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高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.3.1 指数函数的概念、图像及性质课时作业 北师大版必修1


3.1 指数函数的概念、图像及性质

时间:45 分钟 满分:80 分

班级________ 姓名________ 分数________

一、选择题:(每小题 5 分,共 5×6=30 分)

1.下列函数是指数函数的是( )

A.y=-3 B.y=3x+1

C.y=(3-1)x D.y=1x

答案:C

2.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(1 个分裂为两个),经过 3 个小时,这

种细菌由 1 个可繁殖成( )

A.511 个 B.512 个

C.1024 个 D.1023 个

答案:B

解析:3 小时为 9 个 20 分钟,细菌个数为 29=512.

3.若函数 y=2x+m 的图象经过第一、三、四象限,则 m 的取值范围是( )

A.(-∞,-1) B.(-∞,0)

C.(-∞,-1] D.(-∞,0]

答案:C

解析:∵y=(3-1)x=???13???x 符合指数函数的概念,∴选 C.

4.如图,分别是 y=2x,y=3x,y=???12???x,y=???13???x 的图象,则 a,c 对应的值分别是(

)

A.2,3 B.3,12 C.13,2 D.3,13 答案:D
解析:依据图象,可知 0<c<d<1<b<a,对照所给函数 y=2x,y=3x,y=???12???x,y=???13???x, 可知 a=3,c=13.
5.函数 y=(2a-1)x 为减函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.???0,12??? B.???14,12??? C.???12,1??? D.???0,14??? 答案:C 解析:由题意,知 0<2a-1<1,所以12<a<1. 6.已知 f(x)=a-x(a>0,且 a≠1),且 f(-2)>f(-3),则 a 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(0,1) 答案:D
1

解析:由 f(x)=a-x(a>0,且 a≠1),f(-2)>f(-3),得 a2>a3,故 0<a<1. 二、填空题:(每小题 5 分,共 5×3=15 分) 7.当 x∈[-1,1]时,f(x)=3x-2 的值域为________. 答案:???-53,1??? 解析:x∈[-1,1],则13≤3x≤3,

即-53≤3x-2≤1.

8.若定义运算 a※b=?????ba, , 答案:(0,1]

a≥b , a<b ,

则函数 f(x)=3x※3-x 的值域是________.

解析:f(x)=3x※3-x=?????33- x,x,

x x



∴函数 f(x)的值域是(0,1].

9.若指数函数 y=ax 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是 1,则底数 a 等于________.

1+ 5 -1+ 5 答案: 2 或 2

解析:当 a>1 时,y=ax 在[-1,1]上单调递增,所以 a-a-1=1,所以 a=1+2

5 ;当

0<a<1 时,y=ax 在[-1,1]上单调递减,所以 a-1-a=1,所以 a=-1+2 5.综上,a=1+2 5

-1+ 5 或2.

三、解答题:(共 35 分,11+12+12)
10.比较下列各题中两个值的大小. (1)1.72.5 和 1.73; (2)0.8-0.1 和 1.250.2; (3)1.70.3 和 0.93.1. 解:(1)由于 1.7>1,∴指数函数 y=1.7x 在(-∞,+∞)上是增函数. 又 2.5<3,∴1.72.5<1.73. (2)1.250.2=0.8-0.2,由于 0.8<1, ∴指数函数 y=0.8x 在(-∞,+∞)上是减函数. 又-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2,即 0.8-0.1<1.250.2. (3)由指数函数的性质得 1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1.

11.求函数 y=3 -x2+2x+3 的定义域、值域和单调区间.
解:定义域为(-∞,+∞). 设 u=f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,则 y=3u(u≤4). ∵y=3u 是增函数,∴0<3u≤34,即值域为(0,81]. 当 x≤1 时,u=f(x)单调递增,y=3u 单调递增,
∴原函数单调递增; 当 x>1 时,u=f(x)单调递减,y=3u 单调递增,
∴原函数单调递减.

综上,函数 y=3 -x2+2x+3 的单调增区间为(-∞,1],单调减区间为(1,+∞). 12.设函数 f(x)=ax-a-x(a>0 且 a≠1)当 x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求 m
的取值范围. 解:∵f(x)=ax-a-x,∴f(-x)=a-x-ax=-f(x), ∴原不等式可化为 f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1).

2

又当 a>1 时,∵y=ax 与 y=-a-x 在(-1,1)上均为增函数, ∴f(x)=ax-a-x 在(-1,1)上为增函数.

?? -1<1-m<1, 此时可得?-1<1-m2<1,
??1-m<m2-1.

解得 1<m< 2;

当 0<a<1 时,∵y=ax 与 y=-a-x 在(-1,1)上均为减函数, ∴f(x)=ax-a-x 在(-1,1)上为减函数,

?? -1<1-m<1, 此时可得:?-1<1-m2<1,
??1-m>m2-1,

解得 0<m<1.

综上所述,当 a>1 时,1<m< 2;当 0<a<1 时,0<m<1.

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