19. (10 分) (2015 秋?余姚市校级期中)已知函数 f(x)=



的定义域为集

合 A,集合 B={x|1<x<8},C={x|a<x<2a+1} (1)求 A, (?RA)∩B; (2)若 A∪C=A,求实数 a 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】 (1)求出函数 f(x)的定义域 A,结合集合 B={x|1<x<8},进而结合集合交集, 并集,补集的定义,可得答案. (2)若 A∪C=A,则 C?A,分 C=?和 C≠?,两种情况讨论满足条件的实数 a 的取值,最后 综合讨论结果,可得答案.

【解答】解: (1)由 ∴A={x|2≤x<6}, 又∵集合 B={x|1<x<8},

得 2≤x<6,

∴(CRA)∩B={x|x<2 或 x≥6}∩{x|1<x<8}={x|1<x<2 或 6≤x<8}…(5 分) (2)由已知得 C?A, ①若 C=?,则 a≥2a+1, ∴a≤﹣1,符合题意

②若 C≠?,则 解得 ;



综上,实数 a 的取值范围为 a≤﹣1 或 …(10 分) 【点评】本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题. 20. (10 分) (2015 秋?余姚市校级期中)已知函数 f(x)=loga(1+x) ,g(x)=loga(1﹣x) 其中(a>0 且 a≠1) ,设 h(x)=f(x)﹣g(x) . (1)求函数 h(x)的定义域,判断 h(x)的奇偶性,并说明理由; (2)求使 h(x)>0 的 x 的取值范围. 【考点】函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)先得到 h(x)=loga(1+x)﹣loga(1﹣x) ,可以得出 h(x)的定义域为(﹣1, 1) ,求 h(﹣x)=﹣h(x) ,从而得出 h(x)为奇函数; (2)由 h(x)>0 可得到 loga(1+x)>loga(1﹣x) ,可讨论 a:分 a>1 和 0<a<1 两种 情况,根据对数函数的单调性便可求出每种情况下 x 的取值范围. 【解答】解: (1)h(x)=loga(1+x)﹣loga(1﹣x) ;



得,﹣1<x<1;

∴h(x)的定义域为(﹣1,1) ; h(﹣x)=loga(1﹣x)﹣loga(1+x)=﹣h(x) ; ∴h(x)为奇函数; (2)由 h(x)>0 得,loga(1+x)>loga(1﹣x) ; ①若 a>1,则:

; ∴0<x<1; ②若 0<a<1,则:

; ∴﹣1<x<0; ∴a>1 时,使 h(x)>0 的 x 的取值范围为(0,1) ,0<a<1 时,x 的取值范围为(﹣1, 0) . 【点评】考查对数的真数大于 0,函数定义域的概念及求法,奇函数的定义及判断方法和过 程,以及对数函数的单调性. 21. (10 分) (2015 秋?余姚市校级期中)已知函数 f(x)=2 ,且 f(a+2)=12,g(x)=2 x ﹣9 . (1)求 g(x)的解析式; (2)当 x∈[﹣2,1]时,求 g(x)的值域. 【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数的值域. 【专题】数形结合;配方法;换元法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)由 f(a+2)=2
x a+2 x ax

=12 可求 a,然后代入到 g(x)=2 ﹣9 ,化简即可;

ax

x

(2)令 t=3 ,由 x∈[﹣2,1],可求 t∈[ ,3],然后结合二次函数的性质可求 g(x)的值域. a+2 【解答】解: (1)由题意可得,f(a+2)=2 =12, ax a x x ∴a=log23,因此,2 =(2 ) =3 , ax x ∵g(x)=2 ﹣9 , x x ∴g(x)=3 ﹣9 ; (2)令 t=3 ,x∈[﹣2,1],则 t∈[ ,3], ∴g(x)=h(t)=t﹣t =﹣(t﹣ ) + , 结合二次函数的性质可知,h(t)的图象关于 t= 轴对称, h(t)max=h( )= ; h(t)min=h(3)=﹣6, 因此,函数 g(x)的值域为:[﹣6, ].
2 2 x

【点评】本题主要考查了函数解析式的求法和函数值域的解法,涉及对数的运算性质,二次 函数的图象和性质,体现了数形结合的解题思想,属于中档题.

22. (12 分) (2015 秋?余姚市校级期中)已知函数 f(x)=a﹣ (1)若该函数为奇函数,求 a; (2)判断 f(x)在 R 上的单调性,并证明你的结论. 【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)直接根据函数为奇函数,利用 f(0)=0,即可求解 a 的值; (2)首先,判断该函数为 R 上的增函数,然后,利用单调性的定义进行证明. 【解答】解: (1)∵函数为奇函数, ∴f(0)=0, ∴a﹣1=0, ∴a=1, ∴a 的值为 1. (2)根据(1)得

f(x)=1﹣



∴该函数为 R 上的增函数,证明如下: 任设 x1,x2∈R,且 x1<x2,

f(x1)﹣f(x2)=1﹣

1+



= ∵x1<x2, ∴ ,



∴f(x1)﹣f(x2)<0, ∴该函数为 R 上的增函数. 【点评】本题重点考查了函数为奇函数的概念、函数单调性的定义等知识,属于中档题.

2016 年 1 月 15 日


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