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014-2015北京高三数学一模分类试题汇编


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2014-2015 北京高三数学一模分类试题汇编 一、集合与逻辑
1.(海淀 2015 一模)设集合 A ? {x ? R | x ? 1} , B ? {x ? R | x2≤4} ,则 A ? B ? ( A (A) [?2, ??) (B) (1, ??) (C) (1, 2] (D) (??, ??) )

2.(东城 2015 一模) 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | x ? ?3 ,或

x ? 4} ,那么 A ? (? U B) ? (C)
(A) {x | ?1 ? x ? 4} (C) {x | ?1 ? x ? 2} (B) {x | ?3 ? x ? 2} (D) {x | ?3 ? x ? 4} )

3.(石景山 2015 一模)若集合 A ? {x | x ? 0} ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是( A. {1,2} 答案:A 解析:因为 A ? B ? B ,故 B ? A 选 A 4.(朝阳2015一模)已知集合 A={1,2,m },B ={1,m}.若B ? A,则m = A.0 答案:C B.2 C.0 或2 D.1 或2
2

B. {x | x ? 1}

C. {?1,0,1}

D. R

【解析】:根据集合的互异性, 可,根据集合的互异性, ,所以,m=0或2

解得m=0,1,2均

5.(顺义2015一模) 已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,B ? {?2, ? 1,1,2} ,则 A ? B ? C

A.{?2, ? 1}

B.{?1,2}

C.{1,2}

D.{?2,-1,1,2}
,则M 中元素的个数

6.(朝阳2015一模)设集合 为 A.61 答案:C

B.65

C.69

D.84

1

天旭数学工作室 7.(海淀 2015 一模) “ sin ? ? 0 ”是“角 ? 是第一象限的角”的( B (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

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(B)必要而不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

8.(顺义 2015 一模) “? ?

?
2

” 是“曲线 y ? sin( x ? ? ) 关于 y 轴对称”的 A

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2

8.(朝阳2015一模) “? x∈R,x + ax +1≥0成立”是“ |a |≤2”的 A.充分必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 【解析】:若 成立,则等价于 ,则等价于

9.(西城2015一模) 设函数 f (x)的定义域为R,则“? x∈R,f (x +1) > f (x) ”是“函 数 f (x)为增函数”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:函数为增函数显然可推出前一个命题,但是前一个命题并不能推出函数为增函数,

10.(东城 2015 一模) “ x ? 1 ”是“ log 1 x ? 0 ”的(B)
2

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 11.(石景山 2015 一模)已知 m ? R , “函数 y ? 2 x ? m ? 1有零点”是“函数 y ? logm x 在

(0, +?) 上为减函数”的(
A.充分不必要条件

) B.必要不充分条件

2

天旭数学工作室 C.充要条件 答案:B D.既不充分也不必要条件

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解析:函数 y ? 2x ?1 图像为 所以当 m ? 1 时,函数 y ? 2 x ? m ? 1有零点; 函数 y ? logm x 在 上为减函数,则 0 ? m ? 1 (0, +?) 因为 ?m | 0 ? m ? 1 ? ? ?m | m ? 1? 所以“函数 y ? 2x ? m ? 1有零点”是“函数 y ? logm x 在 上为减函数”的必要不充分条件 (0, +?)

二、基本初等函数
1. ( 朝 阳 2015 一 模 ) 设 均 为 实 数 , 且



答案:A

3

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2.(顺义 2015 一模)已知 f ( x) 为定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,给出下列命题 ①

f (2014) ? f (?2015) ? 0 ;

②函数 f ( x) 在定义域上是周期为 2 的函数;

③直线 y ? x 与函数 f ( x) 的图象有 2 个交点;④函数 f ( x) 的值域为 (?1,1) . 其中正确的是 C

A. ①,②

B. ②,③

C. ①,④

D. ①,②,③,④

3 ? ? x , x ? a, f ( x ) ? (海淀 2015 一模)设 若存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个 ? 2 x , x ? a . ? ?

零点,则 a 的取值范围是

. (??,0) ? (1, ??)

3. (西城2015一模)已知抛物线

所围成的封闭曲线如图所示,

给定点 A(0,a),若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点A 对称,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(2,4) C. ( 3 ,3) D. ( 5 ,4)

2

2

答案:D 解析:显然,过点A与x轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点A对称,且这两个点在同 一条曲线上.

4.(东城 2015 一模)已知函数 f ( x) ? 2mx ? 2(4 ? m) x ? 1 , g ( x) ? mx ,若对于任意实
2

数 x , f ( x) 与 g ( x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是(B)

4

天旭数学工作室 (A) (0, 2) (C) (2,8) (B) (0,8) (D) (??, 0)

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5. (丰台 2015 一模) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 当 x≥0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x , 如果函数 g ( x) ? f ( x) ? m ( m∈R) 恰有 4 个零点,则 m 的取值范围是____. . (?1, 0)

三、导数及其应用
1.(东城 2015 一模)曲线 y ? sin x(0 ? x ? ?? 与 x 轴围成的封闭区域的面积为 2.(丰台 2015 一模)定积分 2 .

?

?

0

( x ? cos x) dx ? ____.

?2 2

3.(海淀 2015 一模)已知函数 f ( x) ? a ln x ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

1 (a ? 0) . x

(Ⅱ)若 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] (其中 b ? c ) ,求 a 的取值范围,并说明 [b, c] ? (0,1) . 解: (Ⅰ) f '( x) ?

a 1 ax ? 1 ? ? 2 ( x ? 0) . x x2 x

???2 分

(ⅰ)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ??) . ???3 分

1 (ⅱ)当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? . a
当 x 变化时, f '( x ) , f ( x) 的变化情况如下表

x
f '( x )
f ( x)

1 (0, ) a

1 a
0
极小值

1 ( , ??) a

?


?


所以 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ,单调递增区间是 ( , ??) . ??5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 内是减函数,所以,函数 f ( x ) 至多存在一 个零点,不符合题意. ???6 分

1 a

1 a

1 1 当 a ? 0 时,因为 f ( x) 在 (0, ) 内是减函数,在 ( , ??) 内是增函数,所以 要使 a a 1 1 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] ,必须 f ( ) ? 0 ,即 a ln ? a ? 0 . a a
5

天旭数学工作室 所以 a ? e . 当 a ? e 时, f ( ???7 分

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1 1 ) ? a ln( 2 ) ? a 2 ? ?2a ln a ? a 2 ? a ? (a ? 2 ln a) . 2 a a 2 x?2 ( x ? e) . 令 g ( x) ? x ? 2ln x( x ? e) ,则 g '( x) ? 1 ? ? x x
当 x ? e 时, g '( x) ? 0 ,所以, g ( x) 在 [e, ??) 上是增函数. 所以 当 a ? e 时, g (a) ? a ? 2ln a ? g (e) ? e ? 2 ? 0 .

1 ) ?0. ????9 分 a2 1 1 1 因为 2 ? ? 1 , f ( ) ? 0 , f (1) ? 1 ? 0 , a a a 1 1 1 所以 f ( x) 在 ( 2 , ) 内存在一个零点,不妨记为 b ,在 ( ,1) 内存在一个零点, a a a 不妨记为 c . ???11 分 1 1 因为 f ( x) 在 (0, ) 内是减函数,在 ( , ??) 内是增函数, a a
所以 f ( 所以 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] . 综上所述, a 的取值范围是 (e, +?) . 因为 b ? ( ??????12 分

1 1 1 , ) , c ? ( ,1) , 2 a a a
??????13 分

所以 [b, c] ? (0,1) .

4.(西城2015一模)设n∈N*,函数

,函数

,x∈(0,+∞),

(1)当n =1时,写出函数 y = f (x) ? 1零点个数,并说明理由; (2)若曲线 y = f (x)与曲线 y = g(x)分别位于直线l : y =1的两侧,求n的所有可能取 值。

6

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5.(东城 2015 一模)已知函数 f ( x ) ? x ?

a ? ln x , a ? R . x

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (1,2) 上单调递增, 求 a 的取值范围; (Ⅲ)讨论函数 g ( x) ? f ?( x) ? x 的零点个数.

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6.(朝阳 2015 一模)已知函数 (1)当a = ? 1时,求函数 f (x)的最小值; (2)当a≤1时,讨论函数 f (x)的零点个数。

8

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7.(丰台2015一模)设函数 f ( x) ? e x ? ax , x ? R . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证: f ( x) ? 0 ; (Ⅲ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 [0, a ] 上的最大值. 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? e x ? 2 x , f (0) ? 1 , 所以 f ? ( x) ? ex ? 2 . 因为 f ? (0) ? e0 ? 2 ? ?1,即切线的斜率为 ?1, 所以切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 0) ,即 x ? y ? 1 ? 0 .??4 分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ? ( x) ? ex ? 2 . 令 f ? ( x) ? 0 ,则 x0 ? ln 2 . 当 x ? (??,ln 2) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (??, ln 2) 上单调递减, 当 x ? (ln 2, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (ln 2, ??) 上单调递增, 所以当 x ? ln 2 时,函数最小值是 f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 . 命题得证. ???8 分

(Ⅲ)因为 f ( x) ? e x ? ax ,所以 f ? ( x) ? ex ? a . 令 f ? ( x) ? 0 ,则 x ? ln a ? 0 .
9

天旭数学工作室 当 a ? 1 时,设 M (a) ? a ? ln a ,因为 M ?(a ) ? 1 ?

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1 a ?1 ? ? 0, a a 所以 M (a) ? a ? ln a 在 (1, ??) 上单调递增,且 M (1) ? 1 ? ln1 ? 1 ,
所以 M (a) ? a ? ln a ? 0 在 (1, ??) 恒成立,即 a ? ln a . 所以当 x ? (0,ln a) , f ? ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0,ln a) 上单调递减; 当 x ? (ln a, a) , f ? ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (ln a, a) 上单调递增. 所以 f ( x) 在 [0, a ] 上的最大值等于 max{ f (0), f (a)} , 因为 f (0) ? e0 ? a ? 0 ? 1 , f (a ) ? ea ? a 2 , 不妨设 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a 2 ? 1( a ? 1 ), 所以 h?(a) ? ea ? 2a . 由(Ⅱ)知 h?(a) ? ea ? 2a ? 0 在 (1, ??) 恒成立, 所以 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a2 ?1 在 (1, ??) 上单调递增. 又因为 h(1) ? e1 ?12 ?1 ? e ? 2 ? 0 , 所以 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a 2 ?1 ? 0 在 (1, ??) 恒成立,即 f (a ) ? f (0) . 所以当 a ? 1 时, f ( x) 在 [0, a ] 上的最大值为 f (a ) ? ea ? a 2 . ??13 分 8.(石景山 2015 一模)已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x , g ( x ) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若存在 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围. 答案: ( Ⅰ ) 极小值为 f (1)=1 ? ln1 ? 1 ( Ⅱ ) h( x ) 的递减区间为 (0,1? a ) ;递增区间为

1? a (a ? 0) . x

(1 ? a, ??) .(Ⅲ) (

e2 ? 1 , ??) e ?1
???1 分 ???2 分

解析: (Ⅰ) f ( x) ? x ? a ln x 的定义域为 (0, ?? ) . 当 a ? 1 时, f ?( x ) ?

x ?1 . x

由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;

10

天旭数学工作室 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增;

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所以当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 取得极小值,极小值为 f (1)=1 ? ln1 ? 1 ; (Ⅱ) h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ? a ln x ? 又 h?( x) ?

??..4 分

1? a ,其定义域为 (0, ?? ) . x
????..6 分

x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? . x2 x2

由 a ? 0 可得 1 ? a ? 0 ,在 x ? (0,1 ? a ) 上 h?( x ) ? 0 ,在 x ? (1 ? a, ??) 上 h?( x ) ? 0 , 所以 h( x ) 的递减区间为 (0,1 ? a ) ;递增区间为 (1 ? a, ??) . (III)若在 [1, e] 上存在一点 x 0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 即在 [1, e] 上存在一点 x 0 ,使得 h( x0 ) ? 0 .即 h( x ) 在 [1, e] 上的最小值小于零. ?8 分 ①当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时,由(II)可知 h( x ) 在 [1, e] 上单调递减. 故 h( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 h(e) , 由 h ( e) ? e ? ??..??7 分

1? a e2 ? 1 ? a ? 0 ,可得 a ? . e e ?1

???9 分

因为

e2 ? 1 e2 ? 1 ; ? e ? 1 .所以 a ? e ?1 e ?1

???10 分

②当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 由(II)可知 h( x ) 在 (1,1+a ) 上单调递减,在 (1 ? a, e) 上单调递增.

h( x ) 在 [1, e] 上最小值为 h(1 ? a ) ? 2+a ? a ln(1 ? a ) .
因为 0 ? ln(1 ? a ) ? 1 ,所以 0 ? a ln(1 ? a ) ? a .

???11 分

? 2+a ? a ln(1 ? a ) ? 2 ,即 h(1 ? a ) ? 2 不满足题意,舍去.
综上所述: a ? (

????12 分

e2 ? 1 , ??) . e ?1
2 2

???13 分

9.(顺义 2015 一模)已知函数 f ( x) ? a x ? ax ? ln x . (I)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (II)设 g ( x) ? a x ? f ( x) ,且函数 g ( x) 在点 x ? 1 处的切线为 l ,直线 l ? // l ,且 l ? 在
2 2

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y 轴上的截距为 1.求证:无论 a 取任何实数,函数 g ( x) 的图象恒在直线 l ? 的下方.

(I)解: f ( x) ? a2 x2 ? ax ? ln x

f ?( x) ? 2a 2 x ? a ?

1 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? x x .....2 分 (ax ? 1)(2ax ? 1) ? ( x ? 0) x

所以, a ? 0 时, f ( x) 与 f ?( x ) 的变化情况如下:

因此,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (

1 , ?? ) ; 2a 1 单调递减区间位 (0, ). ..............6 分 2a

(II)证明: g ( x) ? a2 x2 ? f ( x) ? ln x ? ax

g ?( x) ?

1 ?a x

所以 g ?(1) ? 1 ? a 所以 l 的斜率为 kl ? 1 ? a ............7 分

因为 l ? // l ,且 l ? 在 y 轴上的截距为 1 所以直线 l ? 的方程为 y ? (1 ? a) x ? 1 令 h( x) ? g ( x) ? [(1 ? a) x ? 1] ? ln x ? x ?1 .............8 分

( x ? 0)

则无论 a 取任何实数,函数 g ( x) 的图象恒在直线 l ? 的下方,等价于 h( x) ? 0

(?a ? R, ?x ? 0)
而 h?( x) ?

................9 分 .........10 分

1 1? x ?1 ? x x
12

天旭数学工作室 当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 所以函数 h( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减 从而当 x ? 1 时, h( x) 取得最大值 h(1) ? ?2 即在 (0, ??) 上, h( x) 取得最大值 h(1) ? ?2 所以 h( x) ? ?2 ? 0(?a ? R, ?x ? 0)

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............12 分

因此,无论 a 取任何实数,函数 g ( x) 的图象恒在直线 l ? 的下方.....13 分

四、三角函数
1.(丰台 2015 一模)将函数 y ? cos(

? 1 ? x ? ) 图象向左平移 个长度单位,再把所得图象 2 6 3

上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是 C (A) y ? cos( x + (C) y ? cos x ( 顺 义 2. 2015

?
6

)

1 x 4 1 ? (D) y ? cos( x ? ) 4 3
(B) y ? cos

一 模 ) 已 知 函 数 f ( x) ?

3 ? s i n x ?

?c x o ?s?
1 2

( x ?又 0R) ,

.

f ( x1 ) ? ?2, f ( x2 ) ? 0 且 | x1 ? x2 | 的最小值等于 ? .则 ? 的值为______.
3.(海淀 2015 一模)已知函数 f ( x) ? sin ( x ?
2

π ). 4

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及其图象的对称轴方程;

π ? x ) 的单调递减区间. 3 ? 1 ? cos 2( x ? ) 4 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ??????2 分 2 1 ? sin 2 x ? . 2 2π ?π. 所以 T ? ??????4 分 2 π kπ π ? ( k ? Z) . 令 2 x ? kπ ? (k ? Z) ,得: x ? ??????6 分 2 2 4 kπ π ? ( k ? Z) . 所以 f ( x ) 的最小正周期为 π ,对称轴的方程为 x ? 2 4
(Ⅱ)求 f (
13

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? (Ⅱ) f ( ? x) ? 3

? sin 2( ? x) ? 1 3 2 1 2π 1 ? ? sin(2 x ? ) ? . ??????9 分 2 3 2 π 2π π ? 2kπ ? (k ? Z) , 令 2kπ ? ? 2 x ? 2 3 2 π 7π ? x ? kπ ? (k ? Z) . 得: kπ ? 12 12 π π 7π ](k ? Z) . ???13 分 所以 f ( ? x ) 的单调递减区间为 [kπ ? , kπ ? 3 12 12

4.(西城2015一模)设函数

(Ⅰ)当

, 时,求函数 f (x)的值域;

(Ⅱ)已知函数 y = f (x)的图象与直线 y =1有交点,求相邻两个交点间的最短距离.

14

天旭数学工作室 5.(朝阳2015一模)已知函数 f (x) = cos x +
2

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3 sin x cos x,x∈R.

(1)求 f (x)的最小正周期和单调递减区间; (2)设 x = m(m∈R )是函数 y = f (x)图象的对称轴,求sin 4m的值.

6.(丰台 2015 一模)已知函数 f ( x) ? cos 周期为 ? .

2

?x
2

? 3 sin

?x
2

cos

?x 1
2 ? 2

(? ? 0) 的最小正

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的最大值和最小值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间. 解: (Ⅰ) f ( x) ? cos
2

?x
2

? 3 sin

?x
2

cos

?x 1
2 ? 2

?

1 ? cos?x 3 1 ? sin ?x ? 2 2 2

?

? 3 1 sin ?x ? cos?x ? sin(?x ? ) . 6 2 2
2?

因为 T ?

?

? ? , ? ? 0 ,所以 ? ? 2 .

因为 f ( x) ? sin( 2 x ? 所以 ? 1 ? sin( 2 x ?

?
6

), x? R ,

?
6

) ?1.

所以函数 f ( x ) 的最大值为 1,最小值为-1. ???8 分
15

天旭数学工作室 (Ⅱ)令 2k? ?

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(k ? Z ) , 2 6 2 2? ? ? 2 x ? 2k? ? (k ? Z ) , 得 2k? ? 3 3
所以 k? ?

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

?

3

? x ? k? ?

?

6

(k ? Z ) .

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ? 7.(海淀 2015 一模)在 ?ABC 中,若 a ?

?
3

, k? ?

?
6

] (k ? Z ) .?13 分
.

2, c ? 3, ?A ?

π ,则 ?B 的大小为 4

π 5π 或 12 12
8.(西城2015一模)在△ABC 中,角 A, B, C所对的边分别为a , b , c ,若

则a = 答案:

.

9.(朝阳2015一模)在△ABC 中,若 A= ,cosB=

?

3

6 ,BC = 6,则 AC = 3
D.

A.4 2 答案:B 【解析】 :

B. 4

C.2 3

4 3 3

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9. (石景山 2015 一模) 在平面直角坐标系 xOy 中, 设锐角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边与单位圆交于点 P( x1 , y1 ) ,将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 交于点 Q( x2 , y2 ) . 记 f (? ) ? y1 ? y2 . (Ⅰ)求函数 f (? ) 的值域; (Ⅱ)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 若 f (C) ? 2 ,且 a ?
Q P O α x y

? 后与单位圆 2

2 , c ? 1 ,求 b .

答案:(Ⅰ) f (? ) ? (1, 2] (Ⅱ)1 解析: (Ⅰ)由题意,得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ?

?
2

) ? cos ? ,

??????3 分

所以 f (? ) ? sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ? ) , 4

?

??????5 分

因为 ? ? (0,

?
2

) ,所以 ? ?

?

? 3? ? ( , ) ,故 f (? ) ? (1, 2] . 4 4 4

???7 分

(Ⅱ)因为 f (C ) ?

2 sin( ? C ) ? 2 , 4

?

C ? (0, ) ,所以 C ? , 4 2
在 ?ABC 中,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,
2 2 2

?

?

??????9 分

即1 ? 2 ? b ? 2 2 ?
2

2 b ,解得 b ? 1 . 2

?????13 分

10.(东城 2015 一模)在△ ABC 中, b ? 2 , cos C ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin 2 A 值.

3 7 ,△ ABC 的面积为 . 4 4

17

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11. ( 顺 义 2015 一 模 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

b?3 2 , si Bn?

? 6 , B? A? . 2 3

(I)求 a 的值; (II)求 cos C 的值. 解:(I)在 ?ABC 中,因为 B ? A ? 所以 B ? A ?

?
2

, ..............2 分 .........4 分

?
2

,即

?
2

? B ?? ,

所以 sin A ? sin ? B ?

? ?

??

?? ? ? ? ? sin ? ? B ? ? ? cos B 2? ?2 ?
2

? 6? 3 ? ? ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ?
由正弦定理,

?

?

2

......5 分

a b b sin A ? ? 得a ? sin A sin B sin B

3 2? 6 3

3 3 ? 3 . ..7 分

(II)因为 B ? A ?

?
2

,即 B ? A ?

?
2

,

所以 B 为钝角, A 为锐角. 由(I)可知, sin A ?

3 , 3
2 2

? 3? 6 所以 cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? ? . ? 3 ? ? ? 3 ? ?
18

.......9 分

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李老师: 15110278993 .....10 分 ...................11 分 ...12 分

6 3 , ,cos B ? ? 3 3 所以 cos C ? cos ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? ? cos ? A ? B ?
又 sin B ?

? ? cos A cos B ? sin A sin B ?? ? 6 ? 3? 3 6 ?? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3
.........13 分

2 2 . 3

五、平面向量
1.(海淀 2015 一模)已知向量 a 与向量 b 的夹角为 60 ? , | a |?| b |? 1 ,则 a ? b ? ( D ) (A) 3 (B) 3 (C) 2 ? 3 (D) 1

2.(西城2015一模) 已知平面向量a , b满足a = (1, ? 1), (a + b) ⊥ (a ? b),那么|b| = . 答案:

3.(朝阳2015一模)在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A?1,0??, B?1, 1??,且∠BOP ??90??。设OP ??OA??kOB?k ? R?,则|OP|=

答案:B

19

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4.(石景山 2015 一模)如图,在 6 ? 6 的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量 a, b , c 满

? ? ?

足 c ? xa ? yb ,( x, y ? R) ,则 答案:

?

?

?

x = y



11 2

解析:引入坐标,由图记 c ? ? 3, 4? , a ? ?1, 2 ? , b ? ? 2, ?1?

?

?

?

11 ? x? ? ? ? ? ? 5 ∴ c ? xa ? yb 即 ? 3, 4? ? x ?1, 2? ? y ? 2, ?1? 解得 ? ?y ? 2 ? 5 ?
5. (顺义 2015 一模) 设向量 a ? ( 3,1), b ? (2, ?2) , 若 (? a ? b) ? ( a ? b) ?

?

?

? ?

? ?

, 则实数 ? ? ? 2

六、概率与统计
1.(东城 2015 一模)在区间 [0, 2] 上随机取一个实数 x ,若事件“ 3 x ? m ? 0 ”发生的概率 为

1 ,则实数 m ? (A) 6
(A) 1 (B)

1 2

(C)

1 3

( D)

1 6

2.(海淀 2015 一模)某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分 别随机抽取 100 个,并按[ 0,10], (10,20], (20,30], (30,40], (40,50]分组,得到 频率分布直方图如下:

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.
20

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(Ⅰ)写出频率分布直方图(甲)中的 a 的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)
2 2 的方差分别为 s12 , s 2 ,试比较 s12 与 s 2 的大小; (只需写出结论)

(Ⅱ)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高 于 20 箱的概率; (Ⅲ)设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数,以日销售量落入各 组的频率作为概率,求 X 的数学期望. 解: (Ⅰ) a ? 0.015 ; 2 . s12 ? s2 ??????2 分 ??????4 分

(Ⅱ)设事件 A :在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于 20 箱; 事件 B :在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于 20 箱; 事件 C :在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于 20 箱且另一 个不高于 20 箱. 则

P( A) ? 0.20 ? 0.10 ? 0.3 , P( B) ? 0.10 ? 0.20 ? 0.3 . ????6 分
所以 P(C) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.42 . (Ⅲ)由题意可知, X 的可能取值为 0,1,2,3.
0 P( X ? 0) ? C3 ? 0.30 ? 0.73 ? 0.343 , 1 P( X ? 1) ? C3 ? 0.31 ? 0.72 ? 0.441 , 2 P( X ? 2) ? C3 ? 0.32 ? 0.71 ? 0.189 , 3 P( X ? 3) ? C3 ? 0.33 ? 0.70 ? 0.027 .

??????8 分 ??????9 分

所以 X 的分布列为

X
P

0 0.343

1 0.441

2 0.189

3 0.027 ???11 分

所以 X 的数学期望 EX ? 0 ? 0.343 ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 . ???13 分 另解:由题意可知 X ~ B(3,0.3) . 所以 X 的数学期望 EX ? 3 ? 0.3 ? 0.9 . ??????13 分

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3. (西城2015一模) 2014 年12 月28 日开始, 北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具 体如下表. (不 考虑公交卡折扣情况)

已知在北京地铁四号线上, 任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元, 现从那些只乘坐四号线 地铁,且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示.

(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人,试估计此 人乘坐地铁的票价小于5 元的概率; (Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人,记X 为这2 人乘坐地铁的票价和,根据统计图,并以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元,返程时,小李乘坐某路公共电汽车 所花交通费也是5 元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里, 试写出s 的取值范围. (只需写出结论)

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4.(东城 2015 一模)某地区有 800 名学员参加交通法规考试,考试成绩的频率分布直方图 如图所示.其中成绩分组区间是: [75,80) , [80,85) , [85,90) , [90,95) , [95,100] .规 定 90 分及其以上为合格.
频率 组距

0.07 0.06

a
0.02 0.01

O

75 80 85 90 95 100

分数

23

天旭数学工作室 (Ⅰ)求图中 a 的值

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(Ⅱ)根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率; (Ⅲ)若三个人参加交通法规考试,用 X 表示这三人中考试合格的人数,求 X 的分布列与 数学期望.

5.(朝阳2015一模)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不 同程度的污损,其中,频 率分布直方图的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100), 据此解 答如下问题.

(1)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率; (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数 在[90,100]的份数为 X ,求 X 的分布列和数学望期.

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6.(丰台 2015 一模)甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定各购置一辆纯电 动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车,按续驶里程数 R(单位:公里)可分为 三类车型,A:80≤R<150,B:150≤R<250, C:R≥250.甲从 A,B,C 三类车 型中挑选,乙从 B,C 两类车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表:
概率 人 甲 乙 车型

A
1 5

B p
1 4

C q
3 4

若甲、乙都选 C 类车型的概率为 (Ⅰ)求 p , q 的值;

3 . 10

(Ⅱ)求甲、乙选择不同车型的概率; (Ⅲ)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表: 车型 补贴金额(万元/辆)

A
3

B
4

C
5

记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和 为 X,求 X 的分布列. .

25

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3 ?3 q? ? ?4 10 解: (Ⅰ)因为 ? ?p ? q ? 1 ?1 ? 5 ?
所以 p ?

2 2 ,q ? . 5 5

???????4 分

(Ⅱ)设“甲、乙选择不同车型”为事件 A, 则 P ( A) ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 .

5

5 4

5 4

5

答:所以甲、乙选择不同车型的概率是 3 .

????7 分

5
(Ⅲ)X 可能取值为 7,8,9,10.

1 1 1 P( X ? 7) ? ? ? , 5 4 20 2 1 2 3 2 P( X ? 9) ? ? ? ? ? ; 5 4 5 4 5
所以 X 的分布列为:

1 3 2 1 1 P( X ? 8) ? ? ? ? ? , 5 4 5 4 4 2 3 3 P( X ? 10) ? ? ? . 5 4 10
8 9 10

X P

7

1 20

1 4

2 5

3 10

????????13 分 7.(石景山 2015 一模)国家环境标准制定的空气质量指数(简称 AQI)与空气质量等级对 应关系如下表: 下表是由天气网获得的全国东西部各 6 个城市 2015 年 3 月某时刻实时监测到的数据: 西部城市 西安 西宁 克拉玛依 鄂尔多斯 巴彦淖尔 库尔勒 AQI 数值 108 92 37 56 61 456 东部城市 北京 金门 上海 苏州 天津 石家庄 AQI 数值 104 42

x
114 105 93

AQI 平均值:135

AQI 平均值:90

空气质量等 AQI 值范围 级

优 [0,50 )



轻度污染

中度污染 [150,200 )

重度污染 [200,300 )

严重污染 300 及以上

[50, 100) [100,150 )
26

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(Ⅰ) 求 x 的值,并根据上表中的统计数据,判断东、西部城市 AQI 数值的方差的大小关系 (只需写出结果) ; (Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取 3 个城市组织专家进行 调研,记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

答案:(Ⅰ) x ? 82 D 东部<D 西部(Ⅱ)

1 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 5 5 5
解析: (Ⅰ)x ? 82 D 东部<D 西部 (Ⅱ) “优”类城市有 2 个, “轻度污染”类城市有 4 个. 根据题意 ? 的所有可能取值为: 1, 2, 3 . ??????5 分 ?????2 分 ??????4 分

? P(? ? 1) ?

1 2 2 1 3 0 C4 C2 1 C4 C2 3 C4 C2 1 ? P ( ? ? 2) ? ? P ( ? ? 3) ? ? . , , 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

?11 分

? ? 的分布列为:

所以 E? ? 1?

1 3 1 ? 2 ? ? 3? ? 2 . 5 5 5

??????13 分

8.(顺义 2015 一模)某农民在一块耕地上种植一种作物,每年种植成本为 800 元,此作物 的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

(I)设 X 表示该农民在这块地上种植 1 年此作物的利润,求 X 的分布列; (II)若在这块地上连续 3 年种植此作物,求这 3 年中第二年的利润少于第一年的概率.

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解(I)设 A 表示事件“作物产量为 300kg” , B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” , 由题意知 P( A) ? 0.3, P( B) ? 0.6. 因为利润 ? 产量 ? 市场价格 ? 成本 所以 X 的所有可能的取值为

300 ? 6 ? 800 ? 1000,300 ?10 ? 800 ? 2200, 500 ? 6 ? 800 ? 2200,500 ?10 ? 800 ? 4200. P ( X ? 1000) ? P( A) P( B) ? 0.5 ? 0.6 ? 0.3 P ( X ? 2200) ? P( A) ? P( B ) ? P( A) ? P( B) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 P ( X ? 4200) ? P( A) ? P( B ) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2

所以 X 的分布列为

(II)这 3 年中第二年的利润少于第一年的概率为

P( X ? 2200) ? P( X ? 1000) ? P( X ? 4200) ? P( X ? 1000) ? P( X ? 4200) ? P( X ? 2200) ? 0.31.

七、不等式
? x ? y ? 0, ? 1.(海淀 2015 一模)若 x, y 满足 ? x ? 1, 则下列不等式恒成立的是( D ? x ? y ? 0, ?
(A) y ? 1 (C) x ? 2 y ? 2 ? 0 (B) x ? 2 (D) 2 x ? y ? 1 ? 0 )

2.(西城2015一模) 已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元,而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之 和小于20 元,那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( ) A.2 枝玫瑰的价格高 B.3 枝康乃馨的价格高 C.价格相同 D.不确定 答案:D 解析: 设玫瑰价格为x, 康乃馨的价格为y, 则根据题意有:

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(东城 2015 一模)已知函数 f ( x) 是 R 上的减函数,且 y ? f ( x ? 2) 的图象关于点 (2, 0) 成 中 心 对 称 . 若 u, v 满 足 不 等 式 组 ?

? f (u) ? f (v ? 1) ? 0, 2 2 则 u ?v 的最小值为 f ( u ? v ? 1) ? 0, ?

1 .2

3.(朝阳 2015 一模)设 z = 3x + y,实数 x,y 满足 的最大值为 5,则实数 t 的值为 _ 此时z 的最小值为_____。 答案:2;-1

其中 t > 0,若 z

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? y ? 1, ? 4.(石景山 2015 一模)设不等式组 ? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
取一点 M,则点 M 落在圆 x 2 ? y 2 ? 1 内的概率为___________.

答案:

? 8

解析:作出区域 D:

易知落在圆内的概率为

? 8

?kx ? y ? 4 ?2 y ? x ? 4 ? 5.(顺义 2015 一模).若 x, y 满足 ? 且 z ? 5 y ? x 的最小值为 ?8 ,则 k 的值为 B , x ? 0 ? ? ?y ? 0
A. ? 1 2 B. 1 2
C. ? 2 D.2

x y 6.(顺义 2015 一模)若 4 ? 4 ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是 D

A.[0,1]

B.[?1, 0]

C.[?1, ??)

D.(??, ?1]

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八、立体几何
1.(海淀 2015 一模)某三棱锥的正视图如图 所示, 则这个三棱锥的俯视图不可能 是 ( C ) ...

正视图

(A)

(B)

(C)

(D)

2.(西城 2015 一模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是 ( )

答案:A 解析:几何体为正方体切去右后上方的一个角之后得到的几何体.

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3.(东城 2015 一模)一个几何体的三视图如图所示,图中直角三角形的直角边长均为 1 , 则该几何体体积为(A) (A)

1 6

(B)

2 6 3 6
1 2

正 (主) 视图

侧(左)视图

(C)

(D)

俯视图

4.(丰台 2015 一模)上图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大 值是 D (A) 4 (B) 5 (C) 3 2 (D) 3 3

3

3
正视图

1

3
侧视图

俯视图

5.(石景山 2015 一模)在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标 分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个 图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

x

. 1. .y . 1 . O 1 2 2.
2 A.①和② B.③和① C.③和④ D.④和②

z

答案:D

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解析:根据题意作出直观图: 分别是④和②

∴三视图的正视图与俯视图

6.(朝阳2015一模)将体积为1 的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体,第二 次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体,如此下去,共进行了n(n ∈N* )次,则第一次挖去的几何体的体积是______;这n 次共挖去的所有几何体的体 积和是_____。 答案:

7.(西城2015一模)如图,四面体 ABCD的一条棱长为 x,其余棱长均为 1,记四面体 ABCD 的体积为F?x?,则函数F?x?的单调增区间是 ;最大值为 .

答案:

33

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8. ( 海 淀 2015 一 模 ) 如 图 1 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , AD ? BC, AD ? DC ,

BC ? 2 AD ? 2 DC ,四边形 ABEF 是正方形 . 将正方形 ABEF 沿 AB 折起到四边 形
ABE1F1 的位置,使平面 ABE1F1 ? 平面 ABCD , M 为 AF1 的中点,如图 2.
(Ⅰ)求证: BE1 ? DC ; (Ⅱ)求 BM 与平面 CE1M 所成角的正弦值; (Ⅲ)判断直线 DM 与 CE1 的位置关系,并说明理由.
C B F1 E1

D

A

E C D A

M B

图1

F

图2

证明: (Ⅰ)证明:因为 四边形 ABE1 F 1 为正方形, 所以 BE1 ? AB . 因为 平面 ABCD ? 平面 ABE 1F 1 ,平面 ABCD ? 平面 ABE 1F 1 ? AB ,

BE1 ? 平面 ABE1F1 ,
所以 BE1 ? 平面 ABCD . ??????2 分

34

天旭数学工作室 因为 DC ? 平面 ABCD , 所以 BE1 ? DC . ??????4 分 (Ⅱ)解:如图,以点 B 为坐标原点,分别以 BC, BE1 所 在的直线为 x, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系

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z E1 F1

B ? xyz .
设 AD ? 1 ,则

C x D A

M B

B(0, 0, 0), C (2, 0, 0), E1 (0, 0, 2), M (1,1,
???? ?

2 ). 2

y

所以 BM ? (1,1,

???? ? ????? ? 2 2 ) , CE1 ? (?2, 0, 2) , E1 M ? (1,1, ? ) . ???6 分 2 2
?

设平面 CE1 M 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) .

? ???? ? ??2 x ? 2 z ? 0, ? n ? CE ? ? 1 ? 0, 由 ? ? ????? 得? ? 2 z ? 0. ? ?n ? E1 M ? 0, ? x ? y ? ? 2 ? 令 x ? 1 ,得 z ? 2, y ? 0 ,所以 n ? (1, 0, 2) .
设 BM 与平面 CE1 M 所成角为 ? ,

?????8 分

???? ? ? ???? ? ? BM ? n 1 ? 0 ? 1 2 30 则 sin ? ? cos ? BM , n ? ? ???? . ? ? ? ? 15 5 BM n ? 3 2
所以

BM 与平面 CE1 M 所成角的正弦值为

2 30 . 15

???10 分

(Ⅲ)解:直线 DM 与直线 CE1 平行. 理由如下: 由题意得, D(2,1, 0), DM ? (?1, 0, 所以 CE1 ? 2DM . 所以 CE1 / / DM . 因为 DM , CE1 不重合,
35

????11 分

???? ?

? 2 ???? ), CE1 ? (?2, 0, 2) . 2

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

??????13 分

天旭数学工作室 所以 DM / / CE1 . 另解:直线 DM 与直线 CE1 平行. 理由如下: 取 BC 的中点 P , CE1 的中点 Q ,连接 AP , PQ , QM . 所以 PQ / / BE1 且 PQ ?

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1 BE1 . 2

因为 M 为 AF1 的中点,四边形 ABE1 F 1 是正方形, 所以 AM / / BE1 且 AM ?

1 BE1 . 2
E1 F1 Q M P D A B

所以 PQ / / AM 且 PQ ? AM . 所以 APQM 为平行四边形. 所以 MQ / / AP 且 MQ ? AP . 因为 四边形 ABCD 为梯形, BC ? 2 AD , 所以 AD / / PC 且 AD ? PC . 所以 四边形 APCD 为平行四边形. 所以 CD / / AP 且 CD ? AP . 所以 CD / / MQ 且 CD ? MQ . 所以 CDMQ 是平行四边形. 所以 DM / / CQ ,即 DM / / CE1 . ??????14 分

C

9.(西城 2015 一模)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,EF ∥AD ,平面 ADEF ⊥ 平面 ABCD,且BC = 2EF , AE = AF ,点G 是EF 的中点。 (1)证明: AG ⊥平面ABCD 。 (2)若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为

6 ,求AG 的长。 9

(3)判断线段AC 上是否存在一点M ,使MG∥平面ABF ?若存在,求出 AM 的值;若不存

MC
在,说明理由。

36

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37

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10. (东城 2015 一模)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AB ? BC ,

AB ? PA ? BC ? 2 . D, E 分别为 AB, AC 的中点,过 DE 的平面与 PB, PC 相交于点

M , N ( M 与 P, B 不重合, N 与 P, C 不重合).
(Ⅰ)求证: MN ∥ BC ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 PBC 所成角的大小; (Ⅲ)若直线 EM 与直线 AP 所成角的余弦值 求 MC 的长.

P N M

3 14 时, 14

A D

E B

C

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11.(朝阳2015一模)如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在平面互相垂直,已知 AB∥CD, AD⊥CD,

AB = AD =

1 CD. 2

(1)求证: BF ∥平面CDE ; (2)求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值; (3)线段EC 上是否存在点M ,使得平面BDM ⊥平面BDF ?若存在,求出 存在, 说明理由.

EM 的值;若不 EC

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12.(丰台 2015 一模)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 平面 ABCD , PA // BE ,AB=PA=4,BE=2. (Ⅰ)求证: CE //平面 PAD ; P (Ⅱ)求 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 AB 上是否存在一点 F ,使得 平面 DEF ? 平面 PCE ?如果存在,求 如果不存在,说明理由.

AF 的值; AB

E

A

D

B
解: (Ⅰ)设 PA 中点为 G,连结 EG , DG . 因为 PA // BE ,且 PA ? 4 , BE ? 2 , 所以 BE // AG 且 BE ? AG , 所以四边形 BEGA 为平行四边形. 所以 EG // AB ,且 EG ? AB . E 因为正方形 ABCD ,所以 CD // AB ,CD ? AB , 所以 EG // CD ,且 EG ? CD . 所以四边形 CDGE 为平行四边形. B 所以 CE // DG . 因为 DG ? 平面 PAD , CE ? 平面 PAD , z 所以 CE //平面 PAD . ???????? 4 P (Ⅱ)如图建立空间坐标系,则 B (4,0,0) , C (4, 4,0) ,

P

C

G

A

D

C



E (4,0, 2) , P(0,0, 4) , D(0,4,0) ,
所以 PC ? (4,4, ?4) , PE ? (4,0, ?2) ,

??? ?

??? ?

??? ? PD ? (0,4, ?4) .
设 平 面 P C E 的 一 个 法 向 量 为

E

A

D y

B x

C

41

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?? m ? ( x, y, z) ,
?? ??? ? ? ?m ? PC ? 0 ? x ? y ? z ? 0 所以 ? ?? ??? . ?? ? ? ? m ? PE ? 0 ? 2 x ? z ? 0
?x ?1 ?? ? 令 x ? 1 ,则 ? y ? 1 ,所以 m ? (1,1, 2) . ?z ? 2 ?
设 PD 与平面 PCE 所成角为 ? ,

?? ??? ? ?? ??? ? m ? PD ? ?? ? 则 sin ? ? cos ? m, PD ? ? ??? PD m

?4 3 ? . 6 6 ?4 2

所以 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值是

3 . 6

???9 分

(Ⅲ)依题意,可设 F (a,0,0) ,则 FE ? (4 ? a,0, 2) , DE ? (4, ?4,2) . 设平面 DEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

??? ?

??? ?

?

? ???? ? ?n ? DE ? 0 ? 2 x ? 2 y ? z ? 0 ?? 则 ? ? ??? . ? (4 ? a ) x ? 2 z ? 0 n ? FE ? 0 ? ? ?

z P

? x?2 ? a ? 令 x ? 2 ,则 ? y ? , 2 ? ? ?z ? a ? 4
a 所以 n ? ( 2, , a ? 4) . 2 因为平面 DEF ? 平面 PCE , ?? ? a 所以 m ? n ? 0 ,即 2 ? ? 2a ? 8 ? 0 , 2 12 12 ? 4 , 点 F ( , 0, 0) . 所以 a ? 5 5 AF 3 ? . 所以 ?????14 分 AB 5

E

A

D y

F B x C

42

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13.(石景山 2015 一模)如图,多面体 ABCDEF 中,平面 ADEF⊥平面 ABCD,正方形 ADEF 的 边长为 2,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4. E (Ⅰ)求证:BC⊥平面 BDE; (Ⅱ)试在平面 CDE 上确定点 P,使点 P 到 直线 DC、DE 的距离相等,且 AP 与平面 BEF 所成的角等于 30°. 答案:(Ⅰ)略 (Ⅱ) P(0, A D B C F

6 6 6 6 , ) 或 P(0, ? ,? ). 3 3 3 3

解析: (Ⅰ)证明:因为平面 ABEF ? 平面 ABCD,ED ? AB. 所以 ED ? 平面 ABCD 又因为 BC ? 平面 ABCD,所以 ED ? BC. 在直角梯形 ABCD 中,由已知可得 ??????1 分 ??????2 分

BC2=8,BD2=8,CD2=16,所以,CD 2=BC2+BD2 ,所以,BD ? BC
又因为 ED ? BD=D,所以 BC ? 平面 BDE. (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系 D ? xyz 则 D ? 0,0,0? A? 2,0,0? , E ?0,0,2? , B ? 2,2,0? , F ? 2,0,2? z E ????7 分 F D x A

?????4 分 ?????5 分 ??6 分

??? ? ??? ? EF ? ? 2,0,0? , EB ? ? 2,2, ?2 ?
设 P ? 0, y, z ? ,则 y ? z

? 令 n ? ? x?, y?, z?? 是平面 BEF 的一个法向量,
? ??? ? ? ?n ? EF ? 0 则 ? ? ??? ? ?n ? Eb ? 0

C y B

? x? ? 0 ? ? 2 x? ? 0 ? 所以 ? ,令 y ? ? 1 ,得 ? y ? ? 1 所以 n ? ? 0,1,1? ? 2 x? ? 2 y ? ? 2 z ? ? 0 ? z? ? 1 ?
因为 AP 与平面 BEF 所成的角等于 30 , 所以 AP 与 n ? (0,1,1) 所成的角为 60 或 120
? ?

????9 分

?

?

??? ? ? AP ? n ??? ? ? y?z 1 所以 cos ? AP, n ? ? ??? ? ? ? ? AP ? n 4 ? y2 ? z2 ? 2 2
43

???11 分

天旭数学工作室 所以 y 2 ? z 2 ? 4 yz ? 4 ? 0???(*) 又因为 y ? z ,所以 y

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? z 或 y ? ?z

???12 分

当 y ? ? z 时, (*)式无解 当y

? z 时,解得: y ? z ? ?

6 3

???13 分

所以, P(0,

6 6 6 6 , ) 或 P(0, ? ,? ). 3 3 3 3

???14 分

14. (顺义 2015 一模) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形,AD // BC ,

AD ? DC ,平面 PAD ? 底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 的中点,
PA ? PD ? 2, BC ? 1 AD ? 1, CD ? 3. 2

(I)求证: PQ ? AB ; (II)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (III)求二面角 P ? QB ? M 的余弦值.

(I)证明:在 ?PAD 中, PA ? PD, Q 为 AD 中点. 所以 PQ ? AD .......1 分

因为平面 PAD ? 底面 ABCD ,且平面 PAD ? 底面 ABCD ? AD 所以 PQ ? 底面 ABCD 又 AB ? 平面 ABCD 所以 PQ ? AB . (II)解:在直角梯形 ABCD 中, AD // BC , BC ? 所以 所以四边形 BCDQ 为平行四边形 因为 AD ? DC
44

...........3 分

.........4 分

1 AD, Q 为 AD 中点 2

天旭数学工作室 所以 AD ? QB 由(I)可知 PQ ? 平面 ABCD 所以,以 Q 为坐标原点,建立空间直角坐标系, Q ? xyz. 如图.

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则 Q(0,0,0), A(1,0,0), P(0,0, 3), C(?1, 3,0),

D(?1,0,0), B(0, 3,0).
所以 PB ? (0, 3, ? 3), CD ? (0, ? 3,0), PD ? (?1,0, ? 3) 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z), 则

uur

uuu r
?

uuu r

..........6 分

? ??? ? ? ? ? ?n ? CD ? 0 ?? 3 y ? 0 ?y ? 0 , 亦即 ? ,即? ? ? ? ??? ? ? ? ? x ? ? 3z ?? x ? 3z ? 0 ?n ? PD ? 0 ? 令 z ? 1 ,得 x ? ? 3, y ? 0. 所以 n ? (? 3,0,1)
设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ? ,则

............8 分

? ??? ? ? ??? ? n ? PB 2 ? ? sin ? ?| cos ? n, PB ?|? ? ??? . 4 | n || PB |

所以 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为

2 . 4

............10 分

(III)解:如(II)中建立空间直角坐标系 因为 AQ ? PQ, AQ ? BQ 所以 AQ ? 平面 PQB 即 QA 为平面 PQB 的法向量,且 QA ? (1,0,0). 因为 M 是棱 PC 的中点
45

??? ?

??? ?

.........11 分

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所以点 M 的坐标为 (? 又 QB ? (0, 3,0)

1 3 3 , , ) 2 2 2

??? ?

设平面 MQB 的法向量为 m ? ( x, y, z ).

??

?? ??? ? ? m ? QB ?0 ? 则 ? ?? ???? ? ? ? m ? QM ? 0
? 3y ? 0 ? 即? 1 3 3 y? z?0 ?? x ? ? 2 2 2
令 z ? 1, 得 x ? 3, y ? 0 所以 m ? ( 3,0,1)

??

.....................13 分

??? ? ?? ??? ? ?? OA ? m 3 ? 所以 cos ? QA, m ?? ??? ? | OA || m | 2
由题知,二面角 P ? QB ? M 为锐角

所以二面角 P ? QB ? M 的余弦值为

3 ................14 分 2

九、解析几何
x2 y 2 1.(丰台 2015 一模)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x , a b
它的一个焦点坐标为(2,0) ,则双曲线的方程为 C (A)

x2 y 2 ? ?1 2 6

(B)

x2 y 2 ? ?1 6 2

(C) x ?
2

y2 ?1 3

(D)

x2 ? y2 ? 1 3

2.(朝阳2015一模)已知点A(1,y0 )( y 0> 0) 为抛物线 y = 2px( p > 0)上一点.若点 A到该抛物线焦点的距离为 3,则y 0 = A. 2 答案:C B. 2 C.2 2 D. 4

2

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【解析】:抛物线焦点为:

它们的距离为

3.(海淀 2015 一模)抛物线 x 2 =4 y 上的点到其焦点的最短距离为(C (A)4 (B)2 (C)1

) (D)

1 2

4.(西城2015一模)已知双曲线

x2 y 2 - 2 ? 1? a ? 0,b ? ? ? 的一个焦点是抛物线 y2 = 8x 2 a b
.

的焦点,且双曲线C 的离心率为2,那么双曲线C 的方程为 答案:

5.(顺义 2015 一模)若双曲线

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 的离心率为 ,则其渐近线方程为 C 2 a b 2
C. y ? ? 1 x 2 D. ? 1 x 4

A. y ? ?2 x

B. y ? ?4 x

x2 y 2 6.(东城 2015 一模)已知 F1 , F2 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为椭 a b
圆上一点, 且 PF2 垂直于 x 轴. 若 | FF 2 | P F |2 12 | ? 7.(石景山 2015 一模)如果双曲线的离心率 e ? 以下几个命题: ①双曲线

, 则该椭圆的离心率为

5 ?1 . 2

5 ?1 ,则称此双曲线为黄金双曲线.有 2

x2 y2 2 x2 ? ? 1 是黄金双曲线; ②双曲线 y 2 ? ? 1 是黄金双曲线; 2 5 ?1 5 ?1
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③在双曲线

x2 y2 ? ? 1 中, F1 为左焦点, A2 为右顶点, B1(0,b) ,若∠F1 B1 A2 ? 90? , a 2 b2

则该双曲线是黄金双曲线; ④在双曲线

x2 y2 ? ? 1 中,过焦点 F2 作实轴的垂线交双曲线于 M、N 两点,O 为坐标原点, a 2 b2

若∠MON ? 120? ,则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为( A.①和② 答案:B 解析:如果双曲线的离心率 e ? 断①错误,②正确,故选 B ) C.③和④ D.①和④

B.②和③

5 ?1 a 2 ? b2 5 ? 1 b2 5 ?1 ? ? 2? 2 ,则有 a 2 a 2 由此判

(在④中,可知 M 坐标为

?

c, 3c

?

c 2 3c 2 b2 5 ?1 ? ? 1 ? 2 2 2 b 2 故错误) ,即 a 计算可知 a

6 x2 y 2 8.(海淀 2015 一模)已知椭圆 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0, ?1) ,且离心率 e ? . 3 a b
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)是否存在菱形 ABCD ,同时满足下列三个条件: ①点 A 在直线 y ? 2 上; ②点 B , C , D 在椭圆 M 上; ③直线 BD 的斜率等于 1. 如果存在,求出 A 点坐标;如果不存在,说明理由.

?b ? 1, ? 6 ?c , 解: (Ⅰ)由题意得: ? ? 3 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?
解得: ?
2 ? ? a ? 3, 2 ? ?b ? 1.

??????3 分

x2 ? y 2 ? 1. 所以 椭圆 M 的方程为 3
(Ⅱ)不存在满足题意的菱形 ABCD ,理由如下:

??????4 分 ??????5 分

48

天旭数学工作室 假设存在满足题意的菱形 ABCD .

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设直线 BD 的方程为 y ? x ? m , B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,线段 BD 的中点 Q( x0 , y0 ) , 点 A(t , 2) . ??????6 分

? x 2 ? 3 y 2 ? 3, 由? 得 4 y 2 ? 2my ? m2 ? 3 ? 0 . ?y ? x ? m
2 由 ? ? ? 2m ? ? 16 m ? 3 ? 0 ,解得 ?2 ? m ? 2 . 2

??????8 分

?

?

??????9 分

m , 2 y ? y2 m ? . 所以 y0 ? 1 2 4
因为 y1 ? y2 ? 因为 四边形 ABCD 为菱形, 所以 Q 是 AC 的中点. 所以 C 点的纵坐标 yC ? 2 y0 ? 2 ? 因为 点 C 在椭圆 M 上, 所以 yC ? ?1 .这与 yC ? ?1 矛盾. 所以 不存在满足题意的菱形 ABCD .

??????11 分

m ? 2 ? ?1 . 2

??????12 分

??????13 分

9.(西城 2015 一模)设 F

1

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? ? ? 2 b ,F 2 分别为椭圆 a 的左、右焦点,点 P

3 (1, 2 ) 在椭圆 E 上,且点
P 和F1 关于点C(0,

3 ) 对称。 4

(1)求椭圆E 的方程; (2)过右焦点F2 的直线l与椭圆相交于 A,B两点,过点P且平行于 AB 的直线与椭圆交于 另一点Q ,问是否存在直线l ,使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l 的方 程;若不存在,说明理由。

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10.(东城 2015 一模)在平面直角坐标系中 xOy 中,动点 E 到定点 (1, 0) 的距离与它到直线

x ? ?1 的距离相等.
(Ⅰ)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? b 与曲线 C 相切于点 P ,与直线 x ? ?1 相交于点 Q . 证明:以 PQ 为直径的圆恒过 x 轴上某定点.

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11.(朝阳2015一模)已知椭圆C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? ? ? 的一个焦点为F(2,0),离心率为 a 2 b2

6 。 3
过焦点F 的直线l 与椭圆C交于 A,B两点,线段 AB中点为D,O为坐标原点,过O,D的直线 交椭圆于M,N 两点。 (1)求椭圆C 的方程; (2)求四边形AMBN 面积的最大值。

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3 x2 y 2 12.(丰台 2015 一模)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右顶点 A 是 a b 2
抛物线 y 2 ? 8x 的焦点.直线 l : y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如果 AM ? AP ? AQ ,点 M 关于直线 l 的对称点 N 在 y 轴上,求 k 的值.

???? ?

??? ? ????

解: (Ⅰ)抛物线 y 2 ? 8x , 所以焦点坐标为 (2, 0) ,即 A(2, 0) , 所以 a ? 2 . 又因为 e ?
2

c 3 ? ,所以 c ? 3 . a 2
2 2

所以 b ? a ? c ? 1 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. ??????4 分 4

(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,因为 AM ? AP ? AQ , A(2, 0) , 所以 AP ? ( x1 ? 2, y1 ) , AQ ? ( x2 ? 2, y2 ) , 所以 AM ? AP ? AQ ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 +y2 ) , 所以 M ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? .

???? ?

??? ? ????

??? ?

??? ?

???? ?

??? ? ??? ?

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 由? 4 ,得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 (判别式 ? ? 0 ) , ? y ? k ( x ? 1) ?
得 x1 ? x2 ? 2 ? 即M(

?2k 8k 2 ?2 ?2? 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , 2 4k 2 +1 4k ? 1 4k ? 1

?2 ?2 k , 2 ). 2 4k ? 1 4k ? 1

设 N (0, y3 ) , 则 MN 中点坐标为 ( 因为 M , N 关于直线 l 对称, 所以 MN 的中点在直线 l 上, 所以

y ?1 ?k , 2 ? 3), 2 4k ? 1 4k ? 1 2

?k y ?1 ? 3 ? k( 2 ? 1) ,解得 y3 ? ?2k ,即 N (0, ?2k ) . 2 4k ? 1 2 4k ? 1
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由于 M , N 关于直线 l 对称,所以 M , N 所在直线与直线 l 垂直,

?2k ? (?2k ) 2 2 4 k ? 1 ? k ? ?1 ,解得 k ? ? 所以 . ?2 2 ?0 4k 2 ? 1
13. (石景山 2015 一模) 已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 如图,椭圆左顶点为 A,过原点 O 的直线(与坐标 轴不重合)与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 PA,QA 分别 与 y 轴交于 M,N 两点.试问以 MN 为直径的圆是否经过 定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.

?14 分

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 离心率 e ? , 短轴长为 2 2 . 2 2 a b
y P M A O x

Q N

答案:(Ⅰ)

x2 y 2 ? ? 1 (Ⅱ) 经过定点 F (? 2,0) 4 2
2,
?????1 分

解析: (Ⅰ)由短轴长为 2 2 ,得 b ?

c a 2 ? b2 2 2 2 ? 由e ? ? ,得 a ? 4, b ? 2 . a a 2
∴椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

??????4 分

(Ⅱ)以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) . 证明如下:设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,且

??????5 分
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,即 x0 ? 2 y0 ? 4, 4 2

∵ A(?2, 0) ,∴直线 PA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ M (0, ) ?????6 分 x0 ? 2 x0 ? 2
??????7 分

直线 QA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ N (0, ), x0 ? 2 x0 ? 2

以 MN 为直径的圆为 ( x ? 0)( x ? 0) ? ( y ?

2 y0 2 y0 )( y ? )?0 x0 ? 2 x0 ? 2

??????10 分

【或通过求得圆心 O?(0,

2 x0 y0 4y ) , r ?| 2 0 | 得到圆的方程】 2 x0 ? 4 x0 ? 4
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即x ?y ?
2 2

4 x0 y0 4 y02 y ? ?0, x02 ? 4 x02 ? 4
2 2

2 2 ∵ x0 ? 4 ? ?2 y0 ,∴ x ? y ?

2 x0 y?2?0, y0

??????12 分

令 y ? 0 ,则 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ? 2 .
2

∴以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) . 14.(顺义 2015 一模)已知椭圆 C: 3x2 ? 4 y 2 ? 12. (I)求椭圆 C 的离心率;

????14 分

(II) 设椭圆 C 上在第二象限的点 P 的横坐标为 ?1 , 过点 P 的直线 l1 , l2 与椭圆 C 的另一交 点分别为 A, B . 且 l1 , l2 的斜率互为相反数, A, B 两点关于坐标原点 O 的对称点分别为

M , N ,求四边形 ABMN 的面积的最大值.
解: (I)由题意,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

2 2 2 所以 a2 ? 4, b2 ? 3, 从而 c ? a ? b ? 1.

因此, a ? 2, c ? 1. 故椭圆 C 的离心率 e ?

c 1 ? . a 2
3 2

...........4 分

(II)由题意可知,点 P 的坐标为 ( ?1, ). 设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) ?

3 3 . 则 l2 的方程为 y ? ? k ( x ? 1) ? . ...........5 分 2 2

3 ? ? y ? k ( x ? 1) ? 由? 2 ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ?

得 (4k 2 ? 3) x2 ? (8k 2 ? 12k ) x ? 4k 2 ? 12k ? 3 ? 0.

由于 x ? ?1 是此方程的一个解. 所以此方程的另一解 xA ? ?

4k 2 ? 12k ? 3 4k 2 ? 3
.......7 分

同理 xB ? ?

4k 2 ? 12k ? 3 4k 2 ? 3

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故直线 AB 的斜率为 k AB ?

yB ? y A ? xB ? x A

?k ( xB ? 1) ?

3 3 ? k ( x A ? 1) ? 2 2 xB ? x A

?

?k (

?8k 2 ? 6 ? 2) 1 4k 2 ? 3 ?? . 24k 2 2 4k ? 3

............9 分

设直线 AB 的方程为 y ? ?

1 x ? m. 2

1 ? ?y ? ? x ? m 由? 2 ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ?
所以 | AB |? 1 ? (? )

2 2 得 x ? mx ? m ? 3 ? 0

1 2

2

m2 ? 4(m2 ? 3) ?
2|m| . 5

15 4 ? m2 2

又原点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

所以 ?OAB 的面积 S?OAB ?

1 15 2| m| 3 ? 4 ? m2 ? ? m2 (4 ? m2 ) 2 2 2 5

?

3 m2 ? (4 ? m2 ) ? ? 3. 2 2

2 2 2 当且仅当 m ? 4 ? m ,即 m ? 2, m ? ?2 时.

?OAB 的面积达到最大.且最大值为 3 .
由题意可知,四边形 ABMN 为平行四边形, 所以,四边形 ABMN 的面积 S ? 4S?OAB ? 4 3 , 故四边形 ABMN 面积的最大值为 4 3 .

................13 分

............14 分

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十、数列
1.(朝阳2015一模)设n S 为等差数列 项公式 答案: =____。 的前n 项和。若 ,则通

2.(丰台 2015 一模)在等比数列 {an } 中, a3 ? a4 ? 4 , a2 ? 2 ,则公比 q 等于 B (A) -2 (B) 1 或-2 (C) 1 (D)1 或 2

3.(海淀 2015 一模)已知 m, 4, n 是等差数列,那么 ( 2)m ? ( 2)n =______; mn 的最大值 为______. 16,16 4. (西城2015一模) 若数列?an?满足a1 ??? 2, 且对于任意的m, n ? N*, 都有 a ?, 则 a ?? 3 ; .

m? n

? am ? an

数列?? an??? 前10 项的和S10 ?? 答案:682

5.(东城 2015 一模)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 8 , S4 ? 12 ,则 {an } 的公 差d ? .-1

6.(石景山 2015 一模)等差数列 ?an ? 中, am ? 和为( )

1 1 , ak ? (m ? k ) ,则该数列前 mk 项之 k m

A.

mk ?1 2

B.

mk 2

C.

mk ? 1 2

D.

mk ?1 2

答案:C 解析:在等差数列中 am ? ak ? ? m ? k ? d ? d ?

1 1 , a1 ? km km

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所以 Smk ? a1 ? mk ?

mk ? mk ? 1? 1 mk ? 1 ? ? 2 mk 2

7. (顺义 2015 一模) 已知无穷数列 {an } 满足:a1 ? ?10, an?1 ? an ? 2(n ? N ? ) .则数列 {an } 的前 n 项和的最小值为 -30

十一、算法、复数
1.(丰台 2015 一模)当 n=5 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是 C (A) 7 (B)10 (C) 11 (D) 16

2. ( 海 淀 2015 一 模 ) 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 输 出 的 i 值 为 ___ 4
开始

i = 1, S = 0

S = S + lg i i=i+1 否

S ?1
是 输出 i

结束

___.

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3.(西城2015一模)执行如图所示的程序框图, 若输入的x 的值为3, 则输出的n 的值为( )

A.4 B.5 C.6 D.7 答案:B 解析:根据程序循环可知,注意程序跳出的位置即可. 4.(朝阳2015一模)某商场每天上午10 点开门,晚上 19 点停止进入.在如图所示的框图 中,t表示整点时刻,a(t )表示时间段[t-1,t)内进入商场人次,S 表示某天某整点时刻前 进入商场人次总和,为了统计某天进入商场的总人次数,则判断框内可以填

A.t≤17?

B.t≥19?

C.t≥18?

D.t≤18?
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答案:D 【解析】:当t=18时,判断为是,进入循环,t=t+1,则变为19,将18点到19点的人数统 计完成,当t=19时,判断为否,输出S,D选项符合要求. 5. ( 石 景 山 2015 一 模 ) 执 行 如 右 图 的 程 序 框 图 , 若 输 出 的 S ? 48 ,
开始

输入k

n ? 1, s ? 1

n?k




n ? n?3 s ? 2s ? n

输出 s

结束 ) C. 8 D. 10

则输入 k 的值可以为 ( A. 4 答案:C B. 6

解析:此程序计算过程如下表所示

步骤 开始 第1步 第2步 第3步

s 1 6 19 48

n 1 4 7 10

6.(顺义 2015 一模)当 n ? 5 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 D

A.2

B.4

C .7

D.11

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7.(顺义 2015 一模)在复平面内,复数 (1 ? 2i)2 对应的点位于 B 2. A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

8.(丰台 2015 一模)在复平面内,复数 (A) (1, ?1)

7?i 对应的点的坐标为 A 3 ? 4i 17 (B) (?1,1) (C) ( , ?1) 25
=_______。

(D) (

17 , ?1) 5

9.(朝阳2015一模)i 为虚数单位,计算

答案:

10.(石景山 2015 一模)z ? 1 ? i , z 为复数 z 的共轭复数, 则 z ? z ? z ?1 ? ___________. 答案: 1 ? 2 解析: z ? 1 ? i, z ? 1 ? i, z ? z ? z ? z ? 2 10.(海淀 2015 一模)已知
2 2

所以 z ? z ? z ?1 ? 1 ? 2 . 2

ai ? ?1 ? i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a = 1? i

11.(西城2015一模)复数z 满足z ? i = 3 ? i,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:C 解析: 于第三象限. 12.(东城 2015 一模)已知复数 (A) ?2 ,所以对应点为(-1,-3),所以位

a?i 为纯虚数,那么实数 a ? (D) 2?i
1 2
(C) 2 (D)

(B) ?

1 2

十二、排列组合
1.(海淀 2015 一模)社区主任要为小红等 4 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排 成一排,小红必须与 2 位老人都相邻,且两位老人不排在两端,则不同的排法种数是 . (用数字作答) 24 2.(西城 2015 一模)某种产品的加工需要 A, B, C , D, E 五道工艺,其中 A 必须在 D 的
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前面完成(不一定相邻) ,其它工艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间, B 与 C 必须相邻,那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种. (用数字 作答) 答案:13

3.(朝阳2015一模)已知有身穿两种不同队服的球迷各三人,现将这六人排成一排照相,要 求身穿同一种队服的球迷均不能相邻,则不同的排法种数为_____(用数字作答) 。 答案:72

4.(东城 2015 一模)某学校开设“蓝天工程博览课程” ,组织 6 个年级的学生外出参观包括 甲博物馆在内的 6 个博物馆, 每个年级任选一个博物馆参观, 则有且只有两个年级选择 甲博物馆的方案有(D)
2 4 (A) A6 种 ? A5 2 2 4 (B) A6 种 ? 54 种 (C) C6 ? A5 2 (D) C6 ? 54 种

5. (石景山 2015 一模) 若甲乙两人从 6 门课程中各选修 3 门, 则甲乙所选的课程中恰有 2 门 相同的选法 有 180 种(用数字作答) . .. 答案:
2 2 解析: C6 ? A4 ? 180

6.(顺义 2015 一模)如果在一周内(周一至周日)安排四所学校的学生参观顺义啤酒厂, 每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的 安排方法有 __________种(用数字作答).360 7.(丰台 2015 一模)已知二项式 ( x ? 展开式中的常数项是____. 4,24 8.(石景山 2015 一模)二项式 (2 x ? A. 240 答案:A 解析:二项式 (2 x ? B. 60 C. 192

2 n ) 的展开式中各项二项式系数和是 16,则 n=____, x


1 6 ) 的展开式中,常数项的值是( x2
D. 180

1 6 6? r ? 1 ? 6? r ) 的展开式通项为 Tr ?1 ? C6 2 x ? ? ? 2 ? 当 r ? 2 时常数项为 ? 2 x ?x ?
62

r

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十三、选修四
1.(海淀 2015 一模)圆 ? )

? ? x ? ?1 ? 2 cos ?, ? ? y ? 1 ? 2 sin ?

( ? 为参数)被直线 y ? 0 截得的劣弧长为( A

(A)

2π 2

(B) π

(C) 2 2π

(D) 4 π

2.(西城2015一模)在极坐标系中,曲线ρ = 2cosθ 是( ) A.过极点的直线 B.半径为2 的圆 C.半于极点对称的图形 D.关于极轴对称的图形 答案:D 解析: 所以图象为圆心为(1,0) ,半径为1的圆,所以选D. 3.(东城 2015 一模)已知点 M 的极坐标为 (5, (D) (A) (?

2? ) ,那么将点 M 的极坐标化成直角坐标为 3

5 3 5 ,? ) 2 2

(B) (?

5 3 5 , ) 2 2 5 5 3 ) 2 2

(C) ( ,

5 5 3 ) 2 2

(D) (? ,

4.(朝阳2015一模)在极坐标系中,设ρ > 0,0≤θ < 2π ,曲线 ρ =2 与曲线 ρ sin θ =2 交点的极坐标为___。 答案:

5.(丰台 2015 一模)在极坐标系中,曲线 ? ? 6? cos? ? 2? sin ? ? 6 ? 0 与极轴交于 A,
2

B 两点,则 A,B 两点间的距离等于 B
(A)

3

(B) 2 3

(C) 2 15

(D) 4

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李老师: 15110278993 )

6.(石景山 2015 一模)在极坐标系中,圆 ? ? 2 被直线 ? sin ? ? 1 截得的弦长为( A. 3 答案:C B. 2 C. 2 3 D. 3

解析:如图所示:

易知弦长为 2 3

7.(顺义 2015 一模)已知圆的极坐标方程为 ? ? 6sin ? ,圆心为 M ,点 N 的极坐标为

(6, ) ,则 | MN |? 3 3 6
8.(石景山2015一模)如图,AB是半径等于3的圆O的直径,CD是圆O的弦,BA、DC 的延长线 D

?

C A P 若PA =4,PC =5,则∠CBD= ___________.

B 交于点P, 答案:

O



? 6

解析:连接 OD、OC,由题可知 PC ? PD ? PA ? PB 解得 PD ? 8, CD ? 3 所以△OCD 为等边

1 ? ?COD ? 3 2 6 ? 9.(东城 2015 一模)如图,在△ ABC 中,?A ? 60 , AB ? 2 AC ? 8 ,过 C 作△ ABC 外
三角形,即 ?COD ?

?

, ?CBD ?

接圆的切线 CD , BD ? CD 于 D , BD 与外接圆交于点 E ,则 DE ?
B

2



O E D C A

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10. (丰台 2015 一模) 如图, AB 是圆 O 的直径, CD 与圆 O 相切于点 D , AB=8, BC=1, 则 CD=____;

AD=____.3,

12 10 5
D

A

O

B

C

11.(顺义 2015 一模) 如图,在圆内接四边形 ABCD 中, AB // DC ,过点 A 作圆的切 线与 CB 的延长线交于点 E .若 AB ? AD ? BC ? 5, AE ? 6 ,则 BE ?

DC ? 25 4, 4

十四、应用题
1.(2015 一模东城文)某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A , B 两种菜 可供选择. 调查资料表明, 凡是在星期一选 A 种菜的学生, 下星期一会有 20% 改选 B 种菜; 而选 B 种菜的学生,下星期一会有 30% 改选 A 种菜.用 an , bn 分别表示在第 n 个星期的 星期一选 A 种菜和选 B 种菜的学生人数, 若 a1 ? 300 , 则 an +1 与 an 的关系可以表示为 (啊) (A) an ?1 ? (C) an ?1 ?

1 an ? 150 2 1 an ? 300 5

(B) an ?1 ?

1 an ? 200 3 2 an ? 180 5

(D) an ?1 ?

2.(2015 一模房山文)一个人骑车以 6 米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当 他离汽车 25 米时,交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相 同),若汽车在时刻 t 的速度 v(t ) ? t 米/秒,那么此人( D
65



天旭数学工作室 A.可在 7 秒内追上汽车 C.不能追上汽车,但其间最近距离为 14 米 (2015 一模石景山文)两旅客坐火车外出旅游, 希望座位连在一起,且 有一个靠窗,已知火车上 的座位的排法如图所示,则下列座位号码符合 要求的是( D A.48,49 C.75,76 ) B.62,63 D.84,85 窗 口 6 11 16

李老师: 15110278993 B.不能追上汽车,但其间最近距离为 16 米 D.不能追上汽车,但其间最近距离为 7 米 1
[来

2

[来

3

4

[来源:学*

5

源:Z.xx.k.Com]

源:Z+xx+k.Com][

科*网 Z*X*X*K]

来源:学科网]

过 道 8 13 … 9 14 … 10 15 …

窗 口

7 12 17

4.(2015 一模石景山文)某学校拟建一块周长为 400 米的操场,如图所示, 操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操 一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域 尽可能大,矩形的长应该 设计成 米.100

5.(2015 一模顺义文)某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水 的进价是 5 元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价/元 日均销售量/桶 6 480 7 440 8 400 9 360
2

10 320

11 280

设在进价基础上增加 x 元后,日均销售利润为 y 元,且 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? .该经营部要想 获得最大利润,每桶水在进价的基础上应增加( D ) A.3 元 B.4 元 C.5 元 D.6 元

6.(2015 一模通州文)李江同学在某商场运动品专柜买一件运动服,获 100 元的代金券一 张,此代金券可以用于购买指定的价格分别为 18 元、30 元、39 元的 3 款运动袜,规定代金 券必须一次性用完,且剩余额不能兑换成现金. 李江同学不想再添现金,使代金券的利用率 超过 95﹪,不同的选择方式的种数是(A) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

7.(2015 一模西城文)已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 4

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枝康乃馨的价格之和小于 20 元,那么 2 枝玫瑰和 3 枝康乃馨的价格的比较结果是( A ) (A)2 枝玫瑰的价格高 (C)价格相同 (B)3 枝康乃馨的价格高 (D)不确定

8.(2015 一模西城文)某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品 3 件,二等奖奖品 6 件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同,但工艺不同,故价格 有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收 费便宜,但原料有限,最多只能制作 4 件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具体收费情 况如下表: 奖品 收费(元/件) 工厂 甲 乙 500 800 元. 4900 400 600 一等奖奖品 二等奖奖品

则组委会定做该工艺品的费用总和最低为

十五、创新题
1.(海淀 2015 一模)某地区在六年内第 x 年的 生产总值 y (单位:亿元)与 x 之间的关系如 图所示,则下列四个时段中,生产总值的年平 .. 均增长率 最高的是( A ) ....
y

O

1

2

3

4

5

6

x

(A)第一年到第三年 (C)第三年到第五年
67

(B)第二年到第四年 (D)第四年到第六年

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2.(东城 2015 一模)已知 x ? R ,定义: A( x) 表示不小于 x 的最小整数.如 A( 3) ? 2 ,

A(?1.2) ? ?1 .

若 A(2 x +1) ? 3 ,则 x 的取值范围是

?1 ? ? ,1? ;? 2 ?
? 5? ?1, ? .? 4?

若 x ? 0 且 A(2 x ? A( x)) ? 5 ,则 x 的取值范围是

3.(丰台2015一模)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,点 B , C 分别在 x 轴和 y 轴非
? 负半轴上,点 A 在第一象限,且 ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 4 ,那么 O , A 两点间距

离的A (A) 最大值是 4 2 ,最小值是 4 (C) 最大值是 4 2 ,最小值是 2 (B) 最大值是 8 ,最小值是 4 (D) 最大值是 8 ,最小值是 2

4.(丰台 2015 一模)已知平面上的点集 A 及点 P ,在集合 A 内任取一点 Q ,线段 PQ 长度 的 最 小 值 称 为 点 P 到 集 合 A 的 距 离 , 记 作 d ( P, A) . 如 果 集 合

A= { x ( , y ? ) x| ? y

?1 ( ? 0 x,点 P 的坐标为 1 ) } (2, 0) ,那么 d ( P, A) ? ____;如果点集 A

所表示的图形是边长为 2 的正三角形及其内部,那么点集 D ? {P | 0 ? d ( P, A) ? 1} 所表示 的图形的面积为____.1, 6 ? ? 5.(石景山 2015 一模)已知集合 M ? {( x, y )| y ? f ( x )} ,若对于任意 ( x1, y1 ) ? M ,都存 在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集” .给出下列四个 集合:

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① M ? {( x , y )| y ?

1 }; x

② M ? {( x, y)| y ? log2 x} ; ④ M ? {( x, y )| y ? sin x ? 1} . .

③ M ? {( x, y)| y ? e x ? 2} ;

其中是“垂直对点集”的序号是③④ 答案:③④ 解析:当 x1 x2 y1 y2 ? 0 时,即函数 y ?

f ? x? x 的值域分别是 A 和 B ,y?? x f ? x?

原式 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ?

y2 x ? ? 1 若对于任意 ( x1, y1 ) ? M ,都存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x2 y1

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则有 B ? A
对于①,集合 A= ? 0, ?? ? ,B= ? ??,0 ? 不满足条件; 对于②,函数 y ?

log 2 x 1 ? log 2 x 1? ? 其导数为 y ? ? ,易知其值域 A 为 ? ??, ? ,易知函数 2 x x 2? ?

y?

x 值域 B= ? ??,0? ? ? 2, ?? ? 不满足条件; log 2 x
ex ? 2 e x ( x ? 1)? 2 x 其 导 数 为 y? ? 函 数 y ? e ? x ?1? ? 2 的 导 数为 x x2 ex ? 2 为 x

对 于 ③, 函数 y ?

y? ? ex ? x ∴函数 y ? ex ? x ?1? ? 2 最小值为 y min ? e0 ? 0 ?1? ? 2 ? 1 ? 0 故 y ?
区间 ? ??,0 ? 和 ? 0, ?? ? 单调递增函数,其值域 A 为全体实数, 同理可知函数 y ? 对 于 ④

?x 值域 B 为全体实数,A=B,满足要求; e ?2
x











y ? sin x ? 1









, 由 图 可 知 总 能 找 到 这 样 的 两 点 满 足 条 件 , 即

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综上,答案为③④ 6.(海淀 2015 一模)有限数列 An : a1 , a2 , ???, an .(n ? 3) 同时满足下列两个条件: ① 对于任意的 i , j ( 1 ? i ? j ? n ) , ai ? a j ; ② 对于任意的 i, j , k ( 1 ? i ? j ? k ? n ) , ai a j , a j ak , ai ak 三个数中至少有一个数 是数列 An 中的项. (Ⅰ)若 n ? 4 ,且 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? a , a4 ? 6 ,求 a 的值; (Ⅱ)证明: 2,3,5 不可能是数列 An 中的项; (Ⅲ)求 n 的最大值. 解: (Ⅰ)由①,得 2 ? a ? 6 . 由②,当 i ? 2 , j ? 3 , k ? 4 时. 2 a , 6 a , 12 中至少有一个是数列 1, 2 , a ,

6 中的项,但 6a ? 6 , 12 ? 6 ,故 2a ? 6 ,解得 a ? 3 .
经检验,当 a ? 3 时,符合题意. ????3 分

(Ⅱ)假设 2,3,5 是数列 An 中的项,由②可知:6,10,15 中至少有一个是数列 An 中 的项,则有限数列 An 的最后一项 an ? 5 ,且 n ? 4 . 由①, an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 1. ??????4 分

对于数 an?2 , an?1 , an ,由②可知: an?2 an?1 ? an ;对于数 an?3 , an?1 , an , 由②可知: an?3an?1 ? an . 所以 an?2 ? an?3 ,这与①矛盾. 所以 2,3,5 不可能是数列 An 中的项. (Ⅲ) n 的最大值为 9 ,证明如下:
70

?????6 分

??????7 分 ????8 分

天旭数学工作室 (1)令 A9 : ?4, ?2, ?1, ? , ? ,0, ,1, 2 ,则 A9 符合①、②. (2)设 An : a1 , a2 , ???, an (n ? 3) 符合①、②,则: (ⅰ) An 中至多有三项,其绝对值大于 1.

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1 2

1 4

1 2

?????11 分

假设 An 中至少有四项,其绝对值大于 1,不妨设 ai , a j , ak , al 是 An 中 绝对值最大的四项,其中 1 ?| ai |?| a j |?| ak |?| al | . 则对 ai , ak , al 有 | ai al | ?| al | ,| ak al | ?| al | ,故 ai al , ak al 均不是数列 An 中的项, 即 ai ak 是数列 An 中的项. 同理: a j ak 也是数列 An 中的项. 但 | ai ak | ? | ak | , | a j ak | ? | ak | . 所以 ai ak ? a j ak ? al . 所以 ai ? a j ,这与①矛盾. (ⅱ) An 中至多有三项,其绝对值大于 0 且小于 1. 假设 An 中至少有四项,其绝对值大于 0 且小于 1,类似(ⅰ)得出矛盾. (ⅲ) An 中至多有两项绝对值等于 1. (ⅳ) An 中至多有一项等于 0. 综合(ⅰ) , (ⅱ) , (ⅲ) , (ⅳ)可知 An 中至多有 9 项. ??14 分 由(1) , (2)可得, n 的最大值为 9.

7.(西城2015一模)已知点列

(k∈N*,k≥2)满足P 1(1,1) , 且只有一个成立. ⑴写出满足k = 4且P 4(1,1)的所有点列; ⑵证明:对于任意给定的k (k∈N*,k≥2),不存在点列T ,使得
71

中有



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⑶当k = 2n ? 1且

时,求

的最大值.

72

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8.(东城 2015 一模)在无穷数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对于任意 n ? N ,都有 an ? N? ,且

?

an ? an?1 .设集合 Am ? {n | an ? m, m ? N?} ,将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm ,即 bm
是数列 {an } 中满足不等式 an ? m 的所有项的项数的最大值, 我们称数列 {bn } 为数列 {an } 的 伴随数列. 例如:数列 {an } 是 1,3, 4,? ,它的伴随数列 {bn } 是 1,1, 2,3,? . (Ⅰ)设数列 {an } 是 1, 4,5,? ,请写出 {an } 的伴随数列 {bn } 的前 5 项; (Ⅱ)设 an ? 3n?1 (n ? N* ) ,求数列 {an } 的伴随数列 {bn } 的前 20 项和; (Ⅲ)设 an ? 3n ? 2(n ? N* ) ,求数列 {an } 的伴随数列 {bn } 前 n 项和 Sn .

73

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9.(朝阳2015一模)若数列 是数列 = m2。 (1)若数列 (2)若数列

中不超过 f (m)的项数恰为b m (m∈N * ),则称数列 生成 的控制函数。设 f (m)

的生成数列,称相应的函数 f (m)是

单调递增,且所有项都是自然数, b1 =1,求a1; 单调递增,且所有项都是自然数, a 1= b1 ,求a1 ; 生成 的控制函数 g(n) = pn2

(3)若an = 2 n (n =1 ,2 ,3 ) ,是否存在 + qn + r (其中常数p,q,r∈Z) ,使得数列 求出 g (n);若不存在,说明理

也是数列{ } m b 的生成数列?若存在,

74

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10.(丰台 2015 一模)如果数列 A : a1 , a2 ,?, am (m ? Z ,且 m ? 3) ,满足:① ai ? Z ,

?

m m ? ai ? (i ? 1, 2,?, m) ; 2 2

② a1 ? a2 ? ? ? am ? 1, 那么称数列 A 为 “Ω ” 数列.

(Ⅰ)已知数列 M :-2,1,3,-1;数列 N :0,1,0,-1,1.试判断数列 M , N 是否为“Ω ”数列; (Ⅱ)是否存在一个等差数列是“Ω ”数列?请证明你的结论; (Ⅲ)如果数列 A 是“Ω ”数列,求证:数列 A 中必定存在若干项之和为 0. 解: (Ⅰ)数列 M 不是“Ω ”数列;数列 N 是“Ω ”数列. (Ⅱ)不存在一个等差数列是“Ω ”数列. 证明:假设存在等差数列是“Ω ”数列, 则由 a1 ? a2 ? ? ? am ? 1 得 a1 ? am ? ?????2 分

2 ? Z ,与 ai ? Z 矛盾, m
???7 分

所以假设不成立,即不存在等差数列为“Ω ”数列. (Ⅲ)将数列 A 按以下方法重新排列:

设 Sn 为重新排列后所得数列的前 n 项和( n ? Z 且 1 ? n ? m ) ,

m m ? 1 ? S1 ? , 2 2 m m 假设当 2 ? n ? m, n ? N 时, ? ? 1 ? Sn ?1 ? 2 2
任取大于 0 的一项作为第一项,则满足 ? 若 Sn?1 ? 0 ,则任取大于 0 的一项作为第 n 项,可以保证 ?

m m ? 1 ? Sn ? , 2 2

若 Sn?1 ? 0 ,则剩下的项必有 0 或与 S n ?1 异号的一项,否则总和不是 1, 所以取 0 或与 S n ?1 异号的一项作为第 n 项,可以保证 ? 如果按上述排列后存在 Sn ? 0 成立,那么命题得证; 否则 S1 , S2 ,?, Sm 这 m 个整数只能取值区间 [ ? 因为区间 [ ?

m m ? 1 ? Sn ? . 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数, 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数至多 m-1 个, 2 2

所以必存在 Si ? S j (1 ? i ? j ? m) ,
75

天旭数学工作室 那么从第 i ? 1 项到第 j 项之和为 Si ? S j ? 0 ,命题得证. 综上所述,数列 A 中必存在若干项之和为 0.

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????13 分

11.(石景山 2015 一模)设数列 ?an ? 满足: ① a1 ? 1 ; ②所有项 an ? N * ; ③ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ?. 设集合 Am ? ?n|an ? m, m ? N *?,将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm ,即 bm 是数列

?an ? 中满足不等式 an ? m 的所有项的项数的最大值.我们称数列 ?bn ? 为数 ?an ? 的伴随数
列.例如,数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3. (Ⅰ)若数列 ?an ? 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3,请写出数列 ?an ? ; (Ⅱ)设 an ? 3
n ?1

,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ? 的前 30 项之和;
2

(Ⅲ)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? c (其中 c 常数) ,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bm ? 的前 m 项和 Tm .

? (m ? 1)2 ( m ? 2t ? 1 , t ? N * ) ? ? 4 答案:(Ⅰ) 1,4,7 (Ⅱ)84 (Ⅲ) Tm ? ? ? m(m ? 2) (m ? 2t , t ? N * ) ? ? 4
解析: (Ⅰ)1,4,7 (Ⅱ)由 an ? 3
n?1

????????3 分

? m ,得 n ? 1 ? log3 m (m ? N * )
????????4 分 ????????5 分 ????????6 分

当 1 ? m ? 2, m ? N * 时, b1 ? b2 ? 1 当 3 ? m ? 8, m ? N * 时, b3 ? b4 ? ??? ? b8 ? 2 当 9 ? m ? 26, m ? N ? 时, b9 ? b10 ? ? ? ? ? b26 ? 3

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天旭数学工作室 当 27 ? m ? 30, m ? N ? 时, b27 ? b28 ? b29 ? b30 ? 4 ∴ b1 ? b2 ? ? ? ? ? b30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 6 ? 3 ? 18 ? 4 ? 4 ? 84 (III)∵ a1 ? S1 ? 1 ? c ? 1 ∴c ? 0

李老师: 15110278993 ????????7 分 ????????8 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ∴

an ? 2n ? 1 (n ? N * )
m ?1 (m ? N * ) 2

????????9 分

由 an ? 2n ? 1 ? m 得: n ?

因为使得 an ? m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以 b1 ? b2 ? 1, b3 ? b4 ? 2, ???, b2t ?1 ? b2t ? t (t ? N )
*

当 m ? 2t ? 1 (t ? N ) 时:
*

Tm ? 2 ?

1 ? (t ? 1) 1 ? (t ? 1) ? t ? t 2 ? (m ? 1) 2 2 4

????????11 分

当 m ? 2t (t ? N * ) 时:

Tm ? 2 ?

1? t 1 ? t ? t 2 ? t ? m(m ? 2) 2 4

????????12 分

? (m ? 1)2 ( m ? 2t ? 1 , t ? N * ) ? ? 4 所以 Tm ? ? ? m(m ? 2) (m ? 2t , t ? N * ) ? ? 4

????????13 分

12.(顺义 2015 一模)已知二次函数 y ? f ( x) 的图象的顶点坐标为 ( ?1, ? ) ,且过坐标原 点 O .数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 在二次函数 y ? f ( x) 的图象上. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II) 设 bn ? aa nn
?1

1 3

c o s (n 1 )? ( ,

n ? N ) ?

?

, 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 若 Tn ? n t

2

对n? N

?

恒成立,求实数 t 的取值范围; (III)在数列 {an } 中是否存在这样一些项: an1 , an2 , an3 ,?, ank ,? (1 ? n1 ? n2 ? n3

? ? ? nk ? ?, k ? N ? ) ,这些项都能够构成以 a1 为首项, q(0 ? q ? 5, q ? N ? ) 为公比的等
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天旭数学工作室
?

李老师: 15110278993

比数列 {ank }, k ? N ?若存在,写出 nk 关于 k 的表达式;若不存在,说明理由.

1 1 ( x ? 1) 2 ? . 3 3 1 1 1 2 2 2 ? 所以 S n ? (n ? 1) ? ? n ? n(n ? N ). .........................1 分 3 3 3 3 1 2 2 1 2 2n ? 1 2 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? n ? [ (n ? 1) ? (n ? 1)] ? 3 3 3 3 3
解(I)由题意可知 f ( x) ? 当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 1 适合上式 所以,数列 {an } 的通项公式为 an ?

2n ? 1 (n ? N ? ) ......................4 分 3

(II)因为 bn ? an an?1 cos(n ? 1)? ,(n ? N ? ) 所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ?? (?1)n?1 anan?1
由(I)可知,数列 {an } 是以 1 为首项,公差为 ① 当 n ? 2m, m ? N ? 时,

2 的等差数列. 3

Tn ? T2m ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ?? (?1)2m?1 a2ma2m?1
? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ? ? a2 m (a2 m ?1 ? a2 m ?1 ) 4 4 a ? a2 m ? ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 m ) ? ? ? 2 ?m 3 3 2 1 1 ? ? (8m 2 ? 12m) ? ? (2n 2 ? 6n). 9 9
② 当 n ? 2m ? 1, m ? N 时,
?

Tn ? T2m?1 ? T2m ? (?1)2m?1 a2ma2m?1
1 1 ? ? (8m 2 ? 12m) ? (16m 2 ? 16m ? 3) 9 9 1 1 ? (8m 2 ? 4m ? 3) ? (2n 2 ? 6n ? 7). 9 9

? 1 ? (2n 2 ? 6n ), n ? ? 9 所以 Tn ? ? ? 1 (2n 2 ? 6n ? 7), n ? ?9
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天旭数学工作室 ......7 分 要使 Tn ? tn2 对 n ? N ? 恒成立,
2 2 只要使 ? (2n ? 6n) ? tn ( n 为正偶数)恒成立.

李老师: 15110278993

1 9

即使 ? (2 ? ) ? t 对 n 为正偶数恒成立, 故实数 t 的取值范围是 ( ??, ? ]. (III)由 an ?

1 9

6 n

5 9

......................9 分

2n ? 1 知,数列 {an } 中每一项都不可能是偶数. 3 ? ① 如存在以 a1 为首项,公比 q 为 2 或 4 的数列 {ank }, k ? N ,此时 {ank } 中每一项除第一
项外都是偶数,故不存在以 a1 为首项,公比为偶数的数列 {ank } . ② 当 q ? 1 时,显然不存在这样的数列 {ank } . 当 q ? 3 时,若存在以 a1 为首项,公比为 3 的数列 {ank }, k ? N ,则 an1 ? 1,
?

n1 ? 1, ank ? 3

k ?1

2nk ? 1 3k ? 1 ? , nk ? . 3 2 3k ? 1 (k ? N ? ). 2
....13 分

所以存在满足条件的数列 {ank } ,且 nk ?

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