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讲义 1.6 函数的连续性


SISO 高等数学教案

1.6 函数的连续性

1.6 函数的连续性
一、连续函数的概念
现实世界中,我们所遇到的许多变量是在接连不断地变化着的,如某地气温随着时 间在接连不断地变化着;金属丝的长度随着温度在接连不断地变化着,等等。这些现象 的共同特征的抽象, 就是数学上的连续性。 反映在函数关系上, 就是自变量的微小改变, 只能引起函数的微小变化。 1. 函数的增量(改变量) (1).变量的增量:设变量 u 从它的初值 u0 变到终值 u 1 ,终值与初值的差 u1 ? u 0 ,称为 变量 u 的增量,或称为 u 的改变量,记作 ?u ,即 ?u ? u1 ? u0 . 注: ?u 是 u 的改变量,不是增加的量。 ?u 可正,可负,也可以为零。 (2)函数的增量:设函数 y=f(x)在点 x0 的某一个邻域内是有定义的.当自变量 x 在这 邻域内从 x0 变到 x0 ? ?x 时,函数 y 相应地从 f(x0)变到 f( x0 ? ?x ),因此函数 y 的对 应增量为
?y ? f( x0 ? ?x ) - f(x0)

其几何意义如图。

2. 函数的连续性 定义 2 设函数 y=f(x)在点 x0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量 ?x ? x ? x0 趋

于零时,对应的函数的增量为 ?y ? f( x0 ? ?x ) - f(x0)也趋于零, 即
?x ?0

lim ?y ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 0
?x ?0

那么就称函数 y=f(x)在点 x0 处连续。 注:由极限的性质可知, lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 0 ? lim f ( x) ? f ( x0 )
?x ?0 x ? x0

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SISO 高等数学教案 3. 等价定义:设函数 y ? f ?x ? 在点 x0 的某个领域内有定义,若
x ? x0

1.6 函数的连续性

lim f ? x ? ? f ? x0 ?

则称函数 f ?x ? 在点 x0 处连续。 注:连续函数的图形是一条不间断的曲线(如图 1、 2)。

图1

图2

图3

图4

例 1:用连续的定义证明 y ? 3x 2 ? 1 在点 x0 ? 2 处是连续的。 (证明略)

注: f ?x ? 在点 x0 处连续, f ?x ? 必须同时满足以下三个条件: : (1)函数 f(x)在点 x0 处有定义,即 f ?x0 ? 存在; (2) lim f ?x ? 存在;即 lim f ?x ? ? lim f ?x ? ? ?
x ? x0

x ? x0

x ? x0

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SISO 高等数学教案 (3) lim f ? x ? ? f ? x0 ? 。
x ? x0

1.6 函数的连续性

注:如果有一个条件不满足,则称函数 f ?x ? 在点 x0 处不连续。 注: f ?x ? 在点 x0 处连续 ???????
? x ? x0

lim f ?x ? ? lim f ?x ? ? f ?x0 ? ?
x ? x0

常用此结论判断分段函数在分段点处的连续性。

例 2. 讨论下列函数在指定点处的连续性。
? sin x ? (1) f ? x ? ? ? x ? 1 ? x?0 x?0

在 x ? 0处

? 2x ? 1 x ? 0 ? x?0 (2) f ? x ? ? ? 0 ? 2x ? 1 x ? 0 ?

在 x ? 0处

解: (1) lim f ?x ? ? lim
x ?0 x ?0

sin x ?1 x

f ?0? ? 1

因此 所以
x ?0

l i mf ? x ? ? f ?0 ?
x ?0

f ?x ? 在点 x ? 0 处连续。
x ?0

(2) lim f ?x ? ? lim ?2 x ? 1? ? 1 ? ?
x ?0 ?

lim f ?x ? ? lim ?2 x ? 1? ? ?1 ?
x ?0 x ?0 x ?0

因此 lim f ? x ? ? lim f ? x ? ? ? 则 所以
lim f ? x ? 不存在
x?0

f ?x ? 在点 x ? 0 处不连续。

? ? ? 例 3. 设函数 f ? x ? ? ? ? ? ?

cos x x?2 a ? a?x x

x?0 x?0

? a ? 0 ? ,当 a 为何值时, f ?x ? 在 x ? 0 处连

续。
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SISO 高等数学教案 解: lim f ?x ? ? lim ? ?
x ?0 x ?0

1.6 函数的连续性
a ? a?x x

? lim ?
x ?0

?
?

a ? a?x

x a ? a?x
1 a ? a?x

?

??
?

a ? a?x

?

?

? lim ?
x ?0

?

1 2 a
x ?0

x ?0

lim f ? x ? ? lim ? ?

cos x 1 ? x?2 2

因为 所以 所以

f ?x ? 在 x ? 0 处连续
lim f ? x ? 存在,即 lim f ? x ? ? lim f ? x ? ? ?
x?0 x ?0 x ?0

a ?1

1 ? ? x sin 练习:判断函数 f ?x ? ? ? x ? x2 ?

x?0 x?0

在 x ? 0 处的连续性。

解: lim f ?x ? ? lim x sin ? ?
x ?0 x ?0

1 ?0 x

x ?0 ?

lim f ? x ? ? lim x 2 ? 0 ?
x ?0
x ?0 x ?0

所以 lim f ? x ? ? lim f ? x ? ? 0 ? ? 即 又 所以 所以
lim f ? x ? ? 0
x ?0

f ?0? ? 0
l i mf ? x ? ? f ?0 ?
x ?0

f ?x ? 在点 x ? 0 处连续。

4.左、右连续 若函数 y=f(x)在点 x0 处有
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? x ? x0

1.6 函数的连续性
lim f ( x) ? f ( x0 ) 或 lim f ( x) ? f ( x0 ) ?
x ? x0

则分别称函数 y=f(x)在 x0 点是左连续或右连续。 根据左、右连续的定义,我们可以知道函数 y=f(x)在点 x0 处连续的充要条件:
? x ? x0

lim f ( x) ? f ( x0 ) ? lim f ( x) ?
x ? x0

也即函数在某点连续的充要条件就是函数在该点左连续且右连续。

?x 例 4 考察函数 f(x)= ? ?sin x


x?0 x?0

在 x=0 点处的连续性。

因函数在 x=0 点处的左极限为 lim f ( x) ? lim? x ? 0 ? f (0) , 所以函数在 x=0 点处左连 ?
x ?0 x ?0 x ?0 x ?0

续;另一方面,函数在 x=0 点处的右极限为 lim f ( x) ? lim? sin x ? 0 ? f (0) ,所以函数在 ? x=0 点处右连续。由极限连续的充要条件可知,函数在 x=0 点处连续。 5. 连续函数 若函数 y = f (x)在开区间(a, b)内的各点处均连续,则称该函数在开区间(a, b)内连 续。 若函数 y = f (x)在闭区间[a, b]上连续,则理解为除在(a, b)内连续外,在左端点 a 为 右连续,在右端点 b 为左连续。

二.函数的间断点
定义 若函数 y = f (x)在 x0 的去心领域内有定义,若函数 f (x)在 x0

点不连续,则称 x0 为 f (x)的一个间断点。 注:函数的间断点(不连续点)包含以下三个方面: (1)函数 f(x)在点 x0 的去心领域内有定义; (2)函数 f(x)当 x ? x0 时极限不存在; (3)函数 f(x)在点 x0 的左、右极限值至少有一个不等于函数值 f(x0)。 由函数的间断点定义可知, 出现间断点不止图形中这一种情形, 下面我们就看一下, 间断点的种类。以下都是间断的例子。

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1.6 函数的连续性

? x2 ?1 例 5 函数 f(x)= ? ?x


x ?1 x ?1

在 x=1 处的连续性。

由题意可知,f(1)=0,而
x ?1?

lim f ( x) ? lim( x 2 ? 1) ? 0 ?
x ?1
x ?1?

lim f ( x ) ? lim x ? 1 ?
x ?1

因 lim f ( x) ? lim f ( x) ,所以 lim f ( x ) 不存在。从而 x=1 为函数 f(x)的间断点。 ? ?
x ?1 x ?1 x ?1

三、初等函数的连续性
1.连续函数的四则运算 定理 1 设函数 f ?x ? 和 g ?x ? 都在点 x0 处连续,则

(1) f ?x ? ? g ?x ? 在点 x0 处连续 (2) f ?x ? ? g ?x ? 在点 x0 处连续
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SISO 高等数学教案 (3)
f ?x ? 在点 x0 处连续 ?g ?x0 ? ? 0? g ?x ?

1.6 函数的连续性

2.复合函数的连续性 定理 2 设函数 y ? f ?u ? 在 u0 处连续,函数 u ? ? ?x ? 在点 x0 处连续,且 u0 ? ? ?x0 ? ,则复 合函数 y ? f ?? ?x ?? 在点 x0 处连续。 所以 即
x ? x0

lim f ?? ? x ?? ? f ?? ?x0 ?? ,且 lim ? ?x ? ? ? ?x0 ?
x ? x0

x ? x0

lim f ?? ? x ?? ? f ? lim ? ? x ?? ? x ? x0 ? ? ?

即极限符号与函数符号可以交换位置。 例 6 求极限 lim
x ?0

ln(1 ? x) . x



我们知道

1 1 ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) x 是由函数 y ? ln u ,u ? (1 ? x) x 复合而成的, 而由重要极 x
1

限 II 知 lim(1 ? x) x ? e ,并且 y ? ln u 在 u ? e 点连续,因此有
x?0

lim

1 1 ln(1 ? x) ? lim ln(1 ? x) x ? ln lim(1 ? x) x ? ln e ? 1 x ?0 x ?0 x ?0 x

3.初等函数的连续性 定理 定理 基本初等函数在其定义域内是连续的。 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

注:利用初等函数的连续性可得,如果 f ?x ? 在点 x0 处连续 则
x ? x0

lim f ? x ? ? f ? x0 ?

例 7 利用初等函数的连续性求下列极限。 (1) lim
x ?2

ex e2 ? 2x ? 1 5

? ? ? ?? (2) lim ln?2 cos x ? ? ln? 2 cos? ? ? ? ln 1 ? 0 ? ? ? x? ? 6 ?? ? 6

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SISO 高等数学教案 (3) lim
x ?0

1.6 函数的连续性

ex ?1 x

解:令 e x ?1 ? u ,则 x ? ln?1 ? u ? ,且 x ? 0 时, u ? 0
ex ?1 u 1 ? lim ? lim ?1 则 lim x ?0 u ?0 ln ? ? u ? u ?0 1 x 1 ln?1 ? u ? u

例 8: 求下列函数的连续区间。 (1) f ? x ? ?
3 2? 1 x

? x2 x ? 0 (2) f ?x ? ? ? ? x ?1 x ? 0
解:(1) 连续区间为

?? ?,0? ? ? 0, 1 ? ? ? 1 ,?? ? ? ? ? ?
? 2? ?2 ?

(2) lim f ? x ? ? lim x 2 ? 0 ? ?
x ?0 x ?0
x ?0 ?

lim f ? x ? ? lim ? x ? 1? ? 1 ?
x ?0 x ?0 ?

因此 所以 所以 所以

l i m f ?x ? ? l i m f ?x ? ?
x ?0

lim f ? x ? 不存在
x?0

x ? 1 为 f ?x ? 的间断点

f ?x ? 的连续区间为 ?? ?,0? ? ?0,???

练习:求下列函数的连续区间。 (1) f ? x ? ?
x ?1 x ? 3x ? 2
2

? sin x ? (2) f ? x ? ? ? x ? 0 ?

x?0 x?0

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1.6 函数的连续性

四、闭区间上连续函数的性质
1.最值定理 若函数 f ( x) 在闭区间[a,b]上连续, 则函数 f ?x ? 在[a,b]
y

y=x

上必有最大值和最小值。 关于此定理我们需要注意以下两点: 注 1:该定理说明,如果函数 f ( x) 在闭区间[a,b]上连续,那么
O

a

b x 至少有

一点 ?1 ?[a, b] ,使 m ? f (?1 ) 是 f ( x) 在[a,b]上的最小值,又至少有一 使 M ? f (?2 ) 是 f ( x) 在[a,b]上的最大值.

y 2

点 ?2 ?[a, b] ,

注 2:如果函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点, 1 么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 现考察开区间(a,b) 上的函数 y=x. 我们发现函数 f(x)=x 在开区间(a,b)内既无最大值又无最小值。 例如:在闭区间[0,2]考察函数
??x ?1 ? f ( x) ? ? 1 ?? x ? 3 ? 0 ? x ? 1, x ? 1, 1 ? x ? 2.


1 2 x

O

从图中我们很容易发现函数 y=f(x)在开区间[0,2]内既无最大值又无最小值。

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