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广东省广州市执信中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


2015-2016 学年度第二学期高一级数学科期中考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号 填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上, 用 2B 铅笔将自己的学 号填涂在答题卡上。 2、 选择题每小题选出答案后, 有 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷 上。 第一部分选择题(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。将正确答案填写在答题卡 ) ... 1、空间中,可以确定一个平面的条件是 ? A.三个点 B.四个点 C.三角形 D. 四边形

2 2、等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,且有 a4a6 ? 4a7 ,则 a3 = ?

A. 1

B. 2

C.

1 4

D.

1 2

3、设 a ? log3 6, b ? log5 10, c ? log7 14 ,则 ? A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. a ? b ? c
C1 A1 B1

4、如图,三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,已知 D, E, F 分别为 AB, AC, AA1 的中点,设三棱锥 A ? FED 的体积为 V1 ,三棱柱 A1B1C1 ? ABC
F

的体积为 V2 ,则 V1 : V2 的值为 ? A.

C E

1 6

B.

1 24

C.

1 3

D.

1 4

A

D

B

5、等差数列 ?an ? 中已知 a5 ? 0, a4 ? a7 ? 0 ,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn 的最大值为 ? A. S4 B. S 5 C. S6 D. S7

x 2 6、已知函数 f ? x ? ? 5 , g ? x ? ? ax ? x ? a ? R ? .若 f ? ? g ?1? ? ? ? 1 ,则 a = ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. ?1

? ? 1 7、已知数列 ?an ? 满足 2Sn ? 4an ?1 ,则数列 ? ? 的前 100 项和为 ? ? log 2 an ?3 ? log 2 an ? 2 ?
1

A.

97 100

B.

98 99

C.

99 100

D.

100 101
,则此三角形

8、 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B,C 的对边,且 a ? 80, b ? 100, A ? 是? A.锐角三角形

?
6

B.直角三角形

C.钝角三角形

D. 锐角或钝角三角形

9、已知 m , n, 表示不同直线, ? , ? 表示不同平面.则下列结论正确的是 ? A. m / / C. ? / /

? 且n / / ?

,则 m / /

n

B. D.

m / / ? 且 m / / ? ,则 ? / / ?

? 且 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n

? / / ? 且 a ? ? ,则 a / / ?
? 4 ?

10、某四面体的三视图如图所示,该四面体 四个面的面积中最大的是 ? A. 8 2 C. 6 2 B. 10 D. 8

?4?

?3?
侧(左)视图

正(主)视图

? lg x , 0 ? x ? 10 ? 11、已知函数 f ? x ? ? ? 1 , ? x ? 6, x ? 10 ? ? 2

俯视图

若 a, b, c 互不相等,且 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? .则 abc 的取值范围为 ? A. ?1,10 ? B.

? 5,6?

C. ?10,12 ?

D.

? 20,24?

2 n 12、已知数列 {an } , {bn } ,其中 a1 ? 1 ,且 an , an ?1 是函数 f (x) ? x ? bn x ? 2 的两

个零点,则 b10 ? ? A、 64 B、 48 C、 32 D、 24

第二部分非选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、不等式

1? x ? 0 的解集为__________; 2? x

? 14、 已知数列 ?an ? 满足:a1 ? 1 , 且 an ? 2an ?1 ? 1 n ? 2, n ? N , 则 an ? ________ ;

?

?

2

??? ? ??? ? ? ??? ? ???? ???? 15、若四边形 ABCD 满足 AB ? CD ? 0, AB ? AD ? AC ? 0 ,则该四边形一定是____;

?

?

16、在平面内有 n n ? N

?

?

? 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,
; f ? n? ? .

若这 n 条直线把平面分成 f ? n ? 个平面区域,则 f ? 3? ? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分, )

17、 (本题满分 10 分)已知锐角 ?ABC 的面积等于 3 3 ,且 AB ? 3, AC ? 4 .

?? ? (1)求 sin ? ? A ? 的值; ?2 ?

(2)求 cos ? A ? B? 的值.

18、 (本题满分 10 分)已知等差数列 ?an ? 的公差不为零, a1 ? 25 ,且 a1 , a11 , a13 成 等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 a1 ? a4 ? a7

? ?? a3n?2 的值.
A1 O1 C1

B1

19、 (本题满分 12 分)已知矩形 ABB 1A 1 是圆柱体的轴截面,
O , O1 分别是下底面和上底面圆的圆心,母线长与底面圆的

直径之比为 2 :1 ,且该圆柱体的体积为 32? ,如图所示. (1) 求圆柱体的侧面积的值;

A

C

O

B

1 (2)若 C1 是半圆弧 A1 B1 的中点,点 C 在半径 OA 上,且 OC ? OA ,异面直线 CC1 2
与 BB1 所成角为 ? ,求 sin ? 的值. 20、 (本题满分 12 分)已知正方体 ABCD ? A?B?C?D? (1)设 M, N 分别是 A?D?, A?B? 的中点,试在下列三个正方体中各作出一个过正方 体顶点且与平面 AMN 平行的平面(不用写过程)
D' N A' M B' C' N A' M B' D' D' C' A' M N B' C'

D A

C B A

D

D C A B B

C

(1)

(2)

(3)
3

F,G 分别是 DC,SC 的中点, (2)设 S 是 B?D? 的中点, 求证: 直线 GF / / 平面 BDD?B?
D' S A' B' G

C'

D A

F

C B

21、 (本题满分 13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Tn ?
? 且 an ? 2 ? 3log 4 bn ? 0 n ? N

3 2 1 n ? n, 2 2

?

?

(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ; (3)若 cn ?

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

2 22、 (本题满分 13 分)已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c

(1)若 f ? ?1? ? 0 ,试判断函数 f ? x ? 的零点的个数; (2)若对 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,证明方程 f ? x ? ? 有一个实数根属于 ? x1 , x2 ? ; (3)是否存在 a, b, c ? R ,使 f ? x ? 同时满足以下条件: ①当 x ? ?1 时, 函数 f ? x ? 有最小值 0 ; ②对任意实数 x ,都有 0 ? f ? x ? ? x ? 若存在,求出 a, b, c 的值;若不存在请说明理由.

1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?必 2?

1 2 ? x ? 1? . 2

4

O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线??????????????????????O

2015-2016 学年度第二学期 高一级数学科期中考试答卷 成绩:

题号 得分

选择

填空

17

18

19

20

21

22

总分

班级:_______________姓名:_______________学号:_______________

注意事项:1、本答卷为第二部分非选择题答题区。考生必须用黑色字迹的钢笔或 签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题,超出指定区域的答案无效。 2、如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液,不 按以上要求作答的答案无效。 二、 填空题 13. 15. 三、 解答题 17(本题满分 10 分).

14. 16.

5

18(本题满分 10 分).

6

19(本题满分 12)分.

A1

O1 C1

B1

A

C

O

B

7

A'

A N

(2)
D' D M

(1)

20(本题满分 12 分.

(1)
B C
A' A D M N D'

B' C'

(2)
B

B'

A'

A D F B G C B'

C
A' A

C'

D'

N D'

D

(3 )

S C'

M

B C

B' C'

8

O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线??????????????????????O

班级:_______________姓名:_______________学号:_______________

O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线??????????????????????O

21(本题满分 13 分).

9

22(本题满分 13 分).

10

2015-2016 学年度第二学期 高一级数学科期中考试答案 一、选择题:1—4:CADB;5—8:BADD;9---12:DBCA
n 二、填空题:13、 ? ?2,1? ;14、 an ? 2 ?1;15、菱形;16、7,

n2 ? n ? 2 . 2

三、解答题: 17 、解: ( 1 ) ? S?ABC ?

1 AB ? AC ? sin A ? 3 3 , 而 AB ? 3, AC ? 4,? sin A ? 3 ,又 2 2

?ABC 是锐角三角形,? cos A ? 1 ? sin 2 A ?

1 1 ?? ? ,? sin ? ? A ? ? cos A ? 2 2 ?2 ?

(2)由 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A ,得 BC ? 32 ? 42 ? 2 ? 3 ? 4 ?

1 ? 13 2

由正弦定理得 sin B ?

13 AC ? sin A 2 39 ,又 B 为锐角,? cos B ? 1 ? sin 2 B ? ? 13 BC 13

1 13 3 2 39 7 13 ? cos ? A ? B ? ? cosA cos B ? sinAsinB ? ? ? ? ? 2 13 2 13 26
2 18、 解: (1) 设 ?an ? 的公差为 d , 由题意 a11 ? a1 ? a13 , 即 ? a1 ? 10d ? ? a1 ? a1 ? 12d ? ,
2

于是 d ? 2a1 ? 25d ? ? 0 ,又 a1 ? 25 ,? d ? 0 (舍去) , d ? ?2 ,故 an ? ?2n ? 27 (2)令 Sn ? a1 ? a4 ? a7 ? ?? a3n?2 ,由(1)知 a3n?2 ? ?6n ? 31,令 bn ? a3n?2 , 故

?bn?

是 首 项

25 , 为 公 差 -6

的 等 差 数 列 , 从 而

Sn ?

n n 6 ? n2 ? 3 n ? a1 ? a n? ? ?6n ? 5? ? 3 ?? 2 2 2

2 8

19 、 解 : ( 1 ) 设 圆 柱 底 面 圆 的 半 径 为 R , 依 题 意 有

AA1 ? 2 AB ? 4R, ? R2 ? AA1 ? 32? ,? R ? 2
? S 侧= 2? R ? AA1 ? 32?
(2) 设 D 是线段 AO1 的中点, 连接 DC, DC1 , O1C1 ,则 O1C1 ? A1B1 , DC 平行 BB1
11

??C1CD

就 是 异 面 直 线 CC1 , BB1 所 成 的 角 , 即 ?C1CD ? ? , 又

R ? 2, ?CDC1 ? ?C1O1D ? 90?
?C1D ? 5,CC1 ? 69,?sin ? ? 5 345 ? 69 69
( 1 )

20



(2)取 BC 中点 E ,连 GE, FE, SB ? G 为 SC 中点, E 为 BC 中点,? GE / / SB ,而 GE ? 平面 BDD? B? , SB ? 平面

BDD? B? ? GE / / 平面 BDD?B?
? F 为 DC 中点, E 为 BC 中点,? EF / / DB ,而 EF ? 平面 BDD?B? , DB ? 平面

BDD?B? ? EF / / 平面 BDD?B? 而 EF ? GE ? E ,? 平面 GEF / / 平面 BDD?B? ,又 GB ? 平面 GEF ? GF / / 平面 BDD?B?
3 2 1 21 、 解 :( 1 ) 证 明 : 由 Tn ? n ? n , 易 得 an ? 3n ? 2 , 将 其 代 入 2 2

1? ? an ? 2 ? 3log 4 bn ? 0 ? n ? N ? ? 得 bn ? ? ? ? n? N 4 ? ?

n

?

?
n

?1? (2)数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,? cn ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? ? n ? N ? ? , ?4? 1 ?1? ?1? ?1? ? Sn ? 1? ? 4 ? ? ? ? 7 ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 5? ? ? 4 ?4? ? 4? ? 4?
2 3 n ?1

?1? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? ,于是 ? 4?

n

12

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Sn ? 1? ? ? ? 4 ? ? ? ? 7 ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 5? ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? ,两式相减得 4 ?4? ? 4? ? 4? ? 4? ? 4?
n n ?1 ?? 1 ? 2 ? 1 ?3 ? 1 ? 4 3 1 ?1? ? ?1? Sn ? ? 3 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? 4 4 ?4? ? ?4? ? ?? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ?

2

3

4

n

n ?1

1 ?1? ? ? ? 3n ? 2? ? ? ? 2 ?4?

n ?1

, ? Sn ?
n

2 12n ? 8 ? 1 ? ? ?? ? 3 3 ?4?

n ?1

?n ? N ?
?

2 3n ? 2 ? 1 ? ? Sn ? ? ?? ? ?n ? N? ? 3 3 ?4?
(3)? cn?1 ? cn ? ? 3n ? 1? ? ? 当 n ? 1 时, c2 ? c1 ?

?1? ? 4?

n ?1

?1? ?1? ? ? 3n ? 2? ? ? ? 9 ?1 ? n ? ? ? ? 4? ? 4?

n

n ?1

? n ? N ? ,所以
?

1 ;当 n ? 2 时,有 cn?1 ? cn ,?c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn ,所以,对 4 1 1 2 一切正整数 n , cn 的最大值是 ,又 cn ? m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立, 4 4 1 1 ? m2 ? m ? 1 ? 4 4
即 m2 ? 4m ? 5 ? 0,?m ? 1 或 m ? 5

22





: (
2

1



? f ? ?1? ? 0,
2

? a ? b ? c ? 0,?b ? a ? c



?? ? b 2 ? 4ac ? ? a ? c ? ? 4ac ? ? a ? c ? ? 0
若 a ? c ,则 ? ? 0 ,所以 f ? x ? 有一个零点;若 a ? c ,则 ? ? 0 ,所以 f ? x ? 有二个零 点;

1 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? (2)设 g ? x ? ? f ? x ? ? ? ? 2? 1 1 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 则 g ? x1 ? ? f ? x1 ? ? ? ? ? ? 2 2? 1 1 g ? x2 ? ? f ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?? 2? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? 2? ? g ? x1 ? g ? x2 ? ?
2 1 1 1 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ?? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 4

? g ? x? 在 ? x1 , x2 ? 上必有一零点,
13

1 ? 方程 f ? x ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 必有一个实数根属于 ? x1 , x2 ? ; 2?
(3)假设存在 a, b, c ? R ,使 f ? x ? 同时满足题设条件 由 ① 得 ?1 ? ?
b 4ac ? b 2 , 且 ? 0 ; 由 ② 取 x ? 1 得 0 ? f ?1? ?1 ? 0 , 2a 4a

? f ?1? ?1 ? 0,? f ?1? ? 1,
b ? ? ?1 ? ? 2a ? 1 1 ? 4ac ? b 2 ? 0 ,得 a ? c ? , b ? ?a ? b ? c ? 1 由? 4 2 ? 4a ? a ? b ? c ? 1 ? ? ? 1 1 故存在 a ? c ? , b ? ,使 f ? x ? 同时满足题设条件 4 2

14


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