伤城文章网 > 数学 > 放缩法证明数列不等式的基本策略(高考精品,吐血推荐,不看后悔一辈子,)

放缩法证明数列不等式的基本策略(高考精品,吐血推荐,不看后悔一辈子,)


放缩法证明数列不等式的基本策略 不得不说的放缩法
放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对不等 式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化,其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式,因 其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这 一难点,我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。

一、常见的放缩方法
证题中经常用到的放缩方法法有: 1.“添舍”放缩:对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果; 2.分式放缩:分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果; 3.利用重要的不等式或结论放缩:把欲证不等式变形构造,然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩, 例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。 4.单调性放缩:挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数,利用单调性、值域产 生的不等关系进行放缩。

二、常见的放缩控制
当我们选择了正确的放缩方法后, 却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控, 导致放缩的过大或过小, 达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢? 例 1.求证:

1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 4 1 2 3 n

分析 1:不等式左边不能直接求和,我们希望通过合适的放缩后可以求和。

1 1 1 1 ? ? ? (n ? 2) ”的方法向右端放大, 2 n n(n ? 1) (n ? 1) n 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ( ? ) ? 2? ? 2 ? 则左边 ? 1 ? ? ?? 1 2 2 3 n ?1 n n 4 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n
若采取“ 很明显,放得有点大了,导致传递性失败,不等式链中断,放缩失败。那怎么办呢? 【1】 调整放缩的“量”的大小 分析 2:分析 1 中“放”的有点过大,因为 1 ? 1 ,放大了 1 ,1 ? 1 ,放大了 1 , ? 所以可以 2 2
2 1? 2 4 3

2?3

18

通过调整放大的“量”来控制放缩的效果。在 减少 1,即

1 1 分母减少了 n,我们可以把分母只 ? 2 n n(n ? 1)

1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ( ) n ? 2), 这样放的量就少了。 2 n n ?1 2 n ?1 n ?1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? =1+ (1 ? ? ? ) ? <1+ (1 ? ) = 证明 1:左边<1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) + ? ? ( 2 2 4 2 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 2 2 n n ?1
【2】 调整放缩的“项”的起点 分析 3:分析 1 中从第二项开始放缩,放的最终有点大。可以调整放缩的项数,从第三项开始放缩。 证明 2:左边 ? 1 ? ?

1 1 1 1 1 7 1 7 1 1 1 ? 1? ? ( ? ) ?? ? ( ? ) ?? ? ? ?? 4 2 3 n ?1 n 4 n 4 4 2?3 (n ? 1) ? n

由此可见,调整成功。显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小 些。以此类推,当放缩的项数越少,放缩后的结果就会越来越精细,越来越逼近目标。 除此之外,还可以调整放缩的次数,通过多次放缩的调整来达到效果;有时也可以根据欲证式子 的结构特点,把相邻的项分组捆绑后进行放缩,也可以达到控制放缩合理和尺度的效果。

三、常见的问题类型
数列型不等式的一边常与求和有关,所以可以通过放缩后求和(或求和后放缩)来达到欲证的目标。下 面我们通过几道典型例题来体会常见问题的处理手法。 一. 放缩与“公式法求和” 选择恰当 的放缩方法,通过“通项”的适度 放缩使之转化为等差或等比数列,从而求和达到简化证题 .. .. 的目的。 例 2. 设Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 证明:因为 k ? k ?

? n ? (n ?1) ,求证:

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? sn ? 2 2

k (k ? 1) ?

k ? (k ? 1) 1 ,? k ? k (k ? 1) ? k ? 2 2

n n n(n ? 1) (n ? 1) 2 1 ? sn ? ? ? k ? S n ? ? (k ? ) ,即 2 2 2 k ?1 k ?1

说明:分别利用“添舍项”和“均值不等式”把通项放缩为等差数列,然后求和得证。 例 3.求证:

1 1 1 1 ? ? ??? ? 2 1! 2! 3! n! 1 1 ? k ?1 , k ? 1,2,?, n. k! 2

证明:因为 k!? k (k ? 1)?? 2 ? 1 ? 2 ? 2?2 ? 1 ? 2 k ?1 , ?

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ? 2 ? ( 1 ) n ?1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? k ?1 ? 1 1! 2! 3! n! 2 2 2 2 2 1? 2
说明:把分母适当变小,实现分式的放大,把通项放缩为等比数列,然后方便求和。 例 4.已知 an ? 2 n ? 1 ,证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ?? n ? 2 3 a 2 a3 an?1 2

n a ak n 2k ? 1 2k ? 1 1 证明:通项 ? k ?1 ? k ?1 ? , ? k ? ,不等式右边得证。 ak ?1 2 ? 1 2 ? 2 2 k ?1 a k ?1 2

ak a k ?1

1 1 ? 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ?1? ? k ?1 ? ? ? ? ? ? ? k k k 1 1 2 2 3 ? 2 ? (2 ? 2) 2 3 ? 2 ? 0 2 3 ? 2 k 2 ?1 2(2 k ? ) 4(2 k ? ) 2 2
k

2k ?

??

n ak 1 1 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ?( ? ) ? ? ( 1 ? 2 ? ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? ,不等式左边得证。 k 2 3 2 2 2 3 2 3 3? 2 2 2 k ?1 a k ?1 k ?1 2 n

说明:不等式两端的结构特点是本题证明的突破口,利用“添舍项”把通项放缩为与

1 有关的形式, 2

然后求和证明。其中不等式左边的放缩方法有数种,值得体会研究。 二. 放缩与“裂项法求和” 在例 1 中,不等式的左边无法求和,但通过放缩产生裂项相消的求和效果后,使问题解决。例 2 的右 边也是利用放缩产生了裂项的效果, 然后求和。 下面我们再通过几道例题的证明体会裂项求和效果的运用。 例 5.求证: 2( n ? 1 ? 1) ?

1 1

?

1 2 2

?

1 3

???

1 n

?2 n

证明:?

1 k

?

2 k? k

?

k ? k ?1

? 2( k ? k ? 1), (k ? 2)

??
k ?1

n

1 k
?

? 1 ? 2[( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ?( n ? n ? 1)] ? 1 ? 2(?1 ? n ) ? 2 n ? 1 ? 2 n
2 k? k ? 2 k ? k ?1 ? 2( k ? 1 ? k )

?

1 k
n

??
k ?1

1 k

? 2[( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ?( n ? 1 ? n )] ? 2(?1 ? n ? 1) ? 2( n ? 1 ? 1)

说明:例 1 分式、例 5 根式的放缩后裂项相消求和的处理手法是很多灵活题目的原型,值得体会。 例 6.已知 a n ? ( ) , bn ?
n

1 3

n 1 1 1 ? , 证明: ? bk ? 2n ? 1 ? an 1 ? an?1 3 k ?1

证明: bn ?

1 1? 1 3n
n

? 1?

1 1 3 n ?1

?

3n 3 n ?1 3 n ? 1 ? 1 3 n ?1 ? 1 ? 1 ? ? ? n ?1 3 n ? 1 3 n ?1 ? 1 3n ? 1 3 ?1

1 1 1 1 ? n ?1 ? bn ? 2 ? n ? n ?1 (※※) , (※) 3 ?1 3 ?1 3 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? bk ? 2n ? [(? 1 ? 2 ) ? (? 2 ? 3 ) ? ? ? (? n ? n?1 )] ? 2n ? (? ? n?1 ) ? 2n ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 k ?1 ? 2?
说明:对通项利用“分离变量”化简至(※)处是本题的关键,根据式子中各项的符号以及分母的幂指数 决定放缩为(※※)的形式,以实现“相消”求和的效果。 例 7.已知 f (1) ? 2, f (n ? 1) ? f 2 (n) ? f (n), 求证: 证明:? f (n ? 1) ? f (n)[ f (n) ? 1],?

? f (k ) ? 1 ? 2
k ?1

n

1

1

1 1 1 1 ? ? ? , f (n ? 1) f (n)[ f (n) ? 1] f (n) f (n) ? 1

?

1 1 1 , ? ? f (n) ? 1 f (n) f (n ? 1)
n

??
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?[ ? ]?[ ? ] ? ?[ ? ]? ? f (k ) ? 1 f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n ? 1) f (1) f (n ? 1)

由已知可得 f (n) ? 0, ?

? f (k ) ? 1 ?
k ?1

n

1

1 1 ? f (1) 2

说明:对通项结构特点的分析,决定对已知等式的右边进行因式分解取倒数。然后再裂项、移项变形就是 很自然的想法了。

三. 放缩与“并项法求和” 例 8.已知 a n ?

2 n?2 1 1 1 7 [2 ? (?1) n ?1 ], n ? 1, 证明: 对任意整数 m ? 4, 有 ? ??? ? 3 a 4 a5 am 8
n ?1

分析:通项中含有 (?1)

,把

1 1 ,捆绑并为一项,然后结合 n 的奇偶性进行适度的放缩。 ? an an?1

1 1 3 1 1 3 2 n?1 ? 2 n?2 3 2 n?1 ? 2 n?2 证明:当 n 为奇数时, ? ? [ ? ]? ? an an?1 2 2 n?2 ? 1 2 n?1 ? 1 2 2 2n?3 ? 2 n?1 ? 2 n?2 ? 1 2 2 2n?3
即当 n 为奇数时, 当 m 为偶数且 m>4 时:

1 1 3 1 1 ? ? ( n?2 ? n?1 ) ,且 a 4 ? 2, a n an?1 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ??? ? ? ( ? )? ? ( ? ) ? ? ( 3 ? 4 ? ? ? m ?3 ? m ? 2 ) a 4 a5 am a4 a5 a 6 am?1 am 2 2 2 2 2 2
=

1 31 1 1 31 7 ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? 2 24 2 24 8 2

当 m 为奇数且 m>4 时:? m ? 1 为偶数,

1 1 1 1 1 1 1 7 ? ??? ? ? ??? ? ? a 4 a5 a m a 4 a5 am am?1 8
综上可知,对于任意整数 m>4,都有

1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8

例 9.求证 1 ?

1 1 1 1 1 n ? ? ??? n ? n ? 1 ? (n ? 2, n ? N ) 2 3 4 2 2 ?1 2

分析:观察分母的变化规律,把若干项“捆绑”并为一项后进行放缩,然后求和就很容易实现欲证的目标。 证明:左边= 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ) ? ? ? ( n ?1 ?? n ? n) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 16 2 ?1 2 ?1 2

? 1?
=1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ( ? ?? ? ) ??? ( n ?? n ? n ) 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 2 2 2

1 1 1 1 1 n ? ? ? ? ? (共n个 ) ? 1 ? 2 2 2 2 2 2

四.利用递推关系式放缩 利用递推关系式本身蕴含的不等关系或放缩产生的不等关系,在很多题目中可以起到很好的放缩效果。 例 10.已知 a1 ? 3, ak ? 2ak ?1 ? 1(k ? 2), 求证:

1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2

分析:根据欲证不等式的结构特点,通过递推关系式构造关于 1 ? a k 的不等式,然后实现对通项的放缩。 证明:? ak ? 2ak ?1 ? 1,

? ak ? 1 ? 2(ak ?1 ? 1)且a1 ? 1 ? 4

? ak ? 1 ?

ak ? 1 ak -1 ? 1 a ?1 ? ?? 2 ( ? a1 ? 1 ) ? 2 ? 2? ? 2 ? 4 ? 2 k ?1 ak -1 ? 1 ak -2 ? 1 a1 ? 1

?

1 1 k ?1 ? ( ) ak ? 1 2

1 2 1 3 1 n ?1 1 1 1 ? 左边 ? ( ) ? ( ) ??? ( ) ? ( 1- n ) ? 2 2 2 2 2 2
例 11.已知 an ? 2 n ? 1 ,证明:

1 1 1 2 ? ??? ? a 2 a3 an?1 3 1 的放缩,转化为熟悉的问题。 ak

分析:通过对 an 的适度放缩产生关于 an 的不等递推关系式,然后谋求对 证明:? an ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 2 ? 2(2 n?1 ? 1) ? 2an?1 , ?

an ? 2(n ? 2)且a1 ? 1, a2 ? 3, an?1

? n ? 3时,an ?
左边 ?

an an?1 a 1 1 ? ? ? 3 ? a2 ? 2 n?2 ? 3 ,? ? 3 ? ( ) n?2 an 2 an?1 an?2 a2

1 1 1 1 2 1 2 [1 ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ] ? (1 ? n ) ? 3 2 2 2 3 3 2

五.构造和数列后进行放缩 如果数列不等式没有直接的求和的形式,很多时候可以间接的构造和数列,然后进行放缩处理。 例 12.已知

nan?1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n] ,正数列 ?an ? 满足 a1 ? b ? 0, an ? (n ? 2) 2 3 n 2 n ? an?1
2b (n ? 2) 2 ? b[log2 n] 1 的递推关系式,然后利用“累加法”把不等式的左边转化为和数列的形式。 an

证明: a n ?

分析:根据已知构造关于

证明:? 0 ? a n ?

nan?1 1 1 1 1 1 1 , ? ? ? , ? ? ? (n ? 2) a n a n ?1 n an an?1 n n ? a n?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? n ? 2时, ? ( ? )?( ? ) ??? ( ? ) ? ? ? ??? ? an an an?1 an?1 an?2 a2 a1 a1 n n ? 1 2 b

?

2b 1 1 1 2 ? b[log2 n] ? [log2 n] ? ? ? 0 , ? an ? 2 ? b[ l o 2gn] an 2 b 2b
1 * ,定义数列 {xn } : x1 ? 0 , xn?1 ? f ( xn ) , n ? N , x ?2
2

例 13. 已知函数 f ( x ) ?

若 0 ? xk ?

1 1 (k ? 2,3,4, ) ,证明:对任意 m ? N * 都有: xm ? k ? xk ? . 2 3 ? 4k ?1

分析:利用递推式构造关于 xk ?1 ? xk 的不等式,利用“绝对值不等式”把 xm? k ? xk 放缩为和数列的形式

证明: 由 x1 ? 0 得 x2 ?

1 1 4 , x3 ? , 当 k ? 2 时, 0 ? xk ? , 2 2 9

xk ? xk ?1 xk ? xk ?1 xk ? xk ?1 xk2 ? xk2?1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ∴ xk ?1 ? xk ? 2 4 4 xk ? 2 xk ?1 ? 2 ( xk ? 2)( xk2?1 ? 2)
∴ xk ?1 ? xk ?
*

xk ?1 ? xk

xk ? xk ?1 xk ?1 ? xk ? 2

?

xk ? xk ?1

? ?

1 1 1 ? x3 ? x2 ? ( )k ?2 x3 ? x2 ? ( )k ?2 ? x3 ? x2 4 4 18

x4 ? x3

对 ?m ? N , xm?k ? xk ? ( xm?k ? xm?k ?1 ) ? ( xm?k ?1 ? xm?k ?2 ) ?

? ( xk ?1 ? xk )
? 1 ? ? 4 ?
k ?2

? xm?k ? xm?k ?1 ? xm?k ?1 ? xm?k ?2 ?

? xk ?1 ? xk ?

1? 1 1 ? m ? k ?3 ? m ? k ? 4 ? 18 ? 4 4

1 1 ( ) k ?2 (1 ? m ) 1 4 ? 8 ? ( 1 ) k ?1 ? ?1 ? 1 ? ? 8 ? ( 1 ) k ?1 ? 1 ? ( 1 ) k ?1 ? 1 ? ? 4 ? m ? 1 18 27 4 3 4 3 ? 4k ?1 ? 4 ? 27 4 1? 4
上面介绍的数列不等式主要与“求和”的形式有关。如果不等式的一边与求和没有直接的关系,也可 以辨析题目的结构特征选择合适的方法进行处理,譬如“构造单调数列”放缩;构造“二项式”展开后放 缩;对不等式的局部换元,然后再谋求放缩等。限于篇幅,本文就不做阐述了。 总之,运用放缩法进行数列不等式的证明,要认真分析条件和结论的结构特征,明确方向,防止盲目 放缩。同时还要多总结、多思考,多掌握一些常用的放缩技巧,以提高分析问题和解决问题的能力。


搜索更多“放缩法证明数列不等式的基本策略(高考精品,吐血推荐,不看后悔一辈子,)”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com