湖南省长沙县实验中学 2014 届高三下学期第一次模拟 数学（理）试题

本试卷包括选择题、填空题和解答 题三部分，共 4 页 22 小题，时量 120 分钟，满分 150 分。

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.

1．已知集合 A ? {1,2,3} ，错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ，则 B 中所含元素的个数为 A．2 B．3 C．4 D．6 )

2．在复平面内，复数错误!不能通过编辑域代码创建对象。对应的点在( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．以 q 为公比的等比数列{ an }中， a1 ＞0，则“ a1 ? a3 ”是“q＞1”的 A. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 B. 充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ）

4.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图 1 所示,则该几何体的三视图为（

5.两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢 局次的不同视为不同情形)共有（ A．30 种 B．20 种 ） C．15 种 D．10 种

6 ． 对 于 函 数 f ( x) ? 4 x ? m ? 2 x ?1 ， 若 存 在 实 数 错 误 ! 不 能 通 过 编 辑 域 代 码 创 建 对 象 。 ，使得

f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) 成立，则实数错误!不能通过编辑域代码创建对象。的取值范围是(

A． m ≤1 B．错误!不能通过编辑域代码创建对象。 C．

)

m≤

1 2

D． 错误!不能通过编辑域代码创建对象。

x2 y 2 7．已知 F1 ，错误!不能通过编辑域代码创建对象。分别为双曲线 2 ? 2 ? 1 错误!不能通过编辑域 a b 代码创建对象。 ， b ? 0) 的左、右焦点，若在右支上存在点错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ， 使得点 F 到直线错误!不能通过编辑域代码创建对象。的距离为 2a ，则该双曲线的离心率的取值

2

·1 ·

范围是(

) B． (1, 2] C ．错误 ! 不能通过编辑域

A．错误!不能通过编辑域代码创建对象。 代码创建对象。 D． [ 2 ,??)

8 ．已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 对任意的 x 都满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x )，当 ?1 ≤x＜ 1 时，

f ( x) ? x3 ，若函数 g ( x) ? f ( x) ? log a x 至少 6 个零点，则 a 的取值范围是（

A. （0, ]? （5, ??）

）

1 5

B.（0, ） ? [5, ??）

1 5

C. （ , ]? （5, 7）

1 1 7 5

D. （ , ） ? [5, 7）

1 1 7 5

二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 个小题，每小题 5 分，共 35 分.

（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分） 9． （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点 M(4， ____， 10． （几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的直径 AB=4，C 为圆周上一点，

? ? )到曲线 ? cos( ? ? ) ? 2 上的点最短距离为 3 3

AC=3，CD 是⊙O 的切线，BD⊥CD 于 D,则 CD=

2

．

2 2

11．(不等式选讲选做题) 设 x，y，z∈R，且满足：x ＋4y ＋9z ＝3， 则 x＋2y＋ 3z 的最大值为________ （二）必做题（12-16 题） 12. 已知 t ? 0 ，若

? (2x ?1)dx ? 6 ，则 t 的值等于

0

2

t

13. 已知函数 f（x）＝－x ＋ax－2b．若 a，b 都是区间[0,4]内的数， 则使 f（1）>0 成立的概率是 ．

14. 我市教育管理部门用问卷调查的方式对市区 1000 名中学生开展 了‘我爱读名著”活动情况调查，x(单位：小时）表示平均半学年 度课外读书时间，现按读书时间分下列四种情况进行统计： ① 0 ~ 10 小时； ②10 ~ 20 小时; ③20 ~ 30 小时；④30 小时以上。 如右图是此次调查中数据统计过程的算法框图， 已知输出的结果是 680, 则平均半学年度课外读书时间不超过 20 小时的学生的频率是_______.

15. 设 O 是 ?ABC 的三边中垂线的交点, a, b, c 分别为角 A, B, C 对应的边,已知 b ? 2b ? c ? 0 ,则

2 2

·2 ·

BC ? AO 的范围是___________________.

??? ???

16.如图所示一系列数表依次是三项式（a+b+c） （n=0，1，2，3，?）展开式系数按一定 规律排列 所得，可发现数表的第 k 行共有 k 个数．依此类推，数表 6 的第 3 行第 1 个数为 ， 数表 6 的第 5 行第 3 个数为 ．

n

三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17． （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x(m ? 0) 的最大值为 2. (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上 的单调递减区间; (Ⅱ) ?ABC 中, f ( A ?

?

) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 4 4

?

C ? 600 , c ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

18． （本小题满分 12 分）我校高二一次考试中，5 名同学的语文、英语成绩如下表所示： 学生 语文（ x 分） 英语（ y 分）

S1

87 86

S2

90 89

S3

91 89

S4

92 92

S5

95 94

[来源:学&科&网]

（1） 根据表中数据，求英语分 y 对语文分 x 的线性回归方程； （2） 要从 4 名语文成绩在 90 分（含 90 分）以上的同学中选出 2 名参加一项活动，以 ? 表示选中 的同学的英语成绩高于 90 分的人数，求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

·3 ·

（附:线性回归方程 y ? bx ? a 中， b?

? ( x ? x )( y ? y )

i ?1 i i

n

? (x ? x )

i ?1 i

n

, a ? y ? bx , 其中 x , y 为样本平均值， b, a

E F

2

的值的结果保留二位小数.）

19． （本小题满分 12 分）在如右图的几何体中， 四边形 CDEF 为正方形，四边形 ABCD 为等腰梯形， A

D

C B 19 题 图6

AB ∥ CD ， AB ? 2BC ， ?ABC ? 60? ， AC ? FB ．

（1）求证： AC ? 平面 FBC ； （2）求直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值．

20． （本小题满分 13 分）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用 1 600 万元购 得一块土地， 在该土地上建造 10 幢楼房的住宅小区， 每幢楼的楼层数相同， 且每层建筑面积均为 1 000 平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第 x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中 k 为 常数) ．经测算，若每幢楼为 5 层，则该小区每平方米的平均综合费用为 1 270 元. (每平方米平均 购地费用+所有建筑费用 综合费用＝ )． 所有建筑面积 （1）求 k 的值； （2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这 10 幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？

x2 ? y 2 ? 1. 21． （本小题满分 13 分）已知椭圆 ? ： 4

(1) 椭圆 ? 的短轴端点分别为 A , B (如图)，直线 AM , BM 分别与椭圆 ? 交于 E , F 两点，其中点 M ? m ,

? ?

1? ? 满足 m ? 0 ，且 m ? ? 3 . 2?

①证明直线 E F 与 y 轴交点的位置与 m 无关； ②若? BME 面积是? AMF 面积的 5 倍，求 m 的值；

·4 ·

(2)若圆 ? : x ? y ? 4 . l1 , l 2 是过点 P(0,?1) 的两条互相垂直的直线,其中 l1 交圆 ? 于 T 、 R 两

2 2

点, l 2 交椭圆 ? 于另一点 Q .求 ?TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程.

22． （本小题满分 13 分）已知函数 f（x）＝2lnx+ax －1（a∈R） (Ⅰ)求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 a＝1，分别解答下面两题， （i）若不等式 f（1+x）+f（1－x）＜m 对任意的 0＜x＜1 恒成立，求 m 的取值范围； （ii）若 x1，x2 是两个不相等的正数，且 f（x1）+f（x2）＝0，求证 x1+x2>2.

2

长沙县实验中学 2014 届高三数学（理科）月考试卷 参考答案

一、选择题：

二、填空题： 9. 2 13.

9 64

10.

3 7 4

11. 3 0.32

1 15. [? , 2) 4

12. 3

16. 10 ， 30 ．

14.

三、解答题：

·5 ·

18. 解 ： (1) x ?

87 ? 90 ? 91 ? 92 ? 95 ? 91, （1 分） 5 86 ? 89 ? 89 ? 92 ? 94 y? ? 90, （2 分） 5

? ( xi ? x ) ? (?4)2 ? (?1)2 ? 02 ? 1 ? 42 ? 34,

i ?1

5

2

? ( x ? x )( y ? y ) ? (?4) ? (?4) ? (?1) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 1? 2 ? 4 ? 4 ? 35,

i ?1 i i

5

b?

35 ? 1.03, 34

a ? y ? bx ? 90 ? 1.03 ? 91 ? 3.73

(6 分)

故回归直线方程为 y ? 1.03x ? 3.73 (2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.

P(? ? 0) ?

2 C2 1 ? ; 2 C4 6

（7 分）

P (? ? 1) ?

·6 ·

1 1 C2 C2 2 ? ; （8 分） 2 C4 3

[来源:学科网]

P(? ? 2) ?

2 C2 1 ? . （9 分） 2 C4 6

故 X 的分布列为

?

P

0

1

2

1 2 1 6 3 6 1 2 1 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1. 6 3 6

（12 分）

[来源:学科网]

19.解：(（1）证明 1：因为 AB ? 2BC ， ?ABC ? 60

?

在△ ABC 中，由余弦定理可得 AC ? 3BC ．?????????????2 分 所以 AC ? BC ? AB ．

2 2 2

所以 AC ? BC ．?????????????????????3 分 因为 AC ? FB ， BF ? BC ? B ， BF 、 BC ? 平面 FBC ， 所以 AC ? 平面 FBC ．???????????????5 分

? ? 证明 2：因为 ?ABC ? 60 ，设 ?BAC ? ? 0 ? ? ? 120 ，则 ?ACB ? 120 ? ? ．

? ?

?

?

在△ ABC 中，由正弦定理，得

BC AB ? ．????????1 分 sin ? sin ?120? ? ? ?

?

因为 AB ? 2BC ，所以 sin 120 ? ? ? 2sin ? ． 整理得 tan ? ?

?

?

3 ? ，所以 ? ? 30 ．??????????????2 分 3

所以 AC ? BC ．???????????????????3 分 因为 AC ? FB ， BF ? BC ? B ， BF 、 BC ? 平面 FBC ， 所以 AC ? 平面 FBC ．????????????????5 分

（2）解法 1：由（1）知， AC ? 平面 FBC ， FC ? 平面 FBC ， 所以 AC ? FC ． 因为平面 CDEF 为正方形，所以 CD ? FC ．

·7 ·

因为 AC ? CD ? C ，所以 FC ? 平面 ABCD ．???????????7 分 取 AB 的中点 M ，连结 MD ， ME ， 因为 ABCD 是等腰梯形，且 AB ? 2BC ， ?DAM ? 60 ，

?

所以 MD ? MA ? AD ．所以△ MAD 是等边三角形，且 ME ? BF ． 取 AD 的中点 N ，连结 MN ， NE ，则 MN ? AD ． 因为 MN ? 平面 ABCD ， ED ? FC ，所以 ED ? MN ． 因为 AD ? ED ? D ，所以 MN ? 平面 ADE ． 所以 ?MEN 为直线 BF 与平面 ADE 所成角．???????10 分 A D N M C B E F

因为 NE ? 平面 ADE ， 所以 MN ? NE ． 因为 MN ?

3 AD ，ME ? MD 2 ? DE 2 ? 2 AD 2

在 Rt △ MNE 中， sin ?MEN ?

MN 6 ? ME 4

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

6 ．????????12 分 4

解法 2：由（1）知， AC ? 平面 FBC ， FC ? 平面 FBC ， 所以 AC ? FC ． 因为平面 CDEF 为正方形，所以 CD ? FC ． 因为 AC ? CD ? C ，所以 FC ? 平面 ABCD ．????????7 分 所以 CA ， CB ， CF 两两互相垂直， 建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz ． 因为 ABCD 是等腰梯形，且 AB ? 2BC ， ?ABC ? 60 所以 CB ? CD ? CF ． 不妨设 BC ? 1 ，则 B ? 0,1, 0 ? ， F ? 0, 0,1? ， A

?

[来源:Z,xx,k.Com]

E

z

F

D

C B y

?

3, 0, 0 ，

?

x A

? 3 1 ? ? 3 1 ? D? ? 2 ,? 2 ,0? ?，E? ? 2 , ? 2 ,1 ? ?， ? ? ? ?

·8 ·

20. 解 ： ： （Ⅰ）当每栋楼建为 5 层时,那么每栋楼的建筑费用为：

{(k ? 1 ? 800 ) ? (k ? 2 ? 800 ) ? (k ? 3 ? 800 ) ? (k ? 4 ? 800 ) ? (k ? 5 ? 800 )} ? 1000

??????（1 分）

? (15k ? 5 ? 800 ) ? 1000 ? 5(3k ? 800 ) ? 1000

所有 10 栋楼的建筑总费用为： 50(3k ? 800 ) ? 1000 ??????（2 分） 所有楼房的建筑总面积为 10 ? 5 ?1000 所以该小区楼房每平方米的平均综合费用为 ??（3 分）

1600 ? 10000 ? 50(3k ? 800 ) ? 1000 1600 ? 5(3k ? 800 ) ? 10 ? 5 ? 1000 5 ? 320 ? 3k ? 800 ? 1270

所以 k ? 50 ??????（6 分） （Ⅱ）假设将这 10 栋楼房都建设为 n 层，那么我们需要弄清楚以下几个问题： （1） 每栋楼的建筑费用：

[50(1 ? 2 ? 3 ? ......? n) ? 800 n] ? 1000 ? [50 ?

??????（8 分） n(n ? 1) ? 800 n] ? 10000 ? [25n(n ? 1) ? 800 n] ? 1000 2

（2） 这 10 栋楼的总建筑面积 10000n 平方米??????（9 分）

·9 ·

（3） 所以该小区楼房每平方米的平均综合费用为 ：

1600 ? 10000 ? [25 n(n ? 1) ? 800 n] ? 10000 1600 ? 25 n(n ? 1) ? 800 n ? 10000 n n （11 分） 1600 1600 ? ? 25n ? 800 ? 25 ? 2 ? 25n ? 800 ? 25 ? 1250 (元) n n

当且仅当

1600 ? 25n ( n ? N ? ) ，即 n ? 8 时平均综合费用最小，最小值为 1250 元 n

???（13 分）

21.解：解： （1）①因为 A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

1 )，且 m ? 0 ， 2 1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , ?直 线 AM 的斜率为 k1= ? 2m 2m 3 ?直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 , 2m 2m

??1 分

? x2 ? y 2 ? 1, 4m ? ? 4m m 2 ? 1 ? 由? 4 得 m 2 ? 1 x 2 ? 4mx ? 0 ，? x ? 0, x ? 2 , ?E ? 2 , 2 ?, m ?1 ? m ?1 m ?1 ? ? y ? ? 1 x ? 1, 2m ?

?

?

? x2 ? y 2 ? 1, 由? 4 得 m 2 ? 9 x 2 ? 12mx ? 0 ， ? 3 ?y ? x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

12m 12m 9 ? m 2 ? ； , ?F ? , 2 2 ? ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9?

2

??3 分

据已知， m ? 0, m ? 3 ，

m2 ? 1 9 ? m2 2 ? 2 2 ?直线 EF 的斜率 k ? 1 ? m2 9 ? m2 ? (m ? 3)(m ? 3) ? ? m ? 3 , 4m 4m 12m ?4m(m2 ? 3) ? 2 2 1? m 9 ? m

?直线 EF 的方程为

y?

m2 ? 1 m2 ? 3 ? 4m ? ?? ?x? 2 ?, 2 m ?1 4m ? m ?1 ?

令 x=0,得 y ? 2, ? EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关. ② S?AMF ?

??4 分

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME , 2 2

·10·

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ，? 5 | MA | ? | MB | ,

| ME | | MF |

?

5m m ? ,? m?0， 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2

?整理方程得

1 15 ? 2 ? 1 ，即 (m2 ? 3)(m2 ? 1) ? 0 ， m ?1 m ? 9

2

又有 m ? ? 3 ，? m2 ? 3 ? 0 ， ? m 2 ? 1 ，? m ? ?1 为所求.

??8 分

(2) 因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 直线 l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 , k

??10 分

所以圆心 (0, 0) 到直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

1 1? k2

；

,

所以直线 l1 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 所截的弦 TR ? 2 4 ? d ?

2

2 3 ? 4k 2 1? k 2

? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4

8k xQ ? xP ? ? 2 k ?4

所以 S ?TRQ ?

1 64 k 2 8 k2 ?1 ? 2 所以 QP ? (1 ? 2 ) 2 k (k ? 4) 2 k ?4

??12 分

1 8 4k 2 ? 3 QP TR ? ? 2 k2 ?4

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3

?

32 16 ? 13 2 13 13

当 4k ? 3 ?

2

13 4k ? 3

2

? k2 ?

5 10 ?k?? 时等号成立, 2 2

??13 分

此时直线 l1 : y ? ?

10 x ?1 2

22.解： (Ⅰ)f(x)的定义域为 (0, ??) ， f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0, ? x ? 0 ，? 2ax 2 ? 2 ? 0 ，

2 ? 2ax ， x

??????1 分

·11·

①当 a ? 0 时， f ( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立，? f(x)递增区间是 (0, ??) ；

/

②当 a ? 0 时，? 2ax ? 2 ? 0 ? x ? ?

2 2

1 1 1 ?? ? ?x? ? , a a a

???4 分

又 x>0, ? f ( x) 递增区间是 (0, （Ⅱ） （ⅰ）

?a ?a ) ，递减区间是 ( , ??) . ?a ?a

设 F ( x) ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) ? (1 ? x) ? 1 ? 2 ln(1 ? x) ? (1 ? x) ? 1 ,

2 2

3 化简得： F ( x) ? 2 ln(1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) ? 2 x 2 , F / ( x) ? 2 ? 2 ? 4 x ? ? 4 x 2 ,?6 分 1? x 1? x 1? x

? 0 ? x ? 1 ，? F / ( x) ? 0 在 0 ? x ? 1 上恒成立，? F ( x) 在 x ? (0,1) 上单调递减，

所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ，? m ? 0 ,即 m 的取值范围是 [0,??) （ⅱ）? f (1) ? 0 ， f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,

[来源:Zxxk.Com]

.?????8 分

①若 x1 , x2 ? (0,1) ，则 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 与已知 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 矛 盾, ②若 x1 , x2 ? (1, ??) ，则 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 与已知 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 矛 盾, ③若 x1 ? 1 ，则 f ( x1 ) ? 0 ，又 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ，? f ( x2 ) ? 0 得 x2 ? 1 与 x1 ? x2 矛盾, ④不妨设 0 ? x1 ? 1 ? x2 ，则由（Ⅱ）知当 0 ? x ? 1 时, f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 0 , 令 1 ? x ? x1 ，则 f (2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f (2 ? x1 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 又 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增，? 2 ? x1 ? x2 , 即 x1 ? x2 ? 2 . 证 2： f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? 2 ln x1 ? x12 ? 1 ? 2 ln x2 ? x2 2 ? 1 ? 0 ????13 分

? 2 ln x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 2 ? 0 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 2 ln x1 x2 ? 2 ,

·12·

·13·