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高中数学必修5第二章等差数列的前n项和


2.2 等差数列的前 n 项和
(一)教学目标 1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具 体的问题情境中, 发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题; 体会等差数列与一 次函数的关系。 2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍, 引导学生发现等差数列的第 k 项与倒数 第 k 项的和等于首项与末项的和这个规律; 由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简 单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性 质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3.情态与价值:培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。 (二)教学重、难点 重点:探索并掌握等差数列的前 n 项和公式;学会用公式解决一些实际问题,体会等差数列 的前 n 项和与二次函数之间的联系。 难点: 等差数列前 n 项和公式推导思路的获得, 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单 的有关问题 (三)学法与教学用具 学法:讲练结合 教学用具:投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 等差数列在现实生活中比较常见, 因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的 问题。在 200 多年前,历史上最伟大的数学家之一,被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演 了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时,高斯的数学老师提出了下面的问题:1+2+3+?? +100=?当时,当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时,10 岁的高斯却用下面的方法迅速算 出了正确答案: (1+100)+(2+99)+??+(50+51)=101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1,2,3,?,n,?前 100 项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前 n 项的和。 [探索研究] 我们先来看看人们由高斯求前 100 个正整数的方法得到了哪些启发。 人们从高斯那里受 到启发,于是用下面的这个方法计算 1,2,3,?,n,?的前 n 项的和: 由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 + ? + 2 + 1 (n+1)+(n+1)+ ? +(n+1)+(n+1) 可知 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

(n ? 1) ? n 2

上面这种加法叫“倒序相加法” 请同学们观察思考一下:高斯的算法妙在哪里? 高斯的算法很巧妙, 他发现了整个数列的第 k 项与倒数第 k 项的和与首项与尾项的和是相 等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前 n 项和的。 [等差数列求和公式的教学]

3

一 般 地 , 称 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an 为 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和 , 用 S n 表 示 , 即

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an
1、 思考:受高斯的启示,我们这里可以用什么方法去求和呢? 思考后知道,也可以用“倒序相加法”进行求和。 我们用两种方法表示 S n :

S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ? 1)d ], ① S n ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ... ? [an ? (n ? 1)d ], ②
由①+②,得

( 2Sn ? a1 ? an)+(a1 ? an)+(a1 ? an)+...+(a1 ? an) ?????????? ? ?????????? ? ?
n个

? n(a1 ? an )
由此得到等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 S n ?

n(a1 ? a n ) 2

对于这个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前 n 项和了。 2、 除此之外,等差数列还有其他方法(读基础教好学生要介绍) 当然,对于等差数列求和公式的推导,也可以有其他的推导途径。例如:

Sn ? a1 ? a2 ? a3... ? an
= a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ?1)d ] = na1 ? [d ? 2d ? ... ? (n ?1)d ] = na1 ? [1 ? 2 ? ... ? (n ? 1)]d = na1 ?

n(n ? 1) d 2

这两个公式是可以相互转化的。把 an ? a1 ? (n ?1)d 代入 S n ? 到 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

n(a1 ? an ) 中,就可以得 2

引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列的任意的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前 n 项和与它的首项、公差之间的关系,而且是关于 n 的“二次函数” ,可以与二次函数进行比 较。这两个公式的共同点都是知道 a 1 和 n,不同点是第一个公式还需知道 a n ,而第二个公 式是要知道 d,解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

4

[公式运用] (课本 52 页练习 1、2) 1、 根据下列各题中的条件,求相应的等差数列 {an } 的前 n 项和 S. ⑴ a1 ? ?4,a8 ? ?18,n ? 8; ⑵ a1 ? 14.5,d ? 0.7,an ? 32; [例题分析] 例 1、2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市 据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建成不 同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工 程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? ⑴、先阅读题目; ⑵、引导学生提取有用的信息,构件等差数列模型; ⑶、写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解。 解:根据题意,从 2001-2010 年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50 万元.所以,可以建立一个等差数列 {an } ,表示从 2001 年起各年投入的资金,其中

a1 ? 500 ,

d=50.

那么,到 2010 年(n=10) ,投入的资金总额为

Sn ? 10 ? 500 ?

10 ? 10 ? 1 ( ) ? 50 ? 7250 (万元) 2

答:从 2001~2010 年,该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元.

例 2.已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220.由这些条件能确定 这个等差数列的前 n 项和的公式吗? 引导学生分析得到: 等差数列前 n 项和公式就是一个关于 an、a1、n或者a1、n、d 的 方程。若要确定其前 n 项求和公式,则要确定 a1和d 的关系式,从而求得。 分析:将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后,可得到两个关于 a1 与 d 的二元一 次方程,由此可以求得 a1 与 d,从而得到所求前 n 项和的公式. 解:由题意知 将它们代入公式

S10 ? 310,
S n ? na1 ?

S20 ? 1220 ,

(n ? 1 n ) d, 2

5

得到

10a1 ? 45d ? 310, 20a1 ? 190d ? 1220

解这个关于 a1 与 d 的方程组,得到 a1 =4,d=6, 所以 Sn ? 4n ? 另解: 得

(n ? 1 n ) ? 6 ? 3n 2 ? n 2 a ?a S10 ? 1 n ? 10 ? 310 2

a1 ? a10 ? 62;
S20 ? a1 ? a20 ? 20 ? 1220 2



所以 ②-①,得 所以 代入①得: 所以有

a1 ? a20 ? 122;
10d ? 60 , d ?6



a1 ? 4
Sn ? a1n ? (n ? 1 n ) d ? 3n 2 ? n 2

例题评述:此例题目的是建立等差数列前 n 项和与解方程之间的联系.已知几个量,通 过解方程,得出其余的未知量. 例 3 已知数列 {an } 的前 n 项为 S n ? n ?
2

1 n ,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数 2

列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:根据 与

Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an?1 ? an Sn?1 ? a1 ? a2 ? ... ? an?1 >1) (n
2

可知,当 n>1 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 1 ?
2

1 1 1 n ?(n ? 1 2 ? (n ? 1 ] ? 2n ? [ ) ) 2 2 2
也满足①式.



1 3 ?1 ? 2 2

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 由此可知,数列 {an } 是一个首项为

1 . 2

3 ,公差为 2 的等差数列。 2

这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前 n 项和 Sn ,可求出通项

an ?

a1

(n ? 1 )

Sn ? Sn?1 (n>1)

6

用这种数列的 Sn 来确定 an 的方法对于任何数列都是可行的, 而且还要注意 a1 不一定满 足由 Sn ? Sn?1 ? an 求出的通项表达式,所以最后要验证首项 a1 是否满足已求出的 an . 思考:结合例 3,思考课本 51 页“探究” :一般地,如果一个数列 {an } 的前 n 项和为

Sn ? pn2 ? qn ? r. 其中 p、q、r 为常数,且 p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果
是,它的首项与公差分别是什么? 引 导 分 析 得 出 : 观 察 等 差 数 列 两 个 前 n 项 和 公 式 Sn ?

Sn ? a1n ?

(n ? 1 n ) d 2 d d ? n ? a1 ? )n ,公式本身就不含常数项。 ( 2 2 2

a1 ? an n ,和 2

所以得到:如果一个数列前 n 项和公式是常数项为 0,且关于 n 的二次型函数,则这个 数列一定是等差数列.

4 3 例 4 已知等差数列 5, , ,....的前 n 项和为 Sn ,求使得 Sn 最大的序号 n 的值.
分析:等差数列的前 n 项和公式可以写成 S n ? 数y?

2 7

4 7

d 2 d n ? a1 ? )n ,所以 Sn 可以看成函 ( 2 2

d 2 d x ? a1 ? )x(x ? N *) x=n 时的函数值.另一方面,容易知道 Sn 关于 n 的图 ( 当 2 2 4 7 n 5 S n ? [2 ? 5 ? n ? 1 ( )( ? ) ] 2 7
=

象是一条抛物线上的一些点.因此,我们可以利用二次函数来求 n 的值.

4 3 解:由题意知,等差数列 5, , ,....的公差为 ?

2 7

5 ,所以 7

75n ? 5n2 5 15 2 1125 ? ? (n ? ) ? 14 14 2 56
15 最接近的整数即 7 或 8 时, Sn 取最大值. 2

于是,当 n 取与

[随堂练习]课本 52 页“练习”第 1、2、3、4 题 [补充练习] 1、已知数列 ?a n ?, 是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S6,S12-S6,S18-S12 成等差数列,设

k ? N ? , S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 成等差数列吗?
生:分析题意,解决问题. 解:设 ?a n ?, 首项是 a1 ,公差为 d 则: S 6 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a6

7

S12 ? S 6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? (a1 ? 6d ) ? (a 2 ? 6d ) ? (a3 ? 6d ) ? (a 4 ? 6d ) ? (a5 ? 6d ) ? (a6 ? 6d ) ? (a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a 6 ) ? 36d ? S 6 ? 36d S18 ? S12 ? a13 ? a14 ? a15 ? a16 ? a17 ? a18 ? (a7 ? 6d ) ? (a8 ? 6d ) ? (a9 ? 6d ) ? (a10 ? 6d ) ? (a11 ? 6d ) ? (a12 ? 6d ) ? (a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ) ? 36d ? S12 ? S 6 ? 36d ? S 6 , S12 ? S 6 , S18 ? S12为等差数列
同理可得 S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 成等差数列. 2、求集合 m m ? 7n, n ? N * , 且m ? 100 的元素个数,并求这些元素的和。 解由 m=100,得 n ? 100 ? 14 2 7 7 满足此不等式的正整数 n 共有 14 个,所以集合 m 中的元素共有 14 个,从小到大可列为: 7,7×2,7×3,7×4,?7×14 即:7,14,21,28,?98 这个数列是等差数列,记为 ?a n ?, 其中 a1 ? 7, a14 ? 98 ? S14 ? 解由 m=100,得 n ? 100 ? 14 2 7 7 满足此不等式的正整数 n 共有 14 个, 所以集合 m 中的元素共有 14 个, 从小到大可列为: 7,7×2,7×3,7×4,?7×14 即:7,14,21,28,?98 这个数列是等差数列,记为 ?a n ?, 其中 a1 ? 7, a14 ? 98 ? S14 ?

?

?

14 ? (7 ? 98) ? 735 2

14 ? (7 ? 98) ? 735 2

答:集合 m 中共有 14 个元素,它们和等于 735

[课堂小结] 等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d 和 Sn ? na1 ? 2 2

S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 也成等差数列.
(五)评价设计 课本 52 页 A 组第 1、3、6 思考:课本 53 页 B 组第 4 题

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