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福建省四地六2013届高三上学期第三次月考数学理试题


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“四地六校”联考

2012-2013 学年上学期第三次月考 高三数学(理科)试题
(考试时间:120分钟 总分:150分)

★友情提示:要把所有答案都写在答题卷上,写在试卷上的答案无效。
一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.若集合 P ? { y | y ? x ? 2, x ? 2}, Q ? {x | y ? 5x ? x 2 , x ? Z } ,则 P ? Q =( A.{4} B.{1,2,3,4,5} C. {x | 0 ? x ? 5} D. ? ) )

2.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n D. 若m‖? , m ? , 则?‖ ? ‖ )

3.已知 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为( A. ?

1 1 3 3 B. ? C. D. 2 2 2 2 4.已知 a, b ? R .下列四个条件中,使 a ? b 成立的必要而不充分的条件是(
A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. | a | ? | b | )
2 2


b

D. 2 ? 2
a

5.某几何体的三视图及尺寸如图示,则该几何体的表面积为( 4? A. 3? B. 10? C. 6? D.

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 5x ? 3 y ? 0 则双曲线的一个焦 6.若双曲线 9 m
点 F 到渐近线的距离为( A.2 B. 14 )

2 主视图

侧视图

俯视图

C. 5

D. 2 5 )

7.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是(

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8 . 在 △ ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 为 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 , 设 向 量

?? ? ?? ? m ? (b ? c, c ? a), n ? (b, c ? a) ,若 m ? n ,则角 A 的大小为
A.

( D.



? 6

B.

? 2

C.

? 3

2? 3


9.O 为Δ ABC 的内切圆圆心,且 AB=5,BC=4,CA=3,下列结论中正确的是( A. OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA C. OA? OB = OB? OC = OC? OA B. OA? OB > OB ? OC ? OC ? OA D. OA? OB < OB? OC = OC? OA )

10.函数 f ( x) ?| x 2 ? a | 在区间 [?1,1] 上的最大值 M (a) 的最小值是( ... ... A.

1 4

B.

1 2

C.1

试卷

D.2

二、填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)

?x ? y ? 3 ? 0 ? 11.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?y ?1 ?
m n 12. 已知点 A(m, n) 在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上,则 2 ? 4 的最小值为

.

.

13.过点 P(1,-2)的直线 l 将圆 x ? y ? 4x ? 6 y ? 3 ? 0 截成两段弧,若其中劣弧的长度
2 2

最短,那么直线 l 的方程为 14 . 一 个 四 面 体 所 有 棱 长 都 为 为 。



2 ,四个顶点在同一球面上,则此球表面积

15.对于函数 y ? f (x) ,若存在区间 ? a, b? ,当 x ? ? a, b ? 时的值域为 ?ka, kb? (k ? 0) ,则 称 y ? f (x) 为 k 倍值函数.若 f ( x) ? ln x ? x 是 k 倍值函数,则实数 k 的取值范围 是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)
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如图,在平面直角坐标系中,锐角 ? 、? 的终边分别与单位圆交于 A、 B 两点. 3 5 (Ⅰ)如果 sin ? ? ,点 B 的横坐标为 ,求 cos ?? ? ? ? 的值; 5 13 ??? ???? ? (Ⅱ)已知点 C 2 3, ?2 ,求函数 f (? ) ? OA ? OC 的值域.

?

?

17. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足: S n ? 1 ? an (n ? N * ) ,其中 S n 为数列 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ)试求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: bn ?

n (n ? N * ) ,试求 {bn } 的前 n 项和公式 Tn . an

18. (本小题满分 13 分) 直线 y=kx+b 与曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 交于 A、B 两点,记△AOB 的面积为 S(O 是坐标原 点) 。 (1)求曲线的离心率; (2)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值;

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19. (本小题满分 13 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形,DE ? 平面 ABCD ,AF // DE ,DE ? 3 AF ,BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (Ⅲ)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得 AM // 平面 BEF ,并证 明你的结论.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ?
F ( x) ? f ( x) ? g ( x ) 。

a2 ? 3 ,g ( x) ? x ? ln x , 其中 a ? 0 。 x

(1)若 x ? 是函数 y ? F (x) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若函数 y ? F ( x) ( x ? ?0, 3? ) 的图象上任意一点处切线的斜率 k ? 恒成
5 2

1 2

立,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 y ? f (x) 在 ?1, 2? 上有两个零点,求实数 a 的取值范围。

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21. (本小题满分 14 分) 选修 4-2:矩阵及其变换

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(1)如图,向量 OA和OB 被矩阵 M 作用后分别变成 OA/ 和OB / , (Ⅰ)求矩阵 M; (Ⅱ)并求 y ? sin( x ?

??? ??? ? ?

???? ???? ? ?

?
3

) 在 M 作用后的函数解析式;

选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 ( 2)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,在极坐标系 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2
(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B 。若点 P 的坐标为(3, 5 ) ,求 | PA | ? | PB | 。 选修 4-5:不等式选讲 (3) 已知 x, y, z 为正实数, 且 的值.

1 1 1 ? ? ? 1 , x ? 4 y ? 9 z 的最小值及取得最小值时 x, y, z 求 x y z

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2012-2013 学年上学期第三次月考 高三数学(理科)试题参考答案
题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 A 5 D 6 C 7 D 8 C 9 A 10 B

二、填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 3 12. 4 13. x-y-3=o 14. 3? 15. (1,1 ? )

1 e

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.解: (Ⅰ)∵

? 是锐角, sin ? ? 3 ,
5

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cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

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4 . 2分 5 5 根据三角函数的定义,得 cos ? ? , 13 又∵ ? 是锐角, 12 ∴ sin ? ? 1 ? cos2 ? ? . ····························4 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ 13 4 5 3 12 16 ∴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? . ········· 分 ········ 7 ········ 5 13 5 13 65 ??? ? ???? (Ⅱ)由题意可知, OA ? (cos?, ? ) , OC ? (2 3, ?2) . sin ??? ???? ? ? ∴ f (? ) ? OA ? OC ? 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 4cos(? ? ) , ·············· 分 ··········· ·· 9 ·········· ··· 6

∵ ∴ ∴ ∴

0 ?? ?

?


? 2? , ······························· 10 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· 3

?
6

2

?? ?

?
6

1 ? 3 ,从而 ?2 ? f (? ) ? 2 3 , ·············· 分 ············· 12 ·········· ··· ? ? cos(a ? ) ? 2 6 2
函数 f (? ) 的值域为 (?2, 2 3) . ························ 分 ······················· 13 ·········· ··········· ·· ①

17.(本小题满分 13 分)解: (Ⅰ)? S n ? 1 ? an 分
[

? S n?1 ? 1 ? an?1 ②?????2

②-①得 an?1 ? ?an?1 ? an

? a n ?1 ?

1 a n , (n ? N * ) ????????4 分 2

[

又 n ? 1 时, a1 ? 1 ? a1 ? a1 ?

1 2
[

1 1 n ?1 1 ? ( ) ? ( ) n , (n ? N * ) ????????6 分 2 2 2 n (Ⅱ) bn ? ? n ? 2 n , (n ? N * ) ?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n an ? an ?

③??8 分

[

? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1 ④????????9 分
? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

[

2(1 ? 2 n ) ? ? n ? 2 n ?1 1? 2 n?1 Tn ? (n ? 1)2 ? 2, n ? N * ????13 分18.(1)曲线的方程可化为:

③-④得

? ? ? ? ? ? ? ? 11 分 整 理 得 :
[

x2 ? y 2 ? 1 ,-------------------1 分 4
B

y

A

∴此曲线为椭圆, a 2 ? 4, a ? 2, c 2 ? 4 ? 1 ? 3, c ? 3 -------------------4 分 ∴此椭圆的离心率 e ?

O

x

c 3 ------------------6 分 ? a 2

(2)设点 A 的坐标为 ( x1 , b) ,点 B 的坐标为 ( x2 , b) ,
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x2 ? y 2 ? 1,解得 x1,2 ? ?2 1 ? b 2 -----------------------------8 分 , 4
1 b | x1 ? x2 |? 2b 1 ? b 2 ? b 2 ? 1 ? b 2 ? 1 -----------------------------11 分 2

所以 S ?

当且仅当 b ?

2 时, S 取到最大值 1.-----------------------------13 分 2

19.解:(Ⅰ)证明: 因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . ????????2 分 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , 又 BD, DE 相交 从而 AC ? 平面 BDE . ????????4 分 (Ⅱ)解:因为 DA, DC , DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示. 因 为

BE 与 平 面 ABCD 所 成 角 为 60 0 , 即

????5 分 ?DBE ? 60? , ED 所以 ? 3. DB 由 AD ? 3 可知 DE ? 3 6 , AF ? 6 . 所以 BF ? (0, ?3, 6) , EF ? (3, 0, ?2 6) ,

???6 分 ???7 分

则 A(3, 0, 0) , F (3, 0, 6) , E (0, 0,3 6) , B (3,3, 0) , C (0,3, 0) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??3 y ? 6 z ? 0 ?n ? BF ? 0 ? ? 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ,即 ? , ? ?n ? EF ? 0 ?3 x ? 2 6 z ? 0 ? ?
6 ,则 n ? (4, 2, 6) . ???8 分 ??? ? ??? ? 因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3, 0) , ??? ? ??? ? n ? CA 6 13 所以 cos? n, CA? ? . ??9 分 ? ??? ? ? 13 n CA 3 2 ? 26
令z ? 因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为 (Ⅲ)解:点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , t , 0) . 则 AM ? (t ? 3, t , 0) , 因为 AM // 平面 BEF , 所以 AM ? n ? 0 , 即 4(t ? 3) ? 2t ? 0 ,解得 t ? 2 . 此时,点 M 坐标为 (2, 2, 0) , BM ? 20.解: F ( x) ? 2 x ?

13 . 13

???10 分

???? ?

???? ?

??11 分 ???12 分

a2 ? ln x ? 3 x

1 BD ,符合题意. 3

? ?13 分

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F ' ( x) ? 2 ? a2 1 ? x2 x

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------------------2 分

(1) F ' ( ) ? 4 ? 4a 2 ? 0 且 a ? 0

1 2

?a ?1

---------4 分

(2) F ' ( x) ? 2 ?

a2 1 5 ? ? 对任意的 x ? ?0, 3? 恒成立 x2 x 2

------ -5 分

? 2a 2 ? ? x 2 ? 2 x 对任意的 x ? ?0, 3? 恒成立

?2a 2 ? (? x 2 ? 2x) max

而当 x ? 1 时, ? x 2 ? 2x ? ?( x ? 1) 2 ? 1取最大值为 1,
2 2

? 2a 2 ? 1 ,且 a ? 0 ,? a ?

--------------------7 分

(3) f ' ( x) ? 1 ?

a 2 ( x ? a)( x ? a) ? ,且 a ? 0 x2 x2

f ' ( x) ? 0 ? x ? ?a ; f ' ( x) ? 0 ? x ? a 或 x ? ?a ; f ' ( x) ? 0 ? ?a ? x ? a
? y ? f (x) 在 (??, ? a) 和 (a, ? ?) 上递增;而在 ( ? a, a ) 上递减。

---------8 分 当1 ? x ? 2 时 i) 0 ? a ? 1 ,则 y ? f (x) 在 ?1, 2? 上递增, y ? f (x) 在 ?1, 2? 上不可能有两个零 点。

-----------9 分 ii) 1 ? a ? 2 ,则 y ? f (x) 在 ?1, a ? 上递减,而在 ?a, 2?上递增。

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? y ? f (x) 在 ?1, 2? 上有极小值(也就是最小值) f (a) ? 2a ? 3
a2 ?1 2

而 f (1) ? a 2 ? 2,f (2) ?
? f (1) ? 0 ? ? ? f (2) ? 0 ? f (a) ? 0 ?

? 2 ?a?

3 2

? 2 ?a?

3 时, y ? f (x) 在 ?1, 2? 上有两个零点。 2

---------------------12 分 iii)a ? 2 , y ? f (x) 在 ?1, 2? 上递减,y ? f (x) 在 ?1, 2? 上不可能有两个零点。 则 --------------------13 分 综上所述: 2 ? a ?
3 2

-------------------14 分

21.(1)待定系数设 M= ?

? 2 0 ? ? x/ ? 2x ?a b? ,-----------4 分 ? 求得 M ? ? ??? / ? ?0 2? ?y ? 2y ?c d ?

x ? ) -----------7 分 2 3 (2)解: (Ⅰ) x2 ? ( y ? 5)2 ? 5
/ 再坐标转移法得 y ? 2sin( ?

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 t ? 3 2t ? 4 ? 0
2

由 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两根 所以 ? 1

?t ? t2 ? 3 2 ? ?t1 ? t2 ? 4 ?

,又直线 l 过点 (3, 5) ,故结合 t 的几何意义得

| PA | ? | PB | = | t1 | ? | t2 |? t1 ? t2 ? 3 2
(3)解:由柯西不等式得

x ? 4 y ? 9 z ? [( x )2 ? (2 y ) 2 ? (3 z ) 2 ] ? [( ?( x?

1 2 1 1 ) ? ( )2 ? ( )2 ] x y z

1 1 1 ?2 y? ? 3 z ? )2 ? 36 x y z

????????????????????????????????4 分

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当且仅当 x ? 2 y ? 3z 时等号成立,?????????????5 分 此时 x ? 6, y ? 3, z ? 2 ?????????????6 分 所以当 x ? 6, y ? 3, z ? 2 时, x ? 4 y ? 9 z 取得最小值 36???? 7 分

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