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2014哈三中一模文数试题


2014 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试 数学试卷(文史类)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考 试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写, 字体工整, 字迹清楚; (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案 无效,在草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷
有一项是符合题目要求的.) 1.

(选择题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只

集合 M ? ? 1,2? , N ? ?3,4,5?, P ? x x ? a ? b, a ? M , b ? N ,则集合 P 的元素个 数为 A. 3

?

?

B. 4

C. 5

D. 6

2.

若 i 是虚数单位,则 A.

1 3 ? i 2 2

2?i ? 1? i 1 3 B. ? i 2 2

C.

3 3 ? i 2 2

D.

3 3 ? i 2 2

x ?1 ? ? 3. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最小值为 ?x ? 3 y ? 4 ? 0 ?
A. ? 4 B. 0 C.

4 3

D. 4

哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷(文史类) 第 1 页 共 6 页

4.

若 cos 2? ? A.

1 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为 3
B.

开始 输入 N

13 18

11 18

C.

5.

若向量 a, b 的夹角为 的夹角为

? ,且 a ? 2, b ? 1 ,则 a 与 a ? 2b 3
2? C. 3 5? D. 6

5 9

D. 1

k ? 1, S ? 0

? A. 6

? B. 3

S?S?

1 k (k ? 1)


k ? k ?1

6 6. 若按右侧算法流程图运行后,输出的结果是 ,则输入的 N 7
的值为 A. 5 7. B. 6 C. 7 D. 8

k ? N?
否 输出 S 结束

直线 x ? y ? 角为 A.

2 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 所得劣弧所对圆心

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6
2

8.

如图所示,是一个空间几何体的三视图,且这个空间 几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表 面积是 A.

正视图 B. ?

侧视图

49 ? 9

7 3

C.

9.

函数 f ?x ? ? sin(?x ? 递减区间是 A. [ ?

2? ? ) ? cos(?x ? ) 的一个单调 3 6 5 11 ] 6 6
C.

28 ? 3

D.

28 ? 9

2

2

2 1 , ] 3 3

B. [ ,

1 4 [ , ] 3 3

D. [ ?

1 5 , ] 6 6

2 俯视图

10. 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 引它的一条渐近线的垂线,垂足 a2 b2

为 M ,延长 FM 交 y 轴于 E ,若 M 为 EF 的中点,则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 3 D. 2

哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷(文史类) 第 2 页 共 6 页

11. 若不等式 3x ? log a x ? 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立,则实数 a 的取值范围为
2

1 3

A. [

1 ,1) 27

B. (

1 ,1) 27

C. (0,

1 ) 27

D. (0,

1 ] 27

12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 P 是函数 f ( x) ? x ln x ? x 的图象上的动点, 该图象 在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M (0, yM ) ,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N (0, yN ) . 则

yN 的范围是 yM
B. (??,?3] ? [1,??) C. [3, ??) D. (??,?3]

A. (??,?1] ? [3,??)

哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试 数学试卷(文史类)
第Ⅱ卷
(非选择题, 共 90 分)

二、 填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分, 将答案填在答题卡相应的位置上. )

22 tan ? tan ? 22 1 ? ? 2 ?3, 13. 已知角 ? ? (0, ) , 由不等式 tan ? ? ? 2 ,tan ? ? 2 ? tan ? 2 2 tan ? 2 tan ? tan ? ? 33 tan ? tan ? tan ? 33 ? ? ? ? ? 4 ,归纳得到推广结论: tan 3 ? 3 3 3 tan 3 ?

?

tan ? ?

m ? n ? 1(n ? N ? ) ,则实数 m ? _____________ n tan ?

14. 甲、乙两位同学约定晚饭 6 点到 7 点之间在食堂见面,先到之人等后到之人十五分 钟,则甲、乙两人能见面的概率为 _____________ 15. 已知 A(0,1), B(0, ?1), C (1,0) ,动点 P 满足 AP ? BP ? 2 | PC | ,则 | AP ? BP | 的最大
2

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

值为 _____________ 16. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,已知角 A 为锐角,且

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sin 2 A ? 4sin B sin C ? (

sin B ? sin C 2 ) ,则实数 m 范围为 _____________ m

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2, a1 ? 2 ,等比数列 {bn } 满足. b1 ? a1 , b4 ? a8 . (I)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (II)设 cn ? anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分) 某高中毕业学年,在高校自主招生期间,把学生的平时成绩按“百分制”折算,排出 前 n 名学生,并对这 n 名学生按成绩分组,第一组 [75,80) ,第二组 [80,85) ,第三 组 [85,90) ,第四组 [90,95) ,第五组 [95,100] ,如图为频率分布直方图的一部分, 其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列,且第四组 的人数为 60.
频率 组距

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 O
75 80 85 90 95 100

成绩

(I)请在图中补全频率分布直方图; (II)若 B 大学决定在成绩高的第 4 , 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名学生,并且分成 2 组,每组 3 人进行面试,求 95 分(包括 95 分)以上的同学在同一个小组的概率.
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19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥中 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点. (I)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (II)若平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 PA ? PD ? AD ? 2 ,点 M 在线段 PC 上, 且 PM ? 2MC ,求三棱锥 P ? QBM 的体积.

P

Q

D B

C

A

20. (本小题满分 12 分) 若点 A?1,2? 是抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0? 上一点,经过点 B?5,?2 ? 的直线 l 与抛物
2

线 C 交于 P, Q 两点. (I)求证: PA ? QA 为定值; (II)若 ?APQ 的面积为 16 2 ,求直线 l 的斜率.

21. (本小题满分 12 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? ln x .
2

(I)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的极值; (II) 设 g ( x) ? e ? x ? 1 , 若对于任意的 x1 ? (0,??), x2 ? R , 不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 )
x

恒成立,求实数 a 的取值范围.

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请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是的⊙ O 直径, CB 与⊙ O 相切于 B , E 为线段 CB 上一点,连接 AC 、 AE 分别交⊙ O 于 D 、 G 两点,连接 DG 交 CB 于点 F . (I) 求证: C 、 D 、 G 、 E 四点共圆. (II)若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E , EG ? 1 , GA ? 3 ,求线段 CE 的长. A

O D G C E F B

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 3 ? y ? 3t

, ( t 为参数) ,以坐标原点
2

为极点, 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 ? cos? ? 3 ? 0 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, (I)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (II)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 . (I)解不等式 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) ? 6 ; (II)若 a ? 1, b ? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f (ab) ? a f ( ) .

b a

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