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2015年福建省福州三中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)


2014-2015 学年福建省福州三中高三(上)期中数学试卷(理科) 一、选择题:本太题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给潞的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设函数 f(x)= 为 N,则( ) B.CRN=(﹣∞,﹣1) C.M∩N=R D.?RM=[1,+∞) ) 的定义域为 M,函数 g(x)=1n(1+x)的定义域 A.M∩N=(﹣1,1] 2. (5 分) 复数 z 满足 (z﹣3) (2+i) =5 (i 为虚数单位) , 则 z 的共轭复数 为 ( A.2+i B.2﹣i C.5+i D.5﹣i 3. (5 分)正项等比数列{an}中,若 log2(a1a9)=4,则 a3a7 等于( A.16 B.﹣16 C.10 D.256 ,则函数 f(x)的单调递增区间是( ) ) 4. (5 分)设 f(x)= A. (﹣∞2) B. (2,+∞) C. (0,+∞) D. (﹣∞,l)和(1,2) ﹣|x﹣2| 5. (5 分)若函数 f(x)=3 是( ) ﹣c 的图象与 x 轴有交点,则实数 c 的取值范围 A.[﹣1,0) B.[0,1] C. (0,1] D.[1,+∞) 6. (5 分)若 α 为锐角,且 sinα:sin A. B. C. D. ) =8:5,则 cosα 的值为( ) 7. (5 分)若| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 的夹角为( A. B. C. D. , ) D. 8. (5 分)设向量 ﹣t |的最小值为( A. B. C.1 t 是实数,| 9. (5 分)已知函数 f(x)= 第 1 页(共 21 页) ,若 a、b、c 互不相等,且 f (a)=f(b)=f(c) ,则 a+b+c 的取值范围是( ) A. (1,2014) B. (1,2015) C. (2,2015) D.[2,2015] 10. (5 分)若在数列{an}中,对任意正整数 n,都有 (常数) ,则称 数列{an}为“等方和数列”,称 p 为“公方和”,若数列{an}为“等方和数列”,其前 n 项和为 Sn, 且“公方和”为 1, 首项 a1=1, 则 S2014 的最大值与最小值之和为 ( A.2014 B.1007 C.﹣1 D.2 ) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相 应位置. 11. (4 分)已知角 θ 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 3x﹣y=0 上,则 = . 12. (4 分)已知 f(x)=x+sinx,则满足不等式 f(2m)+f(2﹣m)>0 的实数 m 的取值范围是 . ,若数列 {an} 的最大项为 aM 则 13 . ( 4 分)已知数列 {an} 的通项 an= M= . 14. (4 分) 已知 a= 5 sinxdx 则二项式 (1﹣ ) 的展开式中 x﹣3 的系数为 . 15. (4 分)若存在实常数 k 和 b,使得函数 f(x)和 g(x)对其定义域上的任 意实数 x 分别满足:f(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx+b,则称直线 l:y=kx+b 为 f(x) 和 g(x)的“隔离直线”.已知函数 f(x)=x2﹣1 和函数 g(x)=2lnx,那么函数 f (x)和函数 g(x)的隔离直线方程为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.’ 16. (13 分)已知等差数列{an}的公差 d 不为零,其前 n 项和为 Sn,若 S5=70, 且 a2,a7,a22 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< (n∈N*) . 第 2 页(共 21 页) 17. (13 分)已知函数 f(x)= sin(ωx)﹣cos(ωx)+m(ω>0,x∈R,m 是 ,1 ) ,且与点( ,1)最近的一个最 实数常数)的图象上的一个最高点( 低点是(﹣ ,﹣3) . (1)求函数 f(x)的解析式及其单调递增区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 求函数 f(A)的值域. 18. (13 分)某中学有 4 位学生申请 A,B,C 三所大学的自主招生.若每位学生 只能申请其中一所大学,且申请其中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有 2 人申请 A 大学的概率; (2)求被申请大学的个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X) . 19. (13 分)如图,港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处,小岛 B 在港口 O 的北 偏东 60°的方向,且在港口 A 北偏西 30°的方向上.一艘科学考察船从港口 O 出 发,沿北偏东 30°的 OD 方向以 20 海里/小时的速度驶离港口 O.一艘给养快艇 从港口 A 以 60 海里/小时的速度驶向小岛 B,在 B 岛转运补给物资后以相同的航 速送往科考船.已知两船同时出发,补给装船时间为 1 小时. (1)求给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间; (2)给养快艇驶离港口 A 后,最少经过多少时间能和科考船相遇? ? = ac, 20. (14 分)已知函数 f(x)=ex﹣1﹣ax, (a∈R) . (Ⅰ)求函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)试探究函数 F(x)=f(x)﹣xlnx 在定义域内是否存在零点,若存在,请 指出有几个零点;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若 g(x)=ln(ex﹣1)﹣lnx,且 f(g(x) )<f(x)在 x∈(0,+∞)上 恒成立,求实数 a 的取值范围. 第 3 页(共 21 页) 三.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 7 分.如果多做,则按所做的前两殛计分.[选修 4

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