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天津大学信号与系统本科课件第二章 习题课_图文


小结 第二章
一、静电场方程

二、解静电场问题的方法 1.直接积分法

??

1 4??
0

?

? dV '
r

V'

? E ? ???

适用于所有电荷分布已知

2.高斯定理

? E?

? D

?

适用于场具有一定的对称性, S 包围的自由电荷已知 3.分离变量法

? 方程 ?? ?? ? b 球对称: ? ? a ?
2
?

? ?0

? ? ?0
2
由边界条件确定待定常数

通解 轴对称:

bn ? ? n ? ? ? ? an R ? n?1 ? Pn ? cos? ? R ? n ?0 ?

R

边界条件

R ? ? 有限场源:
均匀外场:

? ?0 ? ? ?E R cos?
?
? 0

R ?0 ?
边值关系

R?0

有限
2 S 1 S

两种介质分界面

?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?n ? ?n
2 1 2 1

? ? ? ?n ? ? E ? E ? ? 0 ? ? ?? ? n? D ? D ? ? ? ? ? ?
2 1 2 1

f

f

介质与导体分界面

?? ? 常量 ? ? ?? ?? ??? ? ?n
S

f

?? ?? ? dS ? Q ? ?n
S

f

? E ? ???

直接考察量

? ,可以得到其他它量
② 静电平衡时的导体: 导体内

① 均匀各向同性线性介质:

外表面 电荷分布在表面上,电 场处处垂直于导体表面

?

f

导体表面

?f 适用于电荷分布不是事先都已知,但 ‘‘ ?f 质分界面上的 事先已知。

’’及两介

?? ? ?? ?n

4.镜像法 ①无限大导体平板 ②导体球

Q ' ? ?Q

b ? ?a

R0 Q' ? ? Q a

P ? R r' r ? ? bQ ' a O Q
0

? R

R0 b? a

2

③导体球壳
P

R

?

a? OQ b

R

P ?

r

r'

Q'
R ? R 区,
2

?

? ObQ ' a

r 'r

Q

?

? ?0

R ? Q’ ? 1 Q ? ? ? a ? R1 2 ?b ? ? a ?

R ? Q’ ? 2 Q ? ? ? a ? R2 2 ?b ? ? a ?

(4)介质分界面

a
(5)界面为劈形的情况

Q

??

?
n

象电荷数

2n ? 1

5.格林函数法

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? ? ? G ? x?, x ?? ? x? ?dV ?-? 0 ? ? ? x? ? G ? x?, x ?dS ? V S ?n?
—— 第一类边值问题

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? ? ? G ? x?, x ?? ? x? ?dV ? ? ? 0 ? G ? x?, x ? ? ? x? ?dS ? ? ? V S ?n?
—— 第二类边值问题

S

6.电多极矩法

3.静电场能量及电荷体系在 外电场中的能量(相互作用能)

均匀介质

习题解答

习题解答

P93/3

均匀介质球中心置一点电荷 Q f ,球的电容率为 ? ,球 外为真空,试用分离变数法求空间电势,把结果与使用高 斯定理所得结果比较。 方法一:分离变量法 将系统分为两个区域, 球内为1区,球外为2区 则球内电势为? 1 , 球外电势为 ? 2 ,
考虑电荷源,在球心处有 Q f 、QP



?0

?P

?

2
QP
Qf

?

1

?1

?2

,在球面处有面电荷? P 。



由叠加原理:?1

?1 ' ,在球外激发的电势为 ? 2 ' Q f 、QP 在球内激发的电势为 ? 1 '' ,在球外激发的电势为 ? 2 ''
在球内激发的电势为

?P

? ?1 '? ?1 ''

? 2 ? ? 2 '? ? 2 ''

由于 Q f 、 P 在球内激发的电势为 ? 1 '' ,在球外激发的电势为 ? 2 '' Q

? ?
证明:

1

'' ? ? 2 '' ?

Qf 4?? R

? ?0 ? ? ?1 ? ? Q f Qf Qf QP ? ? ?1 '' ? ? 2 '' ? ? ? ? ? 4?? 0 R 4?? 0 R 4?? 0 R 4?? 0 R
Qf ? ? ? 0 ?? Q f ?0 Qf ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 4?? 0 R ? 4?? 0 R 4?? R ? ?

由于 ? P 为面电荷,所以其激发的电势在球内、球外均 满足拉普拉斯方程:

? ?1 ' ? 0
2

? ?2 ' ? 0
2

由于该面电荷呈球对称分布,所以通解形式为:

b ?1 ' ? a ? R
边界条件 1

d ?2 ' ? c ? R
? 0 ?? 1 ' ? a

R?0

? 处, 1 ' 应为有限值,? b

2

d 无穷远处, ? 2 ' ? 0 ? c ? 0 ?? 2 ' ? R

?

边值关系 3

4?? R Qf d ? 2 ? ? 2 '? ? 2 '' ? ? R 4?? R

?1 ? ?1 '? ?1 '' ? a ?

Qf

在介质球面上

??1 R?R ? ? 2 R?R 0 0 ? ? ??1 ?? 2 ? ?0 ?? R ? R0 ?R ? ?R
d a ? R0
Qf ? 1 ? ? ?? 2 ? 4?? ? R ?
R ? R0

?R ? R ? ,
0
R ? R0

?0

?P

?

2
QP
Qf

?

1

?1

1? 2

?2

Qf ? ? ?0 ? d ? 4?? ?

?? 1 ? ?? ? R2 ? ? ??

R ? R0

? Qf Qf ? ? ? ?0 ? d ? ?? 4?? ? ? 4?? ? ? ? ?a ? d ? R0 ?

? 1 1 ? Qf d ?? ? ? ? ? 0 ? ? 4? ? 1 1 ? Qf a?? ? ? ? ? 0 ? ? 4? R0

Qf ? 1 1 ? Qf ?? ? ? ? ? ?1 ? a ? 4?? R ? ? 0 ? ? 4? R0 4?? R Qf
Qf Qf Qf ? 1 1 ? Qf d ?2 ? ? ?? ? ? ? ? R 4?? R ? ? 0 ? ? 4? R 4?? R 4?? 0 R

检验

1

是否满足泊松方程
2 2

?? 1 1 ? Q f Qf ? R ? R0 时,? ?1 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 0 ? ? 4? R0 4?? R ? Qf Qf 2 1 2 ?? ? ? ?0 4?? R 4?? R

R ? R0
2

时,

1 ? ?2 ? ? ? ? ?0 4?? 0 R 4?? 0 R
2 2 2

Qf

Qf

是否满足边界条件 解唯一 是否满足边值关系

3

方法二:用高斯定理 将系统分为两个区域, 球内为1区,球外为2区 则球内电势为 ? 1 ,球外电势为 ? 2 ,

?0

?

? Q
f

1

2

?1

? ? 由高斯定理: ? D?dS ? Q f ?
S

?2

? ? DdS ? Q f ?
S

? D ? dS ? Q f ?
S

?D ?
? E1 ?

Qf 4? R? Qf R
2

R ? R0 R ? R0

时,E1

?

D1

?

?

Qf 4?? R Qf
2

E 时, 2

?

D2

?0

?

4?? 0 R

2

? E2 ?

4?? ? 3 R Qf R
3

4?? 0 R

? 2 ? ?R
? E2 ?

?

? ? ? E2 ?dR ? ? E2 dR
R

Qf 4?? 0 R 2
?

?? 2 ? ?

Qf 4?? 0 R
2

R

dR ?

Qf 4?? 0

?

?

R

1 dR 2 R

Qf ? 1 ? Qf 1 Qf ? ? ? R ? ? 4?? R ? 4?? R 4?? 0 ? ?R 0 0

?

?1 ? ?

R0

R

? ? ? ? ? E1 ?dR ? ? E2 ?dR
R0 R0 ? R R0

2

? ? E1dR ? ? E2 dR
? E1 ? Qf 4?? R
R0
2

?0
2

,

E2 ?

Qf 4?? 0 R
? R0

?

1

? Q
f

? ? P R

?? 1 ? ?

Qf 4?? R
2

4?? 0 R Q f R0 1 Qf ? 1 ? ?R R 2 dR ? 4?? 0 ?R0 R 2 dR 4??
R 2
R ?

dR ? ?

Qf

?1

dR

?2

Qf ? 1 ? 0 Qf ? 1 ? Qf ? 1 1 ? Qf 1 ? ? ? R ? ? 4?? ? ? R ? ? 4?? ? R ? R ? ? 4?? R 4?? ? ?R ? R0 0 ? 0 ? 0 0 ? Qf Qf Qf ? ? ? 4?? R 4?? R0 4?? 0 R0

分离变量法

Qf ? 1 1 ? Qf ?1 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 4? R0 4?? R
?2 ?
Qf 4?? 0 R

?1 ?
高斯定理

Qf 4?? R
Qf

?

Qf 4?? R0

?

Qf 4?? 0 R0

?2 ?

4?? 0 R

习题解答

均匀介质球(电容率为 ? 1)的中心置一自由电偶极 ? 子 p f ,球外充满了另一种介质(电容率为 ? 2),求 空间各点的电势和极化电荷分布。 ? ?P 解:在自由电偶极子 p f 附近 ? 出现 p ,在球面上出现 ? P ,

P93/4

?

2

设 p f 和 p P在球内激发的电势为? 1, 在球外产生的电势为; 2 ' ? '' ? 设 ? p 产生的电势 用 表示, p 在球 '' 内产生的电势为 ? '',在球外产生的电势为 ? 2。令 1 所有电荷在球内产生的电势为 ? 1 ,在球外产生的 电势为 ? 2 。则 ??1 ? ?1' ? ?1'' ? 由叠加原理: ? ?? 2 ? ? 2 '?? 2 '' ?
'

?

P

?

? ?1 p P 1 ? p f ?1

2

z
?2

?

由于 ? P 为面电荷,所以其激发的电势在球内、球外均 满足拉普拉斯方程:

? ?1 '' ? 0
2

? 2? 2 '' ? 0
bn ) Pn (cos ? ) n ?1 R dn ) Pn (cos ? ) n ?1 R

由于该面电荷呈轴对称分布,所以通解形式为:

? '' ? ?1 ? ? ( a n R n ? ? ? n ?0 ? ? '' ?? ? (c R n ? ? 2 ? n n ?0 ?
边界条件 1 2

R?0

? 处, 1 '' 应为有限值,
'' ? 0

无穷远处,? 2

1 2

b ? 0,?? ? ? a R P (cos? )
'' n n 1 n n n?0

?

d c ? 0,?? ? ? P (cos? ) R
? '' n n 2 n?0 n?1 n

只考虑电偶极子(包括自由偶极子和极化偶极子) 激发的电势: ? ? ? ' p f ? R p f R cos ? p f cos ? ? ? ??1 ? 3 3 4??1 R 4??1 R 4??1 R 2 ? ? ? ? ? ' p f ? R p f R cos ? p f cos ? ?? 2 ? 4?? R 3 ? 4?? R 3 ? 4?? R 2 1 1 1 ?

p cos? ? ?? ? 4?? R ? ? a R P (cos? ) ? ?? d ?? ? p cos? ? ? R P (cos? ) ? 4?? R ?
? f n 1 2 n n 1 n?0 ? f n 2 2 1 n?0 n?1 n

边值关系 3 在介质球面上

?R ? R ? ,
0

? R ? R0时,?1 ? ? 2 ? ? ??1 ?? 2 ? R ? R0时,? 1 ?R ? ? 2 ?R ?

3.1 3.2

??1 R? R ? ? 2 R? R 0 0 ? 即 ? ?? ?? 2 1 ? ?2 ?? 1 R ? R0 ?R ? ?R


3.1
R ? R0

3.2

代入

3.1

d ? ? a R P (cos? ) ? ? P (cos ? ) R
? ? n n n 0 n n?0 n?0 n?1 n 0

?d ? a R
n n

2 n?1

0


?

代入

3.2

? p cos? ? ?? ? (-2)R ? ? a nR P (cos? ) ? ? 4?? ? ? p cos? ? 1 ?? ? (-2)R ? ? d (?1)(n ? 1) P (cos ? ) ? R ? 4?? ?
f ?3 n?1 1 0 n 0 n 1 n?0 f ?3 ? 2 0 n 1 n?0 n?2 n 0

? p cos? ? ?? ? (-2)R ? a cos? ? ? a nR P (cos? ) ? ? 4?? ?
f ?3 n?1 1 0 1 n 0 n 1 n?1

? p cos? ? 1 1 ?? ? (-2)R ? d (?1)2 cos? ? ? d (?1)(n ? 1) P (cos ? ) ? R R ? 4?? ?
f ?3 2 0 1 3 n 1 0 n?1 n?2 n 0

? ?? ? ?? ?? ? ?

1

? p cos? ? (-2)R ? a cos? ? ? ? ? ? 4?? ?
f ?3 0 1 1 n?1 n 0 n 2 n n?1 n?1

2

? p cos? ? 1 (-2)R ? d (?1)2 cos? ? ? R ? 4?? ?
f ?3 0 1 3 1 0 n ?2 n

? a nR P (cos? ) ? ? ? ? d (?1)(n ? 1) 1 P (cos? ) ? ?? ? ?? ? ? ? R ? ? ? ? 1 p f ?3 ? p f ?3 2d1 ? R0 ? a1? 1 ? ? 2 ?? R0 ? 3 ? ?? R0 ? ? 2?? 1 ? 2?? 1 ?? ?? a nR n?1 ? ? d (?1)(n ? 1) 1 , ? n ? 1? 2 n ?1 n 0 R0 n?2 ?
1 0

p ? ? p ? 2d ?a ? 2?? R ? ? 2?? R ? ? R ? ?? ?d ? ? ? a n R , ? n ? 1? ? ? n ?1 ?
f ?3 2 f ?3 2 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 n?1 n n 0 2

1

3

3.1

d ?a R
n n
f 1

2 n?1

0

3.2

p ? ? p ? 2d ?a ? 2?? R ? ? 2?? R ? ? R ? ? ?d ? ? ? a n R , ? n ? 1? ? ? n ?1 ?
?3 2 f ?3 2 0 0 1 1 1 1 0 1 2 n ?1 n n 0 2
f 2 f 2
1 2

?d ? a R ? ?? ?d ? a R ?
1 1 n n

3

0 2 n?1

0

? n ? 1?
1 3

p ? ? p ? ?d ? 2?? ? ? 2?? ? ? 2d ? ? ?d ? a R ? ? an ? d n ? 0 , ? n ? 1? ? ?
1 1 1 1 1 3 1 1 0

1

? ? ?? p ?d ? 2? ? ? 2?? ? ? p ? ?? ? ?a ? 2? ? ? 2?? R ? ?a ? d ? 0 , ? n ? 1? ? ? ?
f 1 2 1 1 1 2 f 1 2 1 1 0 n n

3

? ? ?? p ?d ? 2? ? ? 2?? ? ? p ? ?? ? ?a ? 2? ? ? 2?? R ? ?a ? d ? 0 , ? n ? 1? ? ? ?
1 2 f 1 2 1 1 1 2 f 1 2 1 1 0 n n

3

p cos ? ? ?? ? 4?? R ? ? a R P (cos ? ) ? ? d ?? ? p cos ? ? ? R P (cos? ) ? 4?? R ?
? f n 1 2 n n 1 n?0 ? f n 2 2 1 n?0 n?1 n

? ? ? ? ? p ?R (? ? ? ) p ? R ? ?? ? 4?? R 2?? (? ? 2? ) R ? ? ? ? 3p ? R ?? ? ? 4? (? ? 2? ) R ?
f 1 2 f 1 3 1 1 1 2 f 2 3 1 2

3

0

求极化电荷分布

球心处极化偶极子

?0 ? p ? ( ? 1) ? f ?
球面上极化面电荷

?0 ? ? p p ? ( ? 1) p f

? ? ? ? p ? ?n ? ( P2 ? P1 ) ? P1n ? P2 n
??1 E1n ? ? ?R
?? 2 E2 n ? ? ?R

?2

?

? (?1 ? ? 0 ) E1n ? (? 2 ? ? 0 ) E2 n
R0

?
?

3? 2 p f cos ?
3 p f cos ? 2? (?1 ? 2? 2 ) R0

2 ? ?1 p P 1 ? 1? 2 z p f ?1 ?2
3

?P

2??1 (? 1 ? 2? 2 ) R0
3

R0

?p

3? 2(? 1 ? ? 0 )p f cos ? 3 ? 2 ? ? 0 )p f cos ? ( ? ? 3 3 2?? 1(? 1 ? 2? 2 )R 0 2?(? 1 ? 2? 2 )R 0

3 ? 1 ? ? 2 ) 0 p f cos ? ( ? ? 3 2?? 1(? 1 ? 2? 2 )R 0

? ? ??1 ? 3 3 4??1 R 4??1 (? 1 ? 2? 2 ) R0 ? ? ? ? 3pf ? R ? ?2 ? ? 4? (? 1 ? 2? 2 ) R 3 ?

? ? pf ? R

? ? 2(? 1 ? ? 2 ) p f ? R

1

球心处有极化偶极子:

?0 ? ? p p ? ( ? 1) p f ?
球面上极化面电荷

2

?p ?

3(? 1 ? ? 2 )? 0 p f cos ? 2??1 (? 1 ? 2? 2 ) R0
3

习题解答

P95/9

接地的空心导体球的内外半径为 R 1 和 R 2 ,在球内 离球心为 a a ? R1)处置一点电荷 Q ,用镜像法求 ( 电势。导体球上的感应电荷有多少?分布在内表面还 是在外表面? 解

R- R1 2
-

OQ -

a? -

?P-

R2

R1

OQ b

a?

R

P ?

r

r'

Q'

?

R ? R 区,
1

R ? R 区,
1

? ?0

? ?0

? R ? R 区,? ? 0,
1

? 只需考察R ? R 区的电势。
1

R2

象电荷不可置于有效区, 可如图放置
R ? Q’ ? 1 Q ? ? ? a ? R1 2 ?b ? ? a ?

R1

OQ b
R ? R 区,
1

a?

R

P ?

r

r'

Q'

?

1 ?Q Q ? ? 在R ? R1区, ? ? ? r ? r' ? 4?? 0 ? ? ?
'

? ?0

? R1 ? ? Q 1 ? Q ? a ? ? ? 2 2 2 4?? 0 ? R 2 ? a 2 ? 2 Ra cos? R ?R ? ? R 2 ? ? 1 ? ? 2 R 1 cos? ? ? ? a ? a ? ? ?

求导体球上的感应电荷

由高斯定理, R 在内表面。

? R1区,导体球上的感应电荷分布
R- R1 2
-

? E?0

? QI ? Q ? 0
? QI ? ?Q

OQ -

a? -

?P-

R ? R 区,
1

? ?0

? 导体球上的感应电荷为 ?Q ,分布在内表面。

习题解答

P95/10

空心导体球,内外半径为 R 1 和 R 2 ,在球内离球心 为 a a ? R1 )处置一点电荷 Q ,若导体球不接地, ( 而是带总电荷 Q0 ,或使其有确定电势 ? 0 ,试用镜 像法求这两种情况的电势。导体球上的感应电荷有多 少?分布在内表面还是在外表面? 解 分析 (1)如果导体球带总电荷 Q0 内表面感应电荷 ?Q 外表面电荷 Q ? Q0

球壳外表面电荷分布只受导体球 的几何均匀度,导体球外的电荷 影响,而与导体内腔 Q 的放置无 关。所以 Q ? Q0 在外表面均匀分 布。

?

? R2

?

R1 -

?
-

?

?Q

OQ -

a?

? Q?Q

?

?
0

1

考虑球外 ? R ? R ?电势

?

? R2

?
1

2

? R a?
-

? P

?

?Q

OQ -

? Q?Q

?

?
Q?Q
0

R- R1 2
-

? P

0

?a? O

Q -

-

0

Q?Q ? ? 由高斯定理: 4?? R Q?Q 导体球壳的电势 ? ? 4?? R
1 0
球壳 0

?R ? R ?
2

0

?R ? R ? R ?
1 2

2

2

考虑球内电势 R ? R

?

? R2

?
1

1

? R a? P?

?

?Q

OQ -

? Q?Q

?

?
0

?r ' r ? ? R OaQ b? ? ? ? Q?Q
2

?R
1

?
R

P ?

Q'

?

0

1 ? Q Q ' ? Q ? Q0 ? ? R ? R1 ? ?2 ? ? r ? r ' ? 4?? R 4?? 0 ? ? 0 2 ? R1 ? Q 1 ? Q a ?2 ? ? 2 4?? 0 ? R 2 ? a 2 ? 2 Ra cos? R12 R ? R12 ? 2 ? R ?? ? ? 2 a cos? ? ? a ? ?

? ? Q ? Q0 ? ? ? 4?? 0 R2 ? ? ?

(2)如果导体具有确定电势 ? 0

R?R

? R1 ? Q 1 ? Q a ? '2 ? ? 2 4?? 0 ? R 2 ? a 2 ? 2 Ra cos? R12 R ? R12 ? 2 ? R ?? ? ? 2 a cos? ? ? a ? ?
1

? ? ? ? ? ? ?

??

0

? R1 ? Q 1 ? Q a ?2 ? ? 2 4?? 0 ? R 2 ? a 2 ? 2 Ra cos? R12 R ? R12 ? 2 ? R ?? ? ? 2 a cos? ? ? a ? ?

? ? Q ? Q0 ? ? ? 4?? 0 R2 ? ? ?

Q ? Q0 当? 0 ? 时,两情况的解相等。 4?? 0 R2

R ?R?R
1

2

? ' ??
球壳

0

R?R

2

? '?
1

Q' 4?? R
0

当R ? R 时,? ' ? ?
2 1

Q' ? ? 4?? R
0 0

2

0

Q ' ? 4?? R ?
0 2

0

4?? R ? R? ? '? ? 4?? R R
0 2 0 2 1 0

0

? '?
1

Q' 4?? R
0

(1)如果导体球带总电荷 Q0

Q?Q ? ? ?R ? R ? 4?? R
0 1
2

?

球壳

?2

Q ? Q0 Q'? ?Q ? ? ? r ? r' ? 4?? 0 ? 4?? 0 R2 ?
1

0

Q?Q ? ? R1 ? R ? R2 ? 4?? R
0 0 2

?R ? R ?
1

(2)如果导体具有确定电势 ? 0
? ? R1 ? ? Q 1 ? Q ? a ? '2 ? ? ? 2 2 2 4?? 0 ? R 2 ? a 2 ? 2 Ra cos? R R ?R ? ? R 2 ? ? 1 ? ? 2 1 cos? ? ? ? a ? a ? ? ?

? ? ?R ? R ?
0
1

R? ? '? R
2 1

0

?R ? R ?
2

? ' ??
球壳

0

?R ? R ? R ?
1 2

习题解答

P95/11

在接地的导体平面上有一半径为 a 的半球凸部,半 球的球心在导体平面上,点电荷 Q 位于系统的对称 轴上,并与平面相距为 b ? b ? a ? ,试用电象法求空 间电势。 ? r

Q

1

?

1

r

P

C

Q

2

?

2

R

r

3

A
Q

? O
3

r

4

A'

? ?

D

Q

4

大小

Q ?Q
1

a a Q ?? Q ?? Q b b
2 1

a Q ? ?Q ? Q b
3 2

Q ? ?Q ? ?Q
4 1
2

位置

O1 ? b

a O2 ? b

a O3 ? b

2

O4 ? b

1 ? Q1 Q2 Q3 Q4 ? ?? ?r ? r ? r ? r ? 4?? 0 ? 1 2 3 4 ?
Q
C
1

?

r
R

1

?
r
2

P
A'

Q

2

A
Q

O
3

? ?
? ?

?

r

3

r

4

D

Q

4

半径为R的带电球面,带电荷密度为

(?0为常量),球外充满介电常数为?的均匀介质 (如图),求球内外的电势。

边界条件

一金属球壳的内外半径分别为



,在壳内离

球心O为 处有一点电荷,其电量为

球心 处有另一点电荷,其电量为
球壳上总电量为零. 试求

; 在球壳外离 .如图所示. 已知

各自所受的库仑力。


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