2．2 等差数列的前 n 项和
（一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具 体的问题情境中， 发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； 体会等差数列与一 次函数的关系。 2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍， 引导学生发现等差数列的第 k 项与倒数 第 k 项的和等于首项与末项的和这个规律； 由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简 单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性 质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。 （二）教学重、难点 重点：探索并掌握等差数列的前 n 项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列 的前 n 项和与二次函数之间的联系。 难点： 等差数列前 n 项和公式推导思路的获得， 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单 的有关问题 （三）学法与教学用具 学法：讲练结合 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 等差数列在现实生活中比较常见， 因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的 问题。在 200 多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演 了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+?? +100=？当时，当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅速算 出了正确答案： （1+100）+（2+99）+??+（50+51）=101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，?，n，?前 100 项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前 n 项的和。 [探索研究] 我们先来看看人们由高斯求前 100 个正整数的方法得到了哪些启发。 人们从高斯那里受 到启发，于是用下面的这个方法计算 1，2，3，?，n，?的前 n 项的和： 由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 + ? + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ ? +（n+1）+（n+1） 可知 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
(n ? 1) ? n 2
上面这种加法叫“倒序相加法” 请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？ 高斯的算法很巧妙， 他发现了整个数列的第 k 项与倒数第 k 项的和与首项与尾项的和是相 等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前 n 项和的。 [等差数列求和公式的教学]
3
一 般 地 ， 称 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an 为 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和 ， 用 S n 表 示 ， 即
S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an
1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？ 思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。 我们用两种方法表示 S n ：
S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ? 1)d ], ① S n ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ... ? [an ? (n ? 1)d ], ②
由①+②，得
（ 2Sn ? a1 ? an）+（a1 ? an）+（a1 ? an）+...+（a1 ? an） ?????????? ? ?????????? ? ?
n个
? n(a1 ? an )
由此得到等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 S n ?
n(a1 ? a n ) 2
对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前 n 项和了。 2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍） 当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：
Sn ? a1 ? a2 ? a3... ? an
= a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ?1)d ] = na1 ? [d ? 2d ? ... ? (n ?1)d ] = na1 ? [1 ? 2 ? ... ? (n ? 1)]d = na1 ?
n(n ? 1) d 2
这两个公式是可以相互转化的。把 an ? a1 ? (n ?1)d 代入 S n ? 到 Sn ? na1 ?
n(n ? 1) d 2
n(a1 ? an ) 中，就可以得 2
引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前 n 项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于 n 的“二次函数” ，可以与二次函数进行比 较。这两个公式的共同点都是知道 a 1 和 n，不同点是第一个公式还需知道 a n ，而第二个公 式是要知道 d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
4
[公式运用] （课本 52 页练习 1、2） 1、 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 {an } 的前 n 项和 S. ⑴ a1 ? ?4，a8 ? ?18，n ? 8； ⑵ a1 ? 14.5，d ? 0.7，an ? 32； [例题分析] 例 1、2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市 据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001 年起用 10 年时间，在全市中小学建成不 同标准的校园网.据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工 程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ ⑴、先阅读题目； ⑵、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型； ⑶、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解。 解：根据题意，从 2001-2010 年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50 万元.所以，可以建立一个等差数列 {an } ，表示从 2001 年起各年投入的资金，其中
a1 ? 500 ，
d=50.
那么，到 2010 年（n=10） ，投入的资金总额为
Sn ? 10 ? 500 ?
10 ? 10 ? 1 （ ） ? 50 ? 7250 （万元） 2
答：从 2001~2010 年，该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元.
例 2．已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220.由这些条件能确定 这个等差数列的前 n 项和的公式吗？ 引导学生分析得到： 等差数列前 n 项和公式就是一个关于 an、a1、n或者a1、n、d 的 方程。若要确定其前 n 项求和公式，则要确定 a1和d 的关系式，从而求得。 分析：将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后，可得到两个关于 a1 与 d 的二元一 次方程，由此可以求得 a1 与 d，从而得到所求前 n 项和的公式. 解：由题意知 将它们代入公式
S10 ? 310，
S n ? na1 ?
S20 ? 1220 ，
（n ? 1 n ） d， 2
5
得到
10a1 ? 45d ? 310， 20a1 ? 190d ? 1220
解这个关于 a1 与 d 的方程组，得到 a1 =4，d=6， 所以 Sn ? 4n ? 另解： 得
（n ? 1 n ） ? 6 ? 3n 2 ? n 2 a ?a S10 ? 1 n ? 10 ? 310 2
a1 ? a10 ? 62；
S20 ? a1 ? a20 ? 20 ? 1220 2
①
所以 ②-①，得 所以 代入①得： 所以有
a1 ? a20 ? 122；
10d ? 60 ， d ?6
②
a1 ? 4
Sn ? a1n ? （n ? 1 n ） d ? 3n 2 ? n 2
例题评述：此例题目的是建立等差数列前 n 项和与解方程之间的联系.已知几个量，通 过解方程，得出其余的未知量. 例 3 已知数列 {an } 的前 n 项为 S n ? n ?
2
1 n ，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数 2
列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解：根据 与
Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an?1 ? an Sn?1 ? a1 ? a2 ? ... ? an?1 ＞1） （n
2
可知，当 n＞1 时， an ? S n ? S n ?1 ? n ? 当 n=1 时， a1 ? S1 ? 1 ?
2
1 1 1 n ?（n ? 1 2 ? （n ? 1 ] ? 2n ? [ ） ） 2 2 2
也满足①式.
①
1 3 ?1 ? 2 2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 由此可知，数列 {an } 是一个首项为
1 . 2
3 ，公差为 2 的等差数列。 2
这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前 n 项和 Sn ，可求出通项
an ?
a1
（n ? 1 ）
Sn ? Sn?1 （n＞1）
6
用这种数列的 Sn 来确定 an 的方法对于任何数列都是可行的， 而且还要注意 a1 不一定满 足由 Sn ? Sn?1 ? an 求出的通项表达式，所以最后要验证首项 a1 是否满足已求出的 an . 思考：结合例 3，思考课本 51 页“探究” ：一般地，如果一个数列 {an } 的前 n 项和为
Sn ? pn2 ? qn ? r. 其中 p、q、r 为常数，且 p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果
是，它的首项与公差分别是什么？ 引 导 分 析 得 出 ： 观 察 等 差 数 列 两 个 前 n 项 和 公 式 Sn ?
Sn ? a1n ?
（n ? 1 n ） d 2 d d ? n ? a1 ? ）n ，公式本身就不含常数项。 （ 2 2 2
a1 ? an n ，和 2
所以得到：如果一个数列前 n 项和公式是常数项为 0，且关于 n 的二次型函数，则这个 数列一定是等差数列.
4 3 例 4 已知等差数列 5， ， ，....的前 n 项和为 Sn ，求使得 Sn 最大的序号 n 的值.
分析：等差数列的前 n 项和公式可以写成 S n ? 数y?
2 7
4 7
d 2 d n ? a1 ? ）n ，所以 Sn 可以看成函 （ 2 2
d 2 d x ? a1 ? ）x（x ? N *） x=n 时的函数值.另一方面，容易知道 Sn 关于 n 的图 （ 当 2 2 4 7 n 5 S n ? [2 ? 5 ? n ? 1 （ ）（ ? ） ] 2 7
=
象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求 n 的值.
4 3 解：由题意知，等差数列 5， ， ，....的公差为 ?
2 7
5 ，所以 7
75n ? 5n2 5 15 2 1125 ? ? （n ? ） ? 14 14 2 56
15 最接近的整数即 7 或 8 时， Sn 取最大值. 2
于是，当 n 取与
[随堂练习]课本 52 页“练习”第 1、2、3、4 题 [补充练习] 1、已知数列 ?a n ?, 是等差数列，Sn 是其前 n 项和，且 S6，S12-S6，S18-S12 成等差数列，设
k ? N ? , S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 成等差数列吗？
生：分析题意，解决问题. 解：设 ?a n ?, 首项是 a1 ，公差为 d 则： S 6 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a6
7
S12 ? S 6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? (a1 ? 6d ) ? (a 2 ? 6d ) ? (a3 ? 6d ) ? (a 4 ? 6d ) ? (a5 ? 6d ) ? (a6 ? 6d ) ? (a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a 6 ) ? 36d ? S 6 ? 36d S18 ? S12 ? a13 ? a14 ? a15 ? a16 ? a17 ? a18 ? (a7 ? 6d ) ? (a8 ? 6d ) ? (a9 ? 6d ) ? (a10 ? 6d ) ? (a11 ? 6d ) ? (a12 ? 6d ) ? (a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ) ? 36d ? S12 ? S 6 ? 36d ? S 6 , S12 ? S 6 , S18 ? S12为等差数列
同理可得 S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 成等差数列. 2、求集合 m m ? 7n, n ? N * , 且m ? 100 的元素个数，并求这些元素的和。 解由 m=100，得 n ? 100 ? 14 2 7 7 满足此不等式的正整数 n 共有 14 个，所以集合 m 中的元素共有 14 个，从小到大可列为： 7，7×2，7×3，7×4，?7×14 即：7，14，21，28，?98 这个数列是等差数列，记为 ?a n ?, 其中 a1 ? 7, a14 ? 98 ? S14 ? 解由 m=100，得 n ? 100 ? 14 2 7 7 满足此不等式的正整数 n 共有 14 个， 所以集合 m 中的元素共有 14 个， 从小到大可列为： 7，7×2，7×3，7×4，?7×14 即：7，14，21，28，?98 这个数列是等差数列，记为 ?a n ?, 其中 a1 ? 7, a14 ? 98 ? S14 ?
?
?
14 ? (7 ? 98) ? 735 2
14 ? (7 ? 98) ? 735 2
答：集合 m 中共有 14 个元素，它们和等于 735
[课堂小结] 等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 S n ?
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d 和 Sn ? na1 ? 2 2
S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 也成等差数列.
（五）评价设计 课本 52 页 A 组第 1、3、6 思考：课本 53 页 B 组第 4 题
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