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2015-2016届高一北师大版数学必修1习题:综合测试题1


综合测试题(一)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.(2014·陕西高考)设集合 M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则 M∩N=( )

A.[0,1]

B.[0,1)

C.(0,1]

D.(0,1)

[答案] B

[解析] x2<1,∴-1<x<1,∴M∩N={x|0≤x<1}.

2.(2015·湖北高考)函数 f(x)= 4-|x|+lgx2-x-5x3+6 的定义域为(

)

A.(2,3)

B.(2,4]

C.(2,3)∪(3,4]

D.(-1,3)∪(3,6]

[答案] C

??4-|x|≥0,

? [解析] 由函数 y=f(x)的表达式可知,函数 f(x)的定义域应满足条件: x2-5x+6



?? x-3 >0

?? -4≤x≤x

解得?

.即函数 f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4],故应选 C.

??x>2且x≠3

3.下列各组函数,在同一直角坐标中,f(x)与 g(x)有相同图像的一组是( )

1

1

A.f(x)=(x2)2 ,g(x)=(x2 )2

B.f(x)=xx2+-39,g(x)=x-3

1
C.f(x)=(x2 )2,g(x)=2log2x D.f(x)=x,g(x)=lg10x

[答案] D

[解析] 选项 A 中,f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为[0,+∞);选项 B 中,f(x)的定

1
义域为(-∞,-3)∪(-3,+∞),g(x)的定义域为 R;选项 C 中,f(x)=(x2 )2=x,x∈[0,

+∞),g(x)=2log2x,x∈(0,+∞),定义域和对应关系都不同;选项 D 中,g(x)=lg10x=xlg10

=x,故选 D.

4.函数 y=lnx+2x-6 的零点,必定位于如下哪一个区间( )

A.(1,2)

B.(2,3)

C.(3,4)

D.(4,5)

[答案] B

[解析] 令 f(x)=lnx+2x-6,设 f(x0)=0,

∵f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0,

又 f(2)=ln2-2<0,f(2)·f(3)<0,

∴x0∈(2,3).

5.已知 f(x)是定义域在(0,+∞)上的单调增函数,若 f(x)>f(2-x),则 x 的取值范围是( )

A.x>1

B.x<1

C.0<x<2

D.1<x<2

[答案] D

[解析]

?x>0 ? 由已知得 2-x>0
?x>2-x

??x>0 ??x<2 ,
??x>1

∴x∈(1,2),故选 D.

1
6.已知 x2

1
+x-2

=5,则x2+x 1的值为(

)

A.5 C.25 [答案] B

B.23 D.27

[解析] x2+x 1=x+1x=x+x-1

1

1

=(x2 +x-2 )2-2

=52-2=23. 故选 B. 7.(2014·山东高考)已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图像如图, 则下列结论成立的是( )

A.a>1,c>1 C.0<a<1,c>1 [答案] D

B.a>1,0<c<1 D.0<a<1,0<c<1

[解析] 本题考查对数函数的图像以及图像的平移.

由单调性知 0<a<1.又图像向左平移,没有超过 1 个单位长度.故 0<c<1,∴选 D.

8.若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定义域均为 R,则( )
A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 [答案] B [解析] f(x)=3x+3-x 且定义域为 R,则 f(-x)=3-x+3x,∴f(x)=f(-x),∴f(x)为偶函数.

同理得 g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数.故选 B.

9.(23)32 ,(25)23 ,(23)13 的大小关系为(

A.(23)13

22 >(5)3

22 >(3)3

C.(23)23

21 >(3)3

22 >(5)3

[答案] D

[解析] ∵y=(23)x 为减函数,13<23,

)

B.(25)23

21 >(3)3

22 >(3)3

D.(23)13

22 >(3)3

22 >(5)3

∴(23)31

22 >(3)3

.

2
又∵y=x3

在(0,+∞)上为增函数,且23>25,

∴(23)23

22 >(5)3



∴(23)13

22 >(3)3

22 >(5)3

.故选 D.

10.已知函数 f(x)=log1 2

x,则方程(12)|x|=|f(x)|的实根个数是(

)

A.1

B.2

C.3

D.2006

[答案] B

[解析]

在同一平面直角坐标系中作出函数

y=(12)|x|及

y=|log1 2

x|的图像如图所示,易得

B.

11.若偶函数 f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中,成立的是( ) A.f(-32)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(-32)<f(2) C.f(2)<f(-1)<f(-32) D.f(2)<f(-32)<f(-1) [答案] D [解析] ∵f(x)为偶函数,∴f(2)=f(-2). 又∵-2<-32<-1,且 f(x)在(-∞,-1)上是增函数, ∴f(2)<f(-32)<f(-1).

12.如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点,那么称这个点

为“好点”,在下面的五个点 M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G(2,12)中,“好点”的个

数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

[答案] C

[解析] ∵指数函数过定点(0,1),对数函数过定点(1,0)且都与 y=x 没有交点,

∴指数函数不过(1,1),(2,1)点,对数函数不过点(1,2),∴点 M、N、P 一定不是好点.可

验证:点 Q(2,2)是指数函数 y=( 2)x 和对数函数 y=log 2x 的交点,点 G(2,12)在指数函数 y =( 22)x 上,且在对数函数 y=log4x 上.故选 C.
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.若已知 A∩{-1,0,1}={0,1},且 A∪{-2,0,2}={-2,0,1,2},则满足上述条件的集 合 A 共有________个. [答案] 4 [解析] ∵A∩{-1,0,1}={0,1}, ∴0,1∈A 且-1?A. 又∵A∪{-2,0,2}={-2,0,1,2}, ∴1∈A 且至多-2,0,2∈A. 故 0,1∈A 且至多-2,2∈A. ∴满足条件的 A 只能为:{0,1},{0,1,2},{0,1,-2},{0,1,-2,2},共有 4 个. 14.(2014·浙江高考)设函数 f(x)=?????x-2+x22,x+x>20,. x≤0, 若 f(f(a))=2,则 a=________. [答案] 2 [解析] 此题考查分段函数、复合函数,已知函数值求自变量. 令 f(a)=t,则 f(t)=2. ∵t>0 时,-t2<0≠2,∴t≤0. 即 t2+2t+2=2,∴t=0 或-2. 当 t=0 时,f(a)=0,a≤0 时,a2+2a+2=0 无解. a>0 时,-a2=0,a=0 无解. 当 t=-2 时,a≤0,a2+2a+2=-2 无解 a>0 时-a2=-2,a= 2. 15.用二分法求方程 x3+4=6x2 的一个近似解时,已经将一根锁定在区间(0,1)内,则下 一步可断定该根所在的区间为________. [答案] (12,1)

[解析] 设 f(x)=x3-6x2+4,

显然 f(0)>0,f(1)<0,
又 f(12)=(12)3-6×(12)2+4>0, ∴下一步可断定方程的根所在的区间为(12,1). 16.函数 y=log1 (x2-3x)的单调递减区间是________.
3
[答案] (3,+∞) [解析] 先求定义域,∵x2-3x>0,∴x>3 或 x<0,
又∵y=log1 u 是减函数,且 u=x2-3x.
3
即求 u 的增区间.∴所求区间为(3,+∞). 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 17.(本小题满分 10 分)设全集 U 为 R,A={x|x2+px+12=0},B={x|x2-5x+q=0}, 若(?UA)∩B={2},A∩(?UB)={4},求 A∪B. [解析] ∵(?UA)∩B={2},A∩(?UB)={4},
∴2∈B,2?A,4∈A,4?B,根据元素与集合的关系,

?? 42+4p+12=0

?? p=-7,

可得?

,解得?

??22-10+q=0

??q=6.

∴A={x|x2-7x+12=0}={3,4},B={x|x2-5x+6=0}={2,3},经检验符合题意.

∴A∪B={2,3,4}.
18.(本小题满分 12 分)(1)不用计算器计算:log3 27+lg25+lg4+7log72+(-9.8)0 (2)如果 f(x-1x)=(x+1x)2,求 f(x+1).
3
[解析] (1)原式=log332 +lg(25×4)+2+1 =32+2+3=123. (2)∵f(x-1x)=(x+1x)2 =x2+x12+2=(x2+x12-2)+4=(x-1x)2+4

∴f(x)=x2+4,∴f(x+1)=(x+1)2+4=x2+2x+5. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=-3x2+2x-m+1. (1)当 m 为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点; (2)若函数恰有一个零点在原点处,求 m 的值. [解析] (1)函数有两个零点,则对应方程-3x2+2x-m+1=0 有两个根,易知 Δ>0,

即 Δ=4+12(1-m)>0,可解得 m<43;

Δ=0,可解得

m=43;Δ<0,可解得

4 m>3.

故 m<43时,函数有两个零点;

m=43时,函数有一个零点;m>43时,函数无零点.

(2)因为 0 是对应方程的根,有 1-m=0,可解得 m=1. 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,并且当 x∈(0,+∞)时, f(x)=2x. (1)求 f(log213)的值; (2)求 f(x)的解析式. [解析] (1)因为 f(x)为奇函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=2x, 所以 f(log213)=f(-log23)=-f(log23) =-2log23=-3.

(2)设任意的 x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),

因为当 x∈(0,+∞)时,f(x)=2x,所以 f(-x)=2-x,

又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)=-f(-x)=-2-x, 即当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-2-x;

又因为 f(0)=-f(0),所以 f(0)=0,

??2x,x>0

? 综上可知,f(x)= 0,x=0

.

??-2-x,x<0

21.(本小题满分 12 分)(2015·上海高考)已知函数 f(x)=ax2+1x,其中 a 为常数 (1)根据 a 的不同取值,判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 a∈(1,3),判断函数 f(x)在[1,2]上的单调性,并说明理由. [解析] (1)f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R},关于原点对称, f(-x)=a(-x)2+-1x=ax2-1x,
当 a=0 时,f(-x)=-f(x)为奇函数, 当 a≠0 时,由 f(1)=a+1,f(-1)=a-1,知 f(-1)≠-f(1),故 f(x)即不是奇函数也不 是偶函数. (2)设 1≤x1<x2≤2,则 f(x2)-f(x1)=ax22+x12-ax21-x11=(x2-x1)[a(x1+x2)-x11x2], 由 1≤x1<x2≤2,得 x2-x1>0,2<x1+x2<4,1<x1x2<4, -1<-x11x2<-14,又 1<a<3,所以 2<a(x1+x2)<12, 得 a(x1+x2)-x11x2>0,从而 f(x2)-f(x1)>0, 即 f(x2)>f(x1),故当 a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增. 22.(本小题满分 12 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=ax-1.其中 a>0 且 a≠1. (1)求 f(2)+f(-2)的值; (2)求 f(x)的解析式; (3)解关于 x 的不等式-1<f(x-1)<4,结果用集合或区间表示. [解析] (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-2)=-f(2),即 f(2)+f(-2)=0. (2)当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=a-x-1. 由 f(x)是奇函数,有 f(-x)=-f(x), ∵f(-x)=a-x-1,∴f(x)=-a-x+1(x<0).

?? ax-1?x≥0?

∴所求的解析式为 f(x)=?

.

??-a-x+1?x<0?

?? x-1<0 (3)不等式等价于?
??-1<-a-x+1+1<4

?? x-1≥0

或?



??-1<ax-1-1<4

?? x-1<0

?? x-1≥0

即?

或?

.

??-3<a-x+1<2 ??0<ax-1<5

?x<1

?x≥1

当 a>1 时,有??x>1-loga2

或? ?x<1+loga5

注意此时 loga2>0,loga5>0,

可得此时不等式的解集为(1-loga2,1+loga5).

同理可得,当 0<a<1 时,不等式的解集为 R.

综上所述,当 a>1 时,

不等式的解集为(1-loga2,1+loga5);

当 0<a<1 时,不等式的解集为 R.


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