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湖南省长沙市长郡中学届高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析)【含答案】


2015-2016 学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)第一次月考数学试卷(理 科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的? 1.已知 i 是虚数单位,若 A.1﹣2i B.2﹣4i =1﹣i,则 z 的共轭复数为( C. ﹣2 i D.1+2i ) 2. 已知狆: p: A.(﹣∞,3] ≥1, q: |x﹣a|<1, 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围为 ( B.[2,3] C.(2,3] D.(2,3) ) 3.已知| 则 等于( A.1 |=1,| ) |=2, ,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=45°,设 =m +n (m,n∈R) B.2 C. D. 4.已知 O 是坐标原点,点 A(﹣1,1),若点 M(x,y)为平面区域 ? 的取值范围是( ) C.[0,2] D.[﹣1,2] ,上的一个动点,则 A.[﹣1,0] B.[0,1] 5.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知 三个房间的粉刷面积(单位:m )分别为 x,y,z,且 x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位: 元/m2)分别为 a,b,c,且 a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz ) 2 6.使奇函数 f(x)=sin(2x+θ )+ A.﹣ B.﹣ C. D. cos(2x+θ )在[﹣ ,0]上为减函数的 θ 值为( ) 1 7.设 x∈R,若函数 f(x)为单调递增函数,且对任意实数 x,都有 f[f(x)﹣ex]=e+1(e 是自然 对数的底数),则 f(ln2)的值等于( A.1 B.e+l C.3 D.e+3 ) 8.设 θ 为两个非零向量 , 的夹角,已知对任意实数 t,| +t |的最小值为 1.( A.若 θ 确定,则| |唯一确定 B.若 θ 确定,则| |唯一确定 C.若| |确定,则 θ 唯一确定 D.若| |确定,则 θ 唯一确定 ) 9. 已知函数 f (x) =sinπ x 的图象的一部分如左图, 则右图的函数图象所对应的函数解析式为 ( ) A. B.y=f(2x﹣1) C. D. 10.在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2,2, 0),(1,2,1),(2,2,2),给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和 俯视图分别为( ) A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 2 11.(理) . 12.如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5, 是 . =3 , ? =2,则 ? 的值 13. 过椭圆 + =1 (a>b>0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, F2 为右焦点, 若∠F1PF2=60°, . 则椭圆的离心率为 14.已知数列{an}满足 a1=1,an=logn(n+1)(n≥2,n∈N ).定义:使乘积 a1?a2?ak 为正整数的 k (k∈N*)叫做“易整数”.则在[1,2015]内所有“易整数”的和为 . * 15.已知函数 f(x)=cosx(x∈(0,2π ))有两个不同的零点 x1,x2,且方程 f(x)=m 有两个不 同的实根 x3,x4,若把这个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为 . 三、解答题:本大题共 8 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本小题设有 16、17/18 三个选做题,请考生任选二题作答,如果全做,则按所做前二题计分. 16.如图:⊙O 的直径 AB 的延长线于弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一点, AB 于点 F. (1)求证:O,C,D,F 四点共圆; (2)求证:PF?PO=PA?PB. = ,DE 交 3 17.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=﹣2,圆 C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 θ = (ρ ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积. 18.(2015?铜川模拟)已知 a2+b2=1,c2+d2=1. (Ⅰ)求证:ab+cd≤1. (Ⅱ)求 a+ b 的取值范围. 19.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°, (Ⅰ)若 ,求 PA; ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° (Ⅱ)若∠APB=150°,求 tan∠PBA. 20.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (Ⅰ)若函数 f(x)的最小值是 f(﹣1)=0,且 c=1,又 +F(﹣2)的值; (Ⅱ)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,求实数 b 的取值范围. ,求 F(2) 2 4 21. 已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形, AB∥CD, ∠DAB=90°, PA⊥底面 ABCD, 且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点. (1)求异面直线 AC 与 PB 所成的角的余弦值; (2)求直线 BC 与平面 ACM 所成角的正弦值. 22.已知椭圆 C1: 椭圆 C1 上. + =1(a>b>0)和椭圆 C2: =1,离心率相同,且点( ,1)在 (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆 C2 上一点,过点 P 作直线交椭圆 C1 于

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