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2014,1海淀区高三年级第一学期期末数学试题(文科)


海淀区高三年级第一学期期末练习



学(文科)

2014. 1

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。 1.复数 i(i ? 1) 等于 A. 1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. ?1 ? i

2.已知直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : mx ? y ? 0 平行,则实数 m 的取值为 A. ?

1 2

B.

1 2

C. 2

D. ?2

3.为了估计某水池中鱼的尾数,先从水池中捕出 2000 尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影响 存活),然后放回水池,经过适当的时间,再从水池中捕出 500 尾鱼,其中有标记的鱼 为 40 尾,根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为 A. 10000 B. 20000 C. 25000 D. 30000
开始

4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 值为 A. 15 C. 7 B. 14 D. 6

a=1,S=1

5.已知 a ? log 2 3 , b ? log 4 6 , c ? log 4 9 ,则 A. a ? b ? c C. a ? c ? b B. a ? b ? c D. a ? c ? b

a=2a


S=S+a

S<10


?2 ? , x≥2, 6.已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f ( x ) ? k 2 ? ? x ? 3, x ? 2,
有三个不等的实根,则实数 k 的取值范围是 A. ( ?3,1) C. ( ?2,2) B. (0,1) D. (0, ??)

输出 S
结束

7.在 ?ABC 中,若 a ? 2b ,面积记作 S ,则下列结论中一定成立的是 A. B ? 30? B. A ? 2 B C. c ? b D. S≤b2

高三数学(文科)试题 第 1 页(共 4 页)

8.如图所示,正方体 ABCD ? A1 B1C1D1 的棱长为 1 , BD ? AC ? O ,

D1 N

C1 B1 M

M 是 线段 D1O 上的动点,过点 M 做平面 ACD1 的垂线交平面
A1 B1C1 D1 于点 N ,则点 N 到点 A 距离的最小值为
A.

A1

2

B.

6 2

C.

2 3 3

D. 1
A

D O B

C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的离心率为________. 3
4

10.某四棱锥的三视图如右图所示,则该四棱锥的体积为________.

? x ? y ? 4≤0, ? 11.已知点 P ( x, y ) 的坐标满足 ?1≤x≤2, 则 z ? x ? 2 y 的最大值 ? y≥0, ?
为________. 12.已知等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 满足 a1 ? b1 ? ?2 ,

4
正视图

3
左视图

俯视图

a2 ? b2 ? 4 ,则满足 an ? bn 的 n 的所有取值构成的集合是________.
13.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量 分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产 的该产品中共抽取 100 件做使用寿命的测试,则第一 分厂应抽取的件数为__________;由所得样品的测试 结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平
第二分厂 20% 第三分厂 30%

第一分厂 50%

均值分别为 1020 小时,980 小时,1030 小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使 用寿命为________小时. 14 .直线 x ? 1 与抛物线 C : y 2 ? 4 x 交于 M , N 两点,点 P 是抛物线 C 准线上的一点, ??? ? ???? ? ???? 记 OP ? aOM ? bON (a , b ? R) ,其中 O 为抛物线 C 的顶点. ??? ? ???? (1)当 OP 与 ON 平行时, b ? ________; (2)给出下列命题: ① ?a , b ? R , ?PMN 不是等边三角形; ??? ? ???? ② ? a ? 0 且 b ? 0 ,使得 OP 与 ON 垂直; ③无论点 P 在准线上如何运动, a ? b ? ?1 总成立. 其中,所有正确命题的序号是________.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15. (本小题共 13 分) 函数 f ( x ) ?

cos2 x ? 2sin x . sin x ? cos x

π (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 4
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.

16. (本小题共 13 分) 根据以往的成绩记录,甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示.
频率

频率
0.35

0.45

0.30 0.25

0.29 0.19

0.20 0.15 0.10

a
0.01

0.05

O
(Ⅰ)求上图中 a 的值;

甲击中环数

O

乙击中环数

(Ⅱ)求甲队员命中环数大于 7 环的概率(频率当作概率使用) ; (Ⅲ)由上图判断甲、乙两名队员中,哪一名队员的射击成绩更稳定(结论不需证明).

17. (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,

P

PA ? PB ,且侧面 PAB ? 平面 ABCD ,点 E 是棱 AB 的中点.
(Ⅰ)求证: CD // 平面 PAB ; (Ⅱ)求证: PE ? AD ; (Ⅲ)若 CA ? CB ,求证:平面 PEC ? 平面 PAB .

C

D
A

E

B

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18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ( x ? a )e x ,其中 a 为常数. (Ⅰ)若函数 f ( x ) 是区间 [ ?3, ?? ) 上的增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x)≥e 2 在 x ? [0,2] 时恒成立,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为 F ,右顶点 A 在 2 2 a b

圆 F : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 上. (Ⅰ)求椭圆 C 和圆 F 的方程; (Ⅱ)已知过点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于另一点 B ,与圆 F 交于另一点 P . 请判断是否 存在斜率不为 0 的直线 l ,使点 P 恰好为线段 AB 的中点,若存在,求出直线 l 的 方程;若不存在,说明理由.

20. (本小题共 13 分) 如果函数 f ( x ) 满足在集合 N* 上的值域仍是集合 N* ,则把函数 f ( x ) 称为 N 函数. 例如: f ( x ) ? x 就是 N 函数. (Ⅰ)判断下列函数:① y ? x 2 ,② y ? 2 x ? 1 ,③ y ? [ x ] 中,哪些是 N 函数?(只需 写出判断结果) ; (Ⅱ)判断函数 g ( x ) ? [ln x ] ? 1 是否为 N 函数,并证明你的结论; (Ⅲ)证明:对于任意实数 a , b ,函数 f ( x ) ? [b ? a x ] 都不是 N 函数. (注: “ [ x ] ”表示不超过 x 的最大整数)

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