3．1 指数函数的概念、图像及性质
时间：45 分钟 满分：80 分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题 5 分，共 5×6＝30 分)
1．下列函数是指数函数的是( )
A．y＝－3 B．y＝3x＋1
C．y＝(3－1)x D．y＝1x
答案：C
2．某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次(1 个分裂为两个)，经过 3 个小时，这
种细菌由 1 个可繁殖成( )
A．511 个 B．512 个
C．1024 个 D．1023 个
答案：B
解析：3 小时为 9 个 20 分钟，细菌个数为 29＝512.
3．若函数 y＝2x＋m 的图象经过第一、三、四象限，则 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－∞，－1] D．(－∞，0]
答案：C
解析：∵y＝(3－1)x＝???13???x 符合指数函数的概念，∴选 C.
4．如图，分别是 y＝2x，y＝3x，y＝???12???x，y＝???13???x 的图象，则 a，c 对应的值分别是(
)
A．2,3 B．3，12 C.13，2 D．3，13 答案：D
解析：依据图象，可知 0<c<d<1<b<a，对照所给函数 y＝2x，y＝3x，y＝???12???x，y＝???13???x， 可知 a＝3，c＝13.
5．函数 y＝(2a－1)x 为减函数，则实数 a 的取值范围是( ) A.???0，12??? B.???14，12??? C.???12，1??? D.???0，14??? 答案：C 解析：由题意，知 0<2a－1<1，所以12<a<1. 6．已知 f(x)＝a－x(a>0，且 a≠1)，且 f(－2)>f(－3)，则 a 的取值范围是( ) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(0,1) 答案：D
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解析：由 f(x)＝a－x(a>0，且 a≠1)，f(－2)>f(－3)，得 a2>a3，故 0<a<1. 二、填空题：(每小题 5 分，共 5×3＝15 分) 7．当 x∈[－1,1]时，f(x)＝3x－2 的值域为________． 答案：???－53，1??? 解析：x∈[－1,1]，则13≤3x≤3，
即－53≤3x－2≤1.
8．若定义运算 a※b＝?????ba， ， 答案：(0,1]
a≥b ， a<b ，
则函数 f(x)＝3x※3－x 的值域是________．
解析：f(x)＝3x※3－x＝?????33－ x，x，
x x
，
∴函数 f(x)的值域是(0,1]．
9．若指数函数 y＝ax 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是 1，则底数 a 等于________．
1＋ 5 －1＋ 5 答案： 2 或 2
解析：当 a>1 时，y＝ax 在[－1,1]上单调递增，所以 a－a－1＝1，所以 a＝1＋2
5 ；当
0<a<1 时，y＝ax 在[－1,1]上单调递减，所以 a－1－a＝1，所以 a＝－1＋2 5.综上，a＝1＋2 5
－1＋ 5 或2.
三、解答题：(共 35 分，11＋12＋12)
10．比较下列各题中两个值的大小． (1)1.72.5 和 1.73； (2)0.8－0.1 和 1.250.2； (3)1.70.3 和 0.93.1. 解：(1)由于 1.7>1，∴指数函数 y＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数． 又 2.5<3，∴1.72.5<1.73. (2)1.250.2＝0.8－0.2，由于 0.8<1， ∴指数函数 y＝0.8x 在(－∞，＋∞)上是减函数． 又－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2，即 0.8－0.1<1.250.2. (3)由指数函数的性质得 1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.
11．求函数 y＝3 －x2＋2x＋3 的定义域、值域和单调区间．
解：定义域为(－∞，＋∞)． 设 u＝f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，则 y＝3u(u≤4)． ∵y＝3u 是增函数，∴0<3u≤34，即值域为(0,81]． 当 x≤1 时，u＝f(x)单调递增，y＝3u 单调递增，
∴原函数单调递增； 当 x>1 时，u＝f(x)单调递减，y＝3u 单调递增，
∴原函数单调递减．
综上，函数 y＝3 －x2＋2x＋3 的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为(1，＋∞)． 12．设函数 f(x)＝ax－a－x(a>0 且 a≠1)当 x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求 m
的取值范围． 解：∵f(x)＝ax－a－x，∴f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)， ∴原不等式可化为 f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)．
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又当 a>1 时，∵y＝ax 与 y＝－a－x 在(－1,1)上均为增函数， ∴f(x)＝ax－a－x 在(－1,1)上为增函数．
?? －1<1－m<1， 此时可得?－1<1－m2<1，
??1－m<m2－1.
解得 1<m< 2；
当 0<a<1 时，∵y＝ax 与 y＝－a－x 在(－1,1)上均为减函数， ∴f(x)＝ax－a－x 在(－1,1)上为减函数，
?? －1<1－m<1， 此时可得：?－1<1－m2<1，
??1－m>m2－1，
解得 0<m<1.
综上所述，当 a>1 时，1<m< 2；当 0<a<1 时，0<m<1.
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