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(寒假总动员)2015年高三数学寒假作业 专题16 概率与统计(学)


(寒假总动员)2015 年高三数学寒假作业 专题 16 概率与统计(学)
学一学------基础知识结论 1.频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事 nA 件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的频率. n (2)对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个 常数记作 P(A),称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率. 2.事件的关系与运算 定义 包含关系 相等关系 并事件(和事件) 符号表示 如果事件 A 发生, 则事件 B 一定发生, 这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A B?A(或 A?B) 包含于事件 B) 若 B?A 且 A?B 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或 事件 B 发生,称此事件为事件 A 与事 件 B 的并事件(或和事件 ) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且 事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与 事件 B 的交事 件(或积事件) 若 A∩B 为不可能事件,则称事件 A 与 事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然 事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对 立事件 A=B A∪B(或 A+B)

交事件(积事件)

A∩B(或 AB)

互斥事件

A∩B=? A∩B=? P(A∪B)= P(A)+P(B)=1

对立事件

3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率 P(E)=1. (3)不可能事件的概率 P(F)=0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件,则 P(A)=1-P(B). 学一学------方法规律技巧 两个区别 一是“互斥事件”与“对立事件”的区别:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件 不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件,如(5)中为互斥事件. 二是“频率”与“概率”:频率与概率有本质的区别,不可混 为一谈.频率随着试验次数的改变而变化,概率却 是一个常数,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频 率就可以近似地当作随机事件的概率. 4.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都 可以表示成基本事件的和. 5.古典概型

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具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.

3.古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数 P(A)= . 基本事件的总数 学一学------方法规律技巧 1.一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典 概型的两个特点——有限性和等可能性,只有同 时具备这两个特点的概型才是古典概型. 2.从集合的角度去看待概率,在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合 I,基本事件的个数 n 就是集合 I 的元素个数,事件 A 是集合 I 的一个包含 m 个元素的子集,故 P(A)= m = . n

学一学------方法规律技巧 1.一个区别 “几何概型”与“古典概型”的区别:基本事件的个数前者是无限的,后者是有限的. 2. 一点提醒 几何概型的试验中, 事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几何度量(长度、 面积或体积)成正比, 而与 A 的位置和形状无关. 7.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 8.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,…, n)的概率 P(X=xi)=pi,则表 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

称为离散型随机变量 X 的概率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i=1,2,…,n);②p1+p2+…+pn=1 9.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布:若随机变量 X 服从两点分布,其分布列为
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X P ,其中 p=P(X=1)称为成功概率.

0 1-p

1 p

Ck MCn N - - k M (2)超几何分布: 在含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件, 其中恰有 X 件次品, 则 P(X=k)= , Cn N k=0,1,2,…,m,其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称随机变量 X 服从超几何分布. X P 0 C0 MCn N - - 0 M Cn N 1 C1 MCn N - - 1 M Cn N … … m Cm MCn N - - m M Cn N

学一学------方法规律技巧 1.离散型随机变量的特点 一是在试验之前不能断言随机变量取什么值,即具有随机性;二是在大量重复试验中能按一定统计规律取 值的变量,即存在统计规律性,如(1)、(3). 2.分布列的两条性质 离散型随机变量的分布列指出了随机变量 X 的取值范围以及取各值的概率,如(6);要理解两种特殊的概率 分布——两点分布与超几何分布,如(4)、(5);并善于灵活运 用两性质:一是 pi≥0(i=1,2,…);二是 p1+ p2+…+pn=1 检验分布列的正误,如(2). 10.条件概率及其性质 条件概率的定义 设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)= 生的条件下,事件 B 发生的条件概率 为在事件 A 发 条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1 (2)若 B,C 是两个互斥 事件,则 P(B ∪ C|A) = P(B|A)+P(C|A)

11.事件的相互独立 性 设 A,B 为两个 事件,如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立. 若事件 A,B 相互独立,则 P(B|A)=P(B);事件 A 与 B , A 与 B, A 与 B 都相互独立. 12.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做 的 n 次试验称为 n 次独立重复试验,若用 Ai(i=1,2,…,n)表示第 i 次试验结果,则 P(A1A2 A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An). (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率为 p,则 P(X=k) =Ck npk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量 X 服从二项分布,记为 X~B(n,p),并称 p 为成功 概率.

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(2)正态总体三个基本概率值 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682_6. ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954_4. ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997_4. 学一学------方法规律技巧 1. 古典概型中, A 发生的条件下 B 发生的条件概率公式为 P(B|A)= = 是一种重要的求条件概率的方法. = , 其中, 在实际应用中 P(B|A)

2.P(A· B)=P(A)· P(B)只有在事件 A、B 相互独立时,公式才成立,此时 P(B)=P(B|A),如(1),(2). 3.判断一个随机变量是否 服从二项分布,要看两点: 一是是否为 n 次独立重复试验.在每次试验中事件 A 发生的概率是否均为 p. 二是随机变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数. 且 P(X=k)=Ck npk(1-p)n-k 表示在独立 重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率. 例 1.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次,设事件 A 表示 向上的一面出现奇数点,事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3,事件 C 表示向上的一面出现的点数 不小于 4,则( ). A.A 与 B 是互斥而非对立事件 B.A 与 B 是对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件 D.B 与 C 是对立事件

例 2. 将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数中至少有一个奇数的概率; (2)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2=15 的外部或圆上 的概率.

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例 3. (2013· 天津卷)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张, 编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率; (2)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列与数学期望. 审题路线 (1)编号为 3 的卡 片来源有两类,利用古典概型求事件的概率.(2)根据任取 4 张卡片的不同情况 确定 X 的所有可能取值,然后求出相应的概率,进而确定分布列、计算数学期望.

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