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[配套k12学习]2018北师大版高中数学必修一学案:第二章 4 二次函数性质的再研究


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学习目标

1.掌握配方法,理解 a,b,c(或 a,h,k)对二次函数图像的作用.2.理解由 y=x2

到 y=a(x+h)2+k 的图像变换方法.3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式 .4. 掌握二次函数的性质.

知识点一 二次函数的配方法 思考 y=4x2-4x-1 如何配方?你能由此求出方程 4x2-4x-1=0 的根吗?

4ac-b b 梳理 对于一般的二次函数 y=ax +bx+c(a≠0),可类似地配方为 y=a(x+ )2+ , 2a 4a
2 2

由此可得二次函数的值域、顶点等性质,y=x2 与 y=ax2+bx+c 图像间的关系以及二次方程 求根公式等.所以配方法是非常重要的数学方法. 知识点二 图像变换 思考 y=x2 和 y=2(x+1)2+3 的图像之间有什么关系?

4ac-b2 b 梳理 由 y=x 的图像各点纵坐标变为原来的 a 倍,左移 个单位,上移 个单位,可 2a 4a
2

4ac-b b 得 y=a(x+ )2+ 的图像,即 y=ax2+bx+c 的图像. 2a 4a
2

知识点三 二次函数的三种形式 思考 我们知道 y=x2-2x=(x-1)2-1=(x-2)x,那么点(1,-1),数 0,2 是 y=x2-2x 的什 么?

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梳理

(1)二次函数的一般式 y=ax2+bx+c(a≠0).

(2)如果已知二次函数的顶点坐标为(-h,k),则可将二次函数设为 y=a(x+h)2+k. (3)如果已知方程 ax2+bx+c=0 的两根 x1,x2(即抛物线与 x 轴交点横坐标),可设为 y=a(x -x1)(x-x2). 知识点四 二次函数的性质 函数 二次函数 y=ax2+bx+c=a(x+ b 2 4ac-b )+ (a, b, c 是常数, 且 a≠0) 2a 4a
2

图像

开口 对称轴方程 顶点坐标 (-

向上 b x=- 2a b 4ac-b , ) 2a 4a
2

向下 b x=- 2a (- b 4ac-b , ) 2a 4a
2

性 质 单调性

b 在区间(-∞,- ]上是减函 2a 数,在区间[- 增函数 b 当 x=- 时, y 有最小值, ymin 2a 4ac-b2 = 4a b ,+∞)上是 2a

b 在区间(-∞,- ]上是增函数,在 2a 区间[- b ,+∞)上是减函数 2a

最值

b 当 x=- 时,y 有最大值,ymax= 2a 4ac-b2 4a

类型一 二次函数解析式的求解 例 1 已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与 x 轴相交于点 A(-3,0), 对称轴为 x=-1, 顶点 M 到 x 轴的距离为 2,求此函数的解析式.

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反思与感悟

求二次函数解析式的步骤

跟踪训练 1

(1)y=ax2+6x-8 与直线 y=-3x 交于点 A(1,m),求 a.

(2)f(x)=x2+bx+c,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求 f(x).

类型二 二次函数的图像及变换 例 2 由函数 y=x2 的图像如何得到 f(x)=-x2+2x+3 的图像.

引申探究 利用 f(x)=-x2+2x+3 的图像比较 f(-1),f(2)的大小.

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反思与感悟

处理二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像问题,主要是考虑其图像特征如开

口、顶点、与 x 轴、y 轴交点、对称轴等与系数 a,b,c 之间的关系. 在图像变换中,记住“h 正左移,h 负右移,k 正上移,k 负下移”. 跟踪训练 2 二次函数 f(x)=x2+bx+c 的图像向左平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位 长度,得到二次函数 f(x)=x2-2x+1 的图像,则 b=______,c=______. 类型三 二次函数的性质 1 3 例 3 已知函数 f(x)= x2-3x- : 2 4 (1)求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值; (2)若 x∈[1,4],求函数值域.

反思与感悟 解析式、图像、性质三者各有特点又联系紧密,应用时在三者间灵活转化可使 问题更易解决. 跟踪训练 3 已知函数 f(x)=ax2+2ax+1 在区间[-1,2]上有最大值 4,求实数 a 的值.

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1.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与 g(x)=bx2+ax+c(b≠0)的图像可能是下图中的(

)

2.设二次函数 y=f(x)满足 f(4+x)=f(4-x),又 f(x)在[4,+∞)上是减函数,且 f(a)≥f(0), 则实数 a 的取值范围是( A.a≥4 C.a<0 3.已知 f(x)=x2+bx+c,且 f(-1)=f(3),则( A.f(1)>c>f(-1) C.c>f(-1)>f(1) ) B.0≤a≤8 D.a<0 或 a≥8 ) B.f(1)<c<f(-1) D.c<f(-1)<f(1)

4.已知二次函数 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,a]且 f(x)的最小值为 f(a),则 a 的取值范围是 ________. 5.根据下列条件,求二次函数 y=f(x)的解析式. (1)图像过点(2,0),(4,0),(0,3); (2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4); (3)过点(1,1),(0,2),(3,5).

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1.配方法是重要的数学方法,在处理二次函数图像变换,研究二次函数性质时使用频繁. 2.二次函数图像变换规律可以推广到一般函数,即: (1)y=f(x) ― ― → y=f(x+a); (2)y=f(x) ― ― → y=f(x)+b; (3)y=f(x)
纵坐标变为原来a倍 上移b个单位 左移a个单位

― ― →

y=af(x)(a>0);

(4)y=f(x) ― ― → y=-f(x); (5)y=f(x) ― ― → y=f(-x).
关于y轴对称

关于x轴对称

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答案精析
问题导学 知识点一 1 1 1 思考 y=4(x2-x)-1=4(x2-x+ - )-1=4(x- )2-2. 4 4 2 令 y=0,即 4x2-4x-1=0, 1 4(x- )2-2=0, 2 1 1 (x- )2= , 2 2 1 2 1± 2 x= ± = . 2 2 2 知识点二 思考 y=x2 的图像各点纵坐标变为原来的 2 倍,可得 y=2x2 的图像;再把 y=2x2 的图像向 左平移 1 个单位,再上移 3 个单位,得 y=2(x+1)2+3 的图像. 知识点三 思考 点(1,-1)是 y=x2-2x 的顶点,数 0,2 是方程 x2-2x=0 的两根. 题型探究 例1 解 方法一 代入 A(-3,0),

有 9a-3b+c=0,① b 由对称轴为 x=-1,得- =-1,② 2a 顶点 M 到 x 轴的距离为|a-b+c-0|=2,③

? 联立①②③解得?b=1, ?c=-3 2

1 a= , 2

? 或?b=-1, , ?c=3 2

1 a=- , 2

1 3 1 3 所以此函数的解析式为 y= x2+x- 或 y=- x2-x+ . 2 2 2 2 方法二 因为二次函数图像的对称轴是 x=-1, 又顶点 M 到 x 轴的距离为 2, 所以顶点的坐 标为(-1,2)或(-1,-2),

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配套 K12 学习(小初高) 故可得二次函数的解析式为 y=a(x+1)2+2 或 y=a(x+1)2-2. 因为图像过点 A(-3,0), 1 1 所以 0=a(-3+1)2+2 或 0=a(-3+1)2-2,解得 a=- 或 a= . 2 2 1 1 3 1 1 3 故所求二次函数的解析式为 y=- (x+1)2+2=- x2-x+ 或 y= (x+1)2-2= x2+x- . 2 2 2 2 2 2 方法三 因为二次函数图像的对称轴为 x=-1, 又图像过点 A(-3,0),所以点 A 关于对称轴的对称点 A′(1,0)也在图像上, 所以可得二次函数的解析式为 y=a(x+3)(x-1). 由题意得顶点坐标为(-1,2)或(-1,-2), 1 1 分别代入上式,解得 a=- 或 a= . 2 2 1 1 3 1 1 故所求二次函数的解析式为 y=- (x+3)(x-1)=- x2-x+ 或 y= (x+3)(x-1)= x2+x- 2 2 2 2 2 3 . 2 跟踪训练 1 解 (1)把 A(1,m)代入 y=-3x,得 m=-3,

把(1,-3)代入 y=ax2+6x-8,得 a+6-8=-3,即 a=-1. (2)方法一 由 f(-4)=f(0), -4+0 知 f(x)的对称轴为 x= =-2, 2 又 f(-2)=-2, ∴顶点坐标为(-2,-2), ∴f(x)=(x+2)2-2=x2+4x+2. 方法二 由 f(-4)=f(0), 可设 f(x)=x(x+4)+c. 代入 x=-2,得 -2×(-2+4)+c=-2,∴c=2. ∴f(x)=x2+4x+2. 配套 K12 学习(小初高)

配套 K12 学习(小初高) 例2 解 f(x)=-x2+2x+3

=-(x2-2x)+3 =-(x2-2x+1-1)+3 =-(x-1)2+4, ∴由 y=x2 的图像关于 x 轴对称, 可得 y=-x2 的图像. 由 y=-x2 的图像向右平移 1 个单位, 向上平移 4 个单位, 可得 y=-(x-1)2+4, 即 y=-x2+2x+3 的图像. 引申探究 解 f(x)图像如图.

由图知越接近对称轴,函数值越大. 由|-1-1| =2>|2-1|=1, 即 f(2)比 f(-1)更接近对称轴, ∴f(2)>f(-1). 跟踪训练 2 -6 6 解析 f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,

其图像顶点为(1,0). 将二次函数 f(x)=x2-2x+1 的图像向下平移 3 个单位长度, 再向右平移 2 个单位长度后的图 像的顶点为(3,-3),得到的抛物线为 y=(x-3)2-3, 即 f(x)=x2+bx+c,

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配套 K12 学习(小初高) ∴(x-3)2-3=x2+bx+c, 即 x2-6x+6=x2+bx+c, ∴b=-6,c=6. 例3 解 1 21 (1)对函数右端的表达式配方,得 f(x)= (x-3)2- , 2 4

21 所以函数图像的顶点坐标为(3,- ), 4 21 对称轴方程为 x=3,最小值为- . 4 (2)由于 3∈[1,4],所以函数在区间[1,3]上是减函数,在[3,4]上是增函数, 所以当 x=3 时,ymin=- 21 , 4

1 21 13 当 x=1 时,ymax= ×4- =- , 2 4 4 21 13 所以函数的值域为[- ,- ]. 4 4 跟踪训练 3 解 f(x)=a(x+1)2+1-a.

当 a=0 时,函数 f(x)在区间[-1,2]上的值不变,恒为常数 1,不符合题意,舍去; 当 a>0 时,函数 f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为 f(2)=8a+1=4, 3 解得 a= ; 8 当 a<0 时,函数 f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为 f(-1)=1-a=4,解得 a=-3. 3 综上,a 的值为-3 或 . 8 当堂训练 1.D 2.B 3.B 4.(2,3]

3 5.解 (1)y= (x-2)(x-4). 8 (2)y=2(x-1)2+2. (3)y=x2-2x+2.

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