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湖南省长沙县实验中学2014届高三下学期第一次模拟数学(理)试题


湖南省长沙县实验中学 2014 届高三下学期第一次模拟 数学(理)试题
本试卷包括选择题、填空题和解答 题三部分,共 4 页 22 小题,时量 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {1,2,3} ,错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ,则 B 中所含元素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.6 )

2.在复平面内,复数错误!不能通过编辑域代码创建对象。对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.以 q 为公比的等比数列{ an }中, a1 >0,则“ a1 ? a3 ”是“q>1”的 A. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 B. 充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图 1 所示,则该几何体的三视图为(

5.两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢 局次的不同视为不同情形)共有( A.30 种 B.20 种 ) C.15 种 D.10 种

6 . 对 于 函 数 f ( x) ? 4 x ? m ? 2 x ?1 , 若 存 在 实 数 错 误 ! 不 能 通 过 编 辑 域 代 码 创 建 对 象 。 ,使得

f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) 成立,则实数错误!不能通过编辑域代码创建对象。的取值范围是(
A. m ≤1 B.错误!不能通过编辑域代码创建对象。 C.

)

m≤

1 2

D. 错误!不能通过编辑域代码创建对象。

x2 y 2 7.已知 F1 ,错误!不能通过编辑域代码创建对象。分别为双曲线 2 ? 2 ? 1 错误!不能通过编辑域 a b 代码创建对象。 , b ? 0) 的左、右焦点,若在右支上存在点错误!不能通过编辑域代码创建对象。 , 使得点 F 到直线错误!不能通过编辑域代码创建对象。的距离为 2a ,则该双曲线的离心率的取值
2

·1 ·

范围是(

) B. (1, 2] C .错误 ! 不能通过编辑域

A.错误!不能通过编辑域代码创建对象。 代码创建对象。 D. [ 2 ,??)

8 .已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 对任意的 x 都满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ),当 ?1 ≤x< 1 时,

f ( x) ? x3 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? log a x 至少 6 个零点,则 a 的取值范围是(
A. (0, ]? (5, ??)



1 5

B.(0, ) ? [5, ??)

1 5

C. ( , ]? (5, 7)

1 1 7 5

D. ( , ) ? [5, 7)

1 1 7 5

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分.
(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分) 9. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 M(4, ____, 10. (几何证明选讲选做题)如图,⊙O 的直径 AB=4,C 为圆周上一点,

? ? )到曲线 ? cos( ? ? ) ? 2 上的点最短距离为 3 3

AC=3,CD 是⊙O 的切线,BD⊥CD 于 D,则 CD=
2


2 2

11.(不等式选讲选做题) 设 x,y,z∈R,且满足:x +4y +9z =3, 则 x+2y+ 3z 的最大值为________ (二)必做题(12-16 题) 12. 已知 t ? 0 ,若

? (2x ?1)dx ? 6 ,则 t 的值等于
0
2

t

13. 已知函数 f(x)=-x +ax-2b.若 a,b 都是区间[0,4]内的数, 则使 f(1)>0 成立的概率是 .

14. 我市教育管理部门用问卷调查的方式对市区 1000 名中学生开展 了‘我爱读名著”活动情况调查,x(单位:小时)表示平均半学年 度课外读书时间,现按读书时间分下列四种情况进行统计: ① 0 ~ 10 小时; ②10 ~ 20 小时; ③20 ~ 30 小时;④30 小时以上。 如右图是此次调查中数据统计过程的算法框图, 已知输出的结果是 680, 则平均半学年度课外读书时间不超过 20 小时的学生的频率是_______.

15. 设 O 是 ?ABC 的三边中垂线的交点, a, b, c 分别为角 A, B, C 对应的边,已知 b ? 2b ? c ? 0 ,则
2 2

·2 ·

BC ? AO 的范围是___________________.

??? ???

16.如图所示一系列数表依次是三项式(a+b+c) (n=0,1,2,3,?)展开式系数按一定 规律排列 所得,可发现数表的第 k 行共有 k 个数.依此类推,数表 6 的第 3 行第 1 个数为 , 数表 6 的第 5 行第 3 个数为 .

n

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x(m ? 0) 的最大值为 2. (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上 的单调递减区间; (Ⅱ) ?ABC 中, f ( A ?

?

) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 4 4

?

C ? 600 , c ? 3 ,求 ?ABC 的面积.
18. (本小题满分 12 分)我校高二一次考试中,5 名同学的语文、英语成绩如下表所示: 学生 语文( x 分) 英语( y 分)

S1
87 86

S2
90 89

S3
91 89

S4
92 92

S5
95 94
[来源:学&科&网]

(1) 根据表中数据,求英语分 y 对语文分 x 的线性回归方程; (2) 要从 4 名语文成绩在 90 分(含 90 分)以上的同学中选出 2 名参加一项活动,以 ? 表示选中 的同学的英语成绩高于 90 分的人数,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

·3 ·

(附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b?

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

, a ? y ? bx , 其中 x , y 为样本平均值, b, a
E F

2

的值的结果保留二位小数.)

19. (本小题满分 12 分)在如右图的几何体中, 四边形 CDEF 为正方形,四边形 ABCD 为等腰梯形, A

D

C B 19 题 图6

AB ∥ CD , AB ? 2BC , ?ABC ? 60? , AC ? FB .
(1)求证: AC ? 平面 FBC ; (2)求直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 13 分)为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用 1 600 万元购 得一块土地, 在该土地上建造 10 幢楼房的住宅小区, 每幢楼的楼层数相同, 且每层建筑面积均为 1 000 平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第 x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中 k 为 常数) .经测算,若每幢楼为 5 层,则该小区每平方米的平均综合费用为 1 270 元. (每平方米平均 购地费用+所有建筑费用 综合费用= ). 所有建筑面积 (1)求 k 的值; (2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这 10 幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?

x2 ? y 2 ? 1. 21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 ? : 4
(1) 椭圆 ? 的短轴端点分别为 A , B (如图),直线 AM , BM 分别与椭圆 ? 交于 E , F 两点,其中点 M ? m ,

? ?

1? ? 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2?

①证明直线 E F 与 y 轴交点的位置与 m 无关; ②若? BME 面积是? AMF 面积的 5 倍,求 m 的值;
·4 ·

(2)若圆 ? : x ? y ? 4 . l1 , l 2 是过点 P(0,?1) 的两条互相垂直的直线,其中 l1 交圆 ? 于 T 、 R 两
2 2

点, l 2 交椭圆 ? 于另一点 Q .求 ?TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程.

22. (本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=2lnx+ax -1(a∈R) (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=1,分别解答下面两题, (i)若不等式 f(1+x)+f(1-x)<m 对任意的 0<x<1 恒成立,求 m 的取值范围; (ii)若 x1,x2 是两个不相等的正数,且 f(x1)+f(x2)=0,求证 x1+x2>2.

2

长沙县实验中学 2014 届高三数学(理科)月考试卷 参考答案
一、选择题:

二、填空题: 9. 2 13.
9 64

10.

3 7 4

11. 3 0.32
1 15. [? , 2) 4

12. 3
16. 10 , 30 .

14.

三、解答题:

·5 ·

18. 解 : (1) x ?

87 ? 90 ? 91 ? 92 ? 95 ? 91, (1 分) 5 86 ? 89 ? 89 ? 92 ? 94 y? ? 90, (2 分) 5

? ( xi ? x ) ? (?4)2 ? (?1)2 ? 02 ? 1 ? 42 ? 34,
i ?1

5

2

? ( x ? x )( y ? y ) ? (?4) ? (?4) ? (?1) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 1? 2 ? 4 ? 4 ? 35,
i ?1 i i

5

b?

35 ? 1.03, 34

a ? y ? bx ? 90 ? 1.03 ? 91 ? 3.73
(6 分)

故回归直线方程为 y ? 1.03x ? 3.73 (2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.

P(? ? 0) ?

2 C2 1 ? ; 2 C4 6

(7 分)

P (? ? 1) ?
·6 ·

1 1 C2 C2 2 ? ; (8 分) 2 C4 3

[来源:学科网]

P(? ? 2) ?

2 C2 1 ? . (9 分) 2 C4 6

故 X 的分布列为

?
P

0

1

2

1 2 1 6 3 6 1 2 1 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1. 6 3 6

(12 分)

[来源:学科网]

19.解:((1)证明 1:因为 AB ? 2BC , ?ABC ? 60

?

在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC .?????????????2 分 所以 AC ? BC ? AB .
2 2 2

所以 AC ? BC .?????????????????????3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .???????????????5 分
? ? 证明 2:因为 ?ABC ? 60 ,设 ?BAC ? ? 0 ? ? ? 120 ,则 ?ACB ? 120 ? ? .
? ?

?

?

在△ ABC 中,由正弦定理,得

BC AB ? .????????1 分 sin ? sin ?120? ? ? ?
?

因为 AB ? 2BC ,所以 sin 120 ? ? ? 2sin ? . 整理得 tan ? ?

?

?

3 ? ,所以 ? ? 30 .??????????????2 分 3

所以 AC ? BC .???????????????????3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .????????????????5 分

(2)解法 1:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC .
·7 ·

因为 AC ? CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .???????????7 分 取 AB 的中点 M ,连结 MD , ME , 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?DAM ? 60 ,
?

所以 MD ? MA ? AD .所以△ MAD 是等边三角形,且 ME ? BF . 取 AD 的中点 N ,连结 MN , NE ,则 MN ? AD . 因为 MN ? 平面 ABCD , ED ? FC ,所以 ED ? MN . 因为 AD ? ED ? D ,所以 MN ? 平面 ADE . 所以 ?MEN 为直线 BF 与平面 ADE 所成角.???????10 分 A D N M C B E F

因为 NE ? 平面 ADE , 所以 MN ? NE . 因为 MN ?

3 AD ,ME ? MD 2 ? DE 2 ? 2 AD 2

在 Rt △ MNE 中, sin ?MEN ?

MN 6 ? ME 4

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

6 .????????12 分 4

解法 2:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC ? CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .????????7 分 所以 CA , CB , CF 两两互相垂直, 建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz . 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 所以 CB ? CD ? CF . 不妨设 BC ? 1 ,则 B ? 0,1, 0 ? , F ? 0, 0,1? , A
?
[来源:Z,xx,k.Com]

E

z

F

D

C B y

?

3, 0, 0 ,

?

x A

? 3 1 ? ? 3 1 ? D? ? 2 ,? 2 ,0? ?,E? ? 2 , ? 2 ,1 ? ?, ? ? ? ?
·8 ·

20. 解 : : (Ⅰ)当每栋楼建为 5 层时,那么每栋楼的建筑费用为:

{(k ? 1 ? 800 ) ? (k ? 2 ? 800 ) ? (k ? 3 ? 800 ) ? (k ? 4 ? 800 ) ? (k ? 5 ? 800 )} ? 1000
??????(1 分)

? (15k ? 5 ? 800 ) ? 1000 ? 5(3k ? 800 ) ? 1000
所有 10 栋楼的建筑总费用为: 50(3k ? 800 ) ? 1000 ??????(2 分) 所有楼房的建筑总面积为 10 ? 5 ?1000 所以该小区楼房每平方米的平均综合费用为 ??(3 分)

1600 ? 10000 ? 50(3k ? 800 ) ? 1000 1600 ? 5(3k ? 800 ) ? 10 ? 5 ? 1000 5 ? 320 ? 3k ? 800 ? 1270
所以 k ? 50 ??????(6 分) (Ⅱ)假设将这 10 栋楼房都建设为 n 层,那么我们需要弄清楚以下几个问题: (1) 每栋楼的建筑费用:

[50(1 ? 2 ? 3 ? ......? n) ? 800 n] ? 1000 ? [50 ?
??????(8 分) n(n ? 1) ? 800 n] ? 10000 ? [25n(n ? 1) ? 800 n] ? 1000 2

(2) 这 10 栋楼的总建筑面积 10000n 平方米??????(9 分)
·9 ·

(3) 所以该小区楼房每平方米的平均综合费用为 :

1600 ? 10000 ? [25 n(n ? 1) ? 800 n] ? 10000 1600 ? 25 n(n ? 1) ? 800 n ? 10000 n n (11 分) 1600 1600 ? ? 25n ? 800 ? 25 ? 2 ? 25n ? 800 ? 25 ? 1250 (元) n n
当且仅当

1600 ? 25n ( n ? N ? ) ,即 n ? 8 时平均综合费用最小,最小值为 1250 元 n
???(13 分)

21.解:解: (1)①因为 A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

1 ),且 m ? 0 , 2 1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , ?直 线 AM 的斜率为 k1= ? 2m 2m 3 ?直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 , 2m 2m

??1 分

? x2 ? y 2 ? 1, 4m ? ? 4m m 2 ? 1 ? 由? 4 得 m 2 ? 1 x 2 ? 4mx ? 0 ,? x ? 0, x ? 2 , ?E ? 2 , 2 ?, m ?1 ? m ?1 m ?1 ? ? y ? ? 1 x ? 1, 2m ?

?

?

? x2 ? y 2 ? 1, 由? 4 得 m 2 ? 9 x 2 ? 12mx ? 0 , ? 3 ?y ? x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

12m 12m 9 ? m 2 ? ; , ?F ? , 2 2 ? ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9?
2

??3 分

据已知, m ? 0, m ? 3 ,
m2 ? 1 9 ? m2 2 ? 2 2 ?直线 EF 的斜率 k ? 1 ? m2 9 ? m2 ? (m ? 3)(m ? 3) ? ? m ? 3 , 4m 4m 12m ?4m(m2 ? 3) ? 2 2 1? m 9 ? m

?直线 EF 的方程为

y?

m2 ? 1 m2 ? 3 ? 4m ? ?? ?x? 2 ?, 2 m ?1 4m ? m ?1 ?

令 x=0,得 y ? 2, ? EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关. ② S?AMF ?

??4 分

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME , 2 2
·10·

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,
| ME | | MF |

?

5m m ? ,? m?0, 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2

?整理方程得

1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ? 1) ? 0 , m ?1 m ? 9
2

又有 m ? ? 3 ,? m2 ? 3 ? 0 , ? m 2 ? 1 ,? m ? ?1 为所求.

??8 分

(2) 因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 直线 l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 , k

??10 分

所以圆心 (0, 0) 到直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

1 1? k2


,

所以直线 l1 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 所截的弦 TR ? 2 4 ? d ?
2

2 3 ? 4k 2 1? k 2

? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4

8k xQ ? xP ? ? 2 k ?4
所以 S ?TRQ ?

1 64 k 2 8 k2 ?1 ? 2 所以 QP ? (1 ? 2 ) 2 k (k ? 4) 2 k ?4

??12 分

1 8 4k 2 ? 3 QP TR ? ? 2 k2 ?4

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3

?

32 16 ? 13 2 13 13

当 4k ? 3 ?

2

13 4k ? 3
2

? k2 ?

5 10 ?k?? 时等号成立, 2 2
??13 分

此时直线 l1 : y ? ?

10 x ?1 2

22.解: (Ⅰ)f(x)的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0, ? x ? 0 ,? 2ax 2 ? 2 ? 0 ,

2 ? 2ax , x

??????1 分

·11·

①当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立,? f(x)递增区间是 (0, ??) ;
/

②当 a ? 0 时,? 2ax ? 2 ? 0 ? x ? ?
2 2

1 1 1 ?? ? ?x? ? , a a a
???4 分

又 x>0, ? f ( x) 递增区间是 (0, (Ⅱ) (ⅰ)

?a ?a ) ,递减区间是 ( , ??) . ?a ?a

设 F ( x) ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) ? (1 ? x) ? 1 ? 2 ln(1 ? x) ? (1 ? x) ? 1 ,
2 2
3 化简得: F ( x) ? 2 ln(1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) ? 2 x 2 , F / ( x) ? 2 ? 2 ? 4 x ? ? 4 x 2 ,?6 分 1? x 1? x 1? x

? 0 ? x ? 1 ,? F / ( x) ? 0 在 0 ? x ? 1 上恒成立,? F ( x) 在 x ? (0,1) 上单调递减,
所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,? m ? 0 ,即 m 的取值范围是 [0,??) (ⅱ)? f (1) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,
[来源:Zxxk.Com]

.?????8 分

①若 x1 , x2 ? (0,1) ,则 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 与已知 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 矛 盾, ②若 x1 , x2 ? (1, ??) ,则 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 与已知 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 矛 盾, ③若 x1 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? 0 ,又 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,? f ( x2 ) ? 0 得 x2 ? 1 与 x1 ? x2 矛盾, ④不妨设 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,则由(Ⅱ)知当 0 ? x ? 1 时, f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 0 , 令 1 ? x ? x1 ,则 f (2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f (2 ? x1 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 又 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,? 2 ? x1 ? x2 , 即 x1 ? x2 ? 2 . 证 2: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? 2 ln x1 ? x12 ? 1 ? 2 ln x2 ? x2 2 ? 1 ? 0 ????13 分

? 2 ln x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 2 ? 0 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 2 ln x1 x2 ? 2 ,

·12·

·13·


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