湖北省沙市中学 2018-2019 学年高二数学下学期第一次双周考试题
文
考试时间：2019 年 2 月 28 日
一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．“
x
?
1
log
”是“
1 2
?
x
?
2?
?
0
”的
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条
件
2．甲、乙两人在相同的条件下投篮 5 轮，每轮甲、乙各投篮 10 次，
投篮命中次数的情况如图所示（实线为甲的折线图，虚线为乙的
折线图），则以下说法错误的是
A．甲投篮命中次数的众数比乙的小
B．甲投篮命中次数的平均数比乙的小
C．甲投篮命中次数的中位数比乙的大
D．甲投篮命中的成绩比乙的稳定
3．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人
三分取一，后人四分取一，余米两斗五升．问，米几何？”如图是解
决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S ? 4（单位：升），
则输入 k 的值为
A．10
B．12
C．14
D．16
4．已知双曲线 x2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 a2 b2
x ? 3y ? 4 ? 0 垂直，则该双曲线的离心率为
A． 2 3 3
B． 4 3
C． 2
D． 4
5．由曲线 x2 ? y2 ? 2 x ? 2 y 围成的图形面积为
A． 2? ? 4
B． 2? ??
C． 4? ? 4
D． 4? ??
6．给出定义：若函数 f (x) 在 D 上可导，即 f ?(x) 存在，且导函数 f ?(x) 在 D 上也可导，则称 f (x)
-1-/9
在 D 上存在二阶导函数，记 f ??(x) ? ( f ?(x))? ，若 f ??(x) ? 0 在 D 上恒成立，则称 f (x) 在 D
上为凸
函数．以下四个函数在 (0, ? ) 上不是凸函数的是 2
A． f (x) ? sin x ? cos x
B． f (x) ? ln x ? 2x
C． f (x) ? ?x3 ? 2x ?1
D． f (x) ? ?xe?x
7．曲线 y ? 1 x3 ? 1 x2 在点 T (1, 5) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
32
6
A． 49 18
B． 49 36
C． 49 72
D． 49 144
8．已知 ?ABC 的面积为 6，若在 ?ABC 内部随机取一个点 P ，则使 ?PBC 的面积大于 2 的
概率为
A． 2 9
B． 1 3
C． 4 9
D． 5 9
9．已知点 M 是抛物线 y2 ? 2x 上的动点，以点 M 为圆心的圆被 y 轴截得的弦长为 8 ，则该
圆被 x 轴截得的弦长的最小值为
A．10
B． 4 3
C． 8
D． 2 15
10．已知函数 f (x) ? 4x ? a ? 2x 在区间[2, ??) 上单调递增，则实数 a 的取值范围为
A．[?4, ??) B． (??, ?4] C．[?8, ??) D． (??, ?8]
11．动点 M 在圆 x2 ? y2 ? 25 上移动，过点 M 作 x 轴的垂线段 MD ，D 为垂足，则线段 MD
中点的轨迹方程是
A． 4x2 ? y2 ? 1 25 25
B． x2 ? 4 y2 ? 1 25 25
C． 4x2 ? y2 ? 1 25 25
D． x2 ? 4 y2 ? 1 25 25
12．设 F1 , F2 是双曲线 C :
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?
0, b
?
0) 的左、右焦点，O 是坐标原点．过 F2 作 C
的一
条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 PF1 ? 6 OP ，则 C 的离心率为
A． 5
B． 3
C． 2
D． 2
-2-/9
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积
是
．
14．已知圆 (x ? a)2 ? y2 ? 9(a ? 5) 上存在点 M ，
使 OM ? 2 MQ ( O 为原点)成立， Q(2, 0) ，
则实数 a 的取值范围是____________.
15．已知 f (x) ? ln x ，则 f '(1) ?
。
2x
2
16．以椭圆 x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?b
? 0) 的右焦点 F2 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆
于 M , N 两点，若过椭圆左焦点 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线，则该椭圆的离心率为
_____． 三、解答题（本小题共 6 小题，共 70 分） 17．（10 分）某高校数学与统计学院为了对 2018 年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大
一新生中随机抽取 40 名，对他们在 2018 年高考的数学成绩进行调查，统计发现 40 名新
生 的 数 学 分 数 x 分 布 在 [100,150) 内 . 当 x ?[10n,10(n ?1)), n ? N * 时 ， 其 频 率 y ? n ?10a .
20 （Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）请在答题卡中画出这 40 名新生高考数学分数 的频率分布直方图，并估计这 40 名新生的高考数学分数 的平均数；
（Ⅲ）从成绩在 100～110 分，120～130 分的学生中， 用分层抽样的方法从中抽取 6 名学生，再从这 6 名学生
中随机选两人甲、乙，记甲、乙的成绩分别为 m, n ，求
概率 P( m ? n ?10) ．
-3-/9
18．（12 分）在 ?ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，满足 ab ? a2 ? c2 . （1）求证： C ? 2A； （2）若 ?ABC 的面积为 a2 sin2 B ，求角 C 的大小.
19．（12 分）如图所示，在四棱锥 P ? ABCD 中，PA ?平面 ABCD ，AD / /BC ，AB ? BC ， AP ? AD ? 2AB ? 2BC ，点 M 在棱 PC 上.
（Ⅰ）求证： AM ? CD ； （Ⅱ）当 AM ? 平面 PCD 时，求直线 AM 与平面 PBC 所
成角的正弦值.
20．（12 分）已知函数 f (x) ? 3x ? 2x2 ? ln x ，其中 a 为常数 a
（1）当 a ?1时，求函数 f (x) 的单调区间； （2）若函数 f (x) 在区间[1, 2] 上为单调函数, 求 a 的取值范围.
-4-/9
21．（12 分）动圆 P 过点 F(0,1) ，且与直线 y ? ?1相切，设动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C .
（1）求曲线 C 的方程； （2）过点 F 的直线交曲线 C 于 A , B 两个不同的点，过点 A , B 分别作曲线 C 的切线，且
二者相交于点 M ，若直线 MF 的斜率为 ? 1 ，求直线 AB 的方程. 2
22．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 (
3,
1 2
)
，焦点
F1
(?
3,0) , F2(
3,0) ，
圆 O 的直径为 F1F2 ．
（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；
（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P ，若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，
求点
P 的坐标；
2018—2019 学年下学期 2017 级 第一次双周练文科数学答案
-5-/9
BBDCD DDCDC BB
13． 4
14．
3
15．
16．
17．（Ⅰ）a＝0.04；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） .
（Ⅰ）由题意知，n 的取值为 10，11，12，13，14．
把 n 的取值分别代入
，
可得（0.5﹣10a）+（0.55﹣10a）+（0.6﹣10a）+（0.65﹣10a）+（0.7﹣10a）＝ 1．
解得 a＝0.04． （Ⅱ）频率分布直方图如图：
这 40 名新生的高考数学分数的平均数为
105×0.10+115×0.15+125×0.20+135×0.25+145×0.30＝130．
（Ⅲ）这 40 名新生的高考数学分数在[100，110）的频率为 0.1，分数在[110，120）的频
率为 0.2，
频率比 0.1：0.2＝1：2．
按分层抽样的方法从抽取[100，110）内 2 人，[120，130）内 4 人，记[100，110）内 2
人为 A,B，[120，130）内 3 人，为 a,b,c，d．
从 6 名学生中随机抽取 2 名学生的基本事件共 15 个，
甲、乙的成绩分别为 ，满足
的有：共 8 个.
所以 P( m ? n ? 10) ? 8 . 15
18．（1）在 中，根据余弦定理，
，
-6-/9
又因为
，所以
，
又因为 ，所以
，
根据正弦定理，
.
因为
，即
，则
，
所以
，即
.
因为 ，
，则
，
所以
，或
（应舍去）.所以 .
（2）因为 的面积为
，所以
，
因为 ，
，所以
，则
，
因为 ，所以
，所以
.
因为
，所以
，即
，所以
或
.
当
，即
时， ；
当
时，由
，解得 ，则 .综上， 或 .
19．（Ⅰ）设 中点为 ，连接 、 .由题意
.
∵
，∴四边形 为平行四边形，又
设
，在
中，
，又
，
，∴ .
∴
，∴
.
∵ 平面 ， 平面 ，∴
∵ ， 平面 ，且
，∴
∵
平面 ，∴
.
. 平面 .
为正方形.
（Ⅱ）直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20．（1）若 时，
，定义域为
，
则
，
-7-/9
当
，
，函数
当
，
，函数
单调递增， 单调递减。
（2）
，若函数 在区间 上是单调函数，
即
在上
或
恒成立，
即
或
在 上恒成立，即
或
在 上恒成立，
令
，因函数 在 上单调递增，所以
或
，
即
或
解得
或
或
，故 的取值范围是
.
21．（1）设点 ，则 平方整理得：
（2）由题意可知直线 的斜率一定存在，否则不与曲线 有两个交点
设 方程为
，且设点
得 则得
由
得： ，所以
∴直线 AM 的方程为：
①
直线 BM 的方程为：
② -8-/9
①－②得：
，
又
，
解得
，
，所以
又 ，所以直线 的斜率为 直线 的方程为 22．（1）因为椭圆 C 的焦点为
，解得 ，
可设椭圆 C 的方程为
．又点 在椭圆 C 上，
所以
，解得
因此，椭圆 C 的方程为
．因为圆 O 的直径为 ，所以其方程为
．
（2）①设直线 l 与圆 O 相切于
，则
，
所以直线 l 的方程为
，即
．
由
，消去 y，得
．（*）
因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，
所以
．
因为
，所以
． 因此，点 P 的坐标为 ．
-9-/9