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高16级数学直线的斜率与倾斜角练习题1


高 16 级数学直线的斜率与倾斜角练习题
参考答案与试题解析
一.选择题(共 11 小题) 1. (2014?温州模拟)直线 A.30° 的倾斜角 α=( B.60° ) C.120° D.150°

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线方程可得直线的斜率,再由斜率和倾斜角的关系可得所求. 解答: 解:可得直线 的斜率为 k= = ,
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由斜率和倾斜角的关系可得 tanα= 又∵ 0°≤α≤180° ∴ α=30°



故选 A 点评: 本题考查直线的倾斜角,由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键,属基础题. 2.已知两点 A(2,1) ,B(3,3) ,则直线 AB 的斜率为( A .2 B. C. ) D.﹣2

考点: 斜率的计算公式. 专题: 计算题. 分析: 根据两点坐标求出直线 l 的斜率即可. 解答: 解:直线 AB 的斜率 k= =2
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故选:A. 点评: 此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率,是一道基础题. 3.已知一直线斜率为 3,且过 A(3,4) ,B(x,7)两点,则 x 的值为( A .4 B.12 C.﹣6 ) D.3

考点: 斜率的计算公式. 专题: 直线与圆. 分析: 由一直线斜率为 3,且过 A(3,4) ,B(x,7)两点,代入斜率公式,可构造关于 x 的方程,解方程求出 x 值. 解答: 解:若过 AB 的直线斜率为 3,
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=3

解得 x=4 故选 A 点评: 本题考查的知识点是斜率的计算公式,其中根据已知代入斜率公式,构造关于 x 的方程,是解答的关键. 4. (2014?蚌埠二模)已知两条直线 y=ax﹣2 和 3x﹣(a+2)y+1=0 互相平行,则 a 等于( ) A.1 或﹣3 B.﹣1 或 3 C .1 或 3 D.﹣1 或﹣3

考点: 专题: 分析: 解答:

两条直线平行的判定. 计算题. 应用平行关系的判定方法,直接求解即可. 解:两条直线 y=ax﹣2 和 3x﹣(a+2)y+1=0 互相平行,
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所以 解得 a=﹣3,或 a=1 故选 A. 点评: 本题考查两条直线平行的判定,是基础题. 5. (2011?安徽模拟)过点(1,﹣1)且与直线 3x﹣2y=0 垂直的直线方程为( A.3x﹣2y﹣5=0 B.3x﹣2y+5=0 C.2x+3y﹣1=0 ) D.2x+3y+1=0

考点: 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 专题: 计算题;待定系数法. 分析: 利用斜率都存在的两条直线垂直,斜率之积等于﹣1,设出所求直线的方程为 2x+3y+m=0,把点(1,﹣1) 代入 方程得到 m 值,即得所求的直线方程. 解答: 解:设所求直线的方程为 2x+3y+m=0,把点(1,﹣1)代入得 2﹣3+m=0, ∴ m=1,故所求的直线方程为 2x+3y+1=0, 故选 D. 点评: 本题考查两直线垂直的性质,两直线垂直,斜率之积等于﹣1.与直线 3x﹣2y=0 垂直的直线方程为 2x+3y+m=0 的形式.
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6. (2005?陕西)已知过点 A(﹣2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y﹣1=0 平行,则 m 的值为( A .0 B.﹣8 C .2 D.10 考点: 专题: 分析: 解答: 斜率的计算公式. 计算题. 因为过点 A(﹣2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y﹣1=0 平行,所以,两直线的斜率相等. 解:∵ 直线 2x+y﹣1=0 的斜率等于﹣2, ∴ 过点 A(﹣2,m)和 B(m,4)的直线的斜率 K 也是﹣2,
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=﹣2,解得



故选 B. 点评: 本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等,以及斜率公式的应用. 7. (2014?嘉定区三模)已知平面上三条直线 x﹣2y+1=0,x﹣1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面分为六部分, 则实数 k 的个数是( ) A .4 B.3 C .2 D.1 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的斜率. 直线与圆. 画出图形,即可推出结果. 解:画出 x﹣2y+1=0,x﹣1=0,的图象,直线 x+ky=0,为图中红线时, 这三条直线将平面分为六部分,则实数 k 的个数是:3. 故选:B.
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点评: 本题考查直线方程以及直线的位置关系的应用,考查计算能力. 8. (2010?安徽)过点(1,0)且与直线 x﹣2y﹣2=0 平行的直线方程是( A.x﹣2y﹣1=0 B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣2=0 ) D.x+2y﹣1=0

考点: 两条直线平行的判定;直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: 因为所求直线与直线 x﹣2y﹣2=0 平行, 所以设平行直线系方程为 x﹣2y+c=0, 代入此直线所过的点的坐标, 得参数值 解答: 解:设直线方程为 x﹣2y+c=0,又经过(1,0) , ∴ 1﹣0+c=0 故 c=﹣1, ∴ 所求方程为 x﹣2y﹣1=0; 故选 A. 点评: 本题属于求直线方程的问题,解法比较灵活.
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9. (2014?青浦区一模)直线(a +1)x﹣2ay+1=0 的倾斜角的取值范围是 ( A. B. C. [0, ] [ , ] [ , ]

2

) D. [0, ]∪ [ ,π)

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线斜率和倾斜角之间的关系,即可得到结论. 解答: 解:① 当 a=0 时,斜率不存在,即倾斜角为 ;
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② 当 a>0 时,直线的斜率 k= ∴ k≥1, 即直线的倾斜角的取值范围为[ ) .



③ 当 a<0 时,直线的斜率 ∴ k≤﹣1, 即直线的倾斜角的取值范围为( ].



综上,直线的倾斜角的取值范围为



故选:C 点评: 本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系,利用基本不等式求出斜率的取值服务是解决本题的关键. 10.已知点 A(1,1) ,B(﹣1, ) ,直线 l 过原点,且与线段 AB 有交点,则直线 l 的斜率的取值范围为( ) A.[﹣ ,1] B.[1,+∞) C.(﹣∞,﹣ ) D.(﹣∞,﹣ ]∪ [1,+∞) 考点: 斜率的计算公式. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可知:kl>kOA 或 kl<kOB. 解答: 解:∵ kOA= =1, ,直线 l 过原点,且与线段 AB 有交点,
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∴ 直线 l 的斜率的取值范围为(﹣∞,﹣ ]∪ [1,+∞) . 故选:D. 点评: 本题考查了直线的斜率计算公式及其意义,属于基础题. 11. (2014?东昌区二模)已知 b>0,直线(b +1)x+ay+2=O 与直线 x﹣b y﹣1=O 互相垂直,则 ab 的最小值等于 ( ) A .1 B.2 C. D. 考点: 专题: 分析: 解答: 两条直线垂直的判定. 计算题. 由题意可知直线的斜率存在,利用直线的垂直关系,求出 a,b 关系,然后求出 ab 的最小值.
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2

2

解:b>0,两条直线的斜率存在,因为直线(b +1)x+ay+2=O 与直线 x 一 b y 一 1=O 互相垂直, 所以(b +1)﹣ab =0,ab=b+ ≥2
2 2

2

2

故选 B 点评: 本题考查两条直线垂直的判定,考查计算推理能力,是基础题. 二.填空题(共 11 小题) 12. (2013?惠州模拟)已知直线 l 与直线 x﹣y﹣1=0 垂直,则直线 l 的倾斜角 α= 考点: 专题: 分析: 解答:

135° .

两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 计算题. 求出直线 x﹣y﹣1=0 的倾斜角,利用两条直线的垂直关系,求出直线 l 的倾斜角 α 的值. 解:直线 x﹣y﹣1=0 的倾斜角为 45°,因为直线 l 与直线 x﹣y﹣1=0 垂直,所以直线 l 的倾斜角为 135°. 故答案为:135° 点评: 本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系,考查计算能力,是基础题.
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13. (2014?仁寿县模拟)经过点(2,﹣1) ,且与直线 x+y﹣5=0 垂直的直线方程是 x﹣y﹣3=0 . 考点: 两条直线垂直的判定. 分析: 先由两直线垂直(即 k1k2=﹣1)求直线斜率,再利用点斜式求出直线方程即可. 解答: 解:因为直线 x+y﹣5=0 得斜率是﹣1, 则与它垂直直线的斜率是 1, 又直线经过点(2,﹣1) , 所以要求直线方程是 y+1=x﹣2,即 x﹣y﹣3=0. 点评: 本题考查直线垂直的条件及直线方程的形式.
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14. (2014?合肥二模)设直线 2x+y﹣1=0 的倾斜角为 α,则 sin(2α+

)= ﹣



考点: 直线的倾斜角. 专题: 三角函数的求值;直线与圆. 分析: 首先根据直线斜率求出 α 的正切值,然后将 sin(2α+
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)转化为

,根据齐次式弦化切即可求出 sin(2α+ 解答: 解:由直线 2x+y﹣1=0 方程,得直线 2x+y﹣1=0 的斜率 k=﹣2, ∴ tanα=﹣2. 则 sin(2α+ = )=

)的值.

=

=

= =﹣ . .

故答案为:

点评: 本题考查直线斜率的意义,同角三角函数关系,倍角公式等三角恒等变换知识的应用,属于中档题. 15. (2012?松江区三模)直线 x﹣y+1=0 上一点 P 的横坐标是 3,若该直线绕点 P 逆时针旋转 90°得直线 l,则直线 l 的方程是 x+y﹣7=0 . 考点: 专题: 分析: 解答: 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 计算题. 由题意得 直线 l 过点(3,4) ,且与直线 x﹣y+1=0 垂直,利用点斜式求得直线 l 的方程. 解:由题意得 直线 l 过点(3,4) ,且与直线 x﹣y+1=0 垂直,故直线 l 的斜率为﹣1, 利用点斜式求得直线 l 的方程是 y﹣4=﹣1(x﹣3) ,即 x+y﹣7=0, 故答案为 x+y﹣7=0. 点评: 本题考查两直线垂直的性质,用点斜式直线方程.
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16. (2010?镇江模拟)直线 x+ay+6=0 与直线(a﹣2)x+3y+2a=0 平行的充要条件是 a=﹣1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 两条直线平行的判定. 计算题. 由于直线(a﹣2)x+3y+2a=0 的斜率存在,两条直线平行,斜率相等,截距不相等,求解即可. 解:因为直线(a﹣2)x+3y+2a=0 斜率存在,若两直线平行,则 a(a﹣2)=1×3,且 1×2a≠(a﹣2)×6,解
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得 a=﹣1. 故选 A=﹣1 点评: 本题考查两条直线平行的判断,考查逻辑推理能力,是基础题. 17. (2007?上海模拟)若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a﹣1)y+(a ﹣1)=0 平行且不重合,则 a 的值是 ﹣ 1 . 考点: 两条直线平行的判定. 分析: 已知两条直线: l1: A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0. l1∥ l2?
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2

, 根据直线 l1: ax+2y+6=0

与直线 l2:x+(a﹣1)y+(a ﹣1)=0 的方程,代入构造方程即可得到答案. 2 解答: 解:若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a﹣1)y+(a ﹣1)=0 平行 2 则 a(a﹣1)﹣2=0,即 a ﹣a﹣2=0 解得:a=2,或 a=﹣1 又∵ a=2 时,l1:x+y+3=0 与 l2:x+y+3=0 重合 故 a=﹣1 故答案为:﹣1 点评: 两条直线:l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0.l1∥ l2? 或

2

18. (2007?闸北区一模)若三条直线 3x﹣y+2=0,2x+y+3=0,mx+y=0 不能构成三角形,则 m 可取得的值构成的集 合是 {﹣1,2,﹣3} . 考点: 确定直线位置的几何要素;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 当直线 mx+y=0 与直线 3x﹣y+2=0 或 2x+y+3=0 平行时,三条直线不能构成三角形,此时 m=﹣3 或 2;直线 mx+y=0 经过 3x﹣y+2=0 与 2x+y+3=0 的交点点 A 时,也不能构成三角形,此时 m=﹣1,由此可得所求的集 合. 解答: 解:① 当直线 mx+y=0 与直线 3x﹣y+2=0 平行时,三条直线不能构成三角形,此时 m=﹣3; ② 当直线 mx+y=0 与直线 2x+y+3=0 平行时,三条直线不能构成三角形,此时 m=2;
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③ 联解

,得 x=﹣1 且 y=﹣1,得两条直线交点为 A(﹣1,﹣1)

当直线 mx+y=0 经过点 A 时,不能构成三角形,此时 m=﹣1 综上所述,可得 m 可取得的值构成的集合是{﹣1,2,﹣3} 故答案为:{﹣1,2,﹣3} 点评: 本题给出三条直线不能构成三角形,求参数 m 的取值范围.着重考查了直线的方程与直线的位置关系等知 识,属于基础题. 19. (2014?江门一模)已知直线 l 过点 A(2,1)和 B(1,m ) (m∈R) ,则直线 l 斜率的取值范围是 (﹣∞,1] , 倾斜角的取值范围是 [0°,45°]∪ (90°,180°) . 考点: 专题: 分析: 解答: 斜率的计算公式. 直线与圆. 由两点坐标求出直线 l 的斜率,然后由直线倾斜角的正切值等于斜率,结合倾斜角的范围求解.
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2

解:∵ A(2,1) ,B(1,m ) (m∈R) ,

2





∴ kAB≤1. ∴ 直线 l 的倾斜角的范围为(﹣∞,1]. 设直线 l 的倾斜角为 α(0°≤α<180°) , 则 tanα≤1,∴ α∈[0°,45°]∪ (90°,180°) . 故答案为: (﹣∞,1],[0°,45°]∪ (90°,180°) . 点评: 本题考查两点求斜率的公式,考查了直线的倾斜角和斜率的关系,是基础的计算题. 20. (2009?奉贤区二模)已知点 P(﹣1,1)和点 Q(2,2) ,若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 不相交,则实数 m 的取值范围是 (﹣∞,﹣ )∪ ( ,+∞) .

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的斜率;二元一次不等式(组)与平面区域;恒过定点的直线. 计算题;作图题;数形结合. 直线 l:x+my+m=0 是过定点(0,﹣1)的直线系,和线段不相交,直线 l:的斜率 解:直线 l:x+my+m=0 是过定点(0,﹣1)的直线系,和线段不相交,
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即直线不在如图所示的阴影区域内,则 解得 故答案为:

点评: 本题考查直线的斜率,过定点的直线系,二元一次不等式组的平面区域问题,是中档题. 21. (2011?徐水县一模)已知点 P 在直线 x+2y﹣1=0 上,点 Q 在直线 x+2y+3=0 上,PQ 中点为 N(x0,y0) ,且 y0 >x0+2,则 的取值范围为 .

考点: 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系. 专题: 压轴题. 分析: 首先由直线 x+2y﹣1=0 与直线 x+2y+3=0 是平行线,得出 PQ 的中点 N(x0,y0)满足的直线方程;再根据
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y0>x0+2 对应的平面区域进一步限定 M 的范围;最后结合 解答: 解:根据题意作图如下

的几何意义求出其范围.

因为 PQ 中点为 N,则点 M 的坐标满足方程 x+2y+1=0, 又 y0>x0+2,则点 N 在直线 y=x+2 的左上部, 且由 得 N( , ) ,则 kON=﹣ ,并且直线 x+2y+1=0 的斜率 k=﹣ ,



可视为点 N 与原点 O 连线的斜率,

故﹣ <

<﹣ .

点评: 本题考查数形结合的思想方法. 22. (2014?蚌埠一模)已知点 P(a,b)与点 Q(1,0)在直线 2x﹣3y+1=0 的两侧,且 a>0 且 a≠1,b>0,则 的取值范围是 ∪ .

考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 由点 P(a,b)与点 Q(1,0)在直线 2x﹣3y+1=0 的两侧,可得(2a﹣3b+1) (2+1)<0,即 2a+1<3b.又
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a>0 且 a≠1,b>0,画出可行域.

=

表示可行域内的点(a,b)与点 P(1,0)的斜率 k.即可得

出. 解答: 解:∵ 点 P(a,b)与点 Q(1,0)在直线 2x﹣3y+1=0 的两侧, ∴ (2a﹣3b+1) (2+1)<0,即 2a+1<3b. 又 a>0 且 a≠1,b>0,画出可行域: = 表示可行域内的点(a,b)与点 P(1,0)的斜率 k.

当点 M 经过

时,

. . . ∪ ∪ . .

∴ 点 M 位于直线 x=1 的左侧时, 当点 M 位于直线 x=1 的右侧时, 因此 的取值范围是

故答案是:

点评: 本题考查了线性规划问题、直线的斜率计算公式及其单调性,考查了问题的转化能力和推理能力,属于难 题. 三.解答题(共 3 小题) 23.已知直线 l:xsina﹣y+1=0(a∈R) ,求其倾斜角 φ 的范围. 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的倾斜角. 直线与圆. 利用倾斜角与斜率的关系、三角函数的单调性即可得出. 解:由直线 l:xsina﹣y+1=0(a∈R) ,化为 y=xsina+1, ∵ ﹣1≤sina≤1.tanφ=sina,0≤φ<π,
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∴ 0≤φ≤



φ<π.

点评: 本题考查了倾斜角与斜率的关系、三角函数的单调性,属于基础题.

24.已知实数 x,y 满足方程 x+2y=6,当 1≤x≤3 时,求

的取值范围.

考点: 直线的斜率. 专题: 数形结合;直线与圆. 分析: 根据题意,画出图形,把
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看作是线段 AB 的动点与点 C(2,1)的连线的斜率值,求出 kBC,kAC,即

得答案. 解答: 解:根据题意,画出图形,如图所示, ; ∴ 是直线 x+2y=6 上的线段 AB 的某一动点与点 C(2,1)的连线的斜率值;

∵ kBC=

= ,

kAC= ∴

=﹣ , ≥ ,或 ≤﹣ ; 的取值范围是(﹣∞,﹣ ]∪ [ ,+∞) .

∴ 当 1≤x≤3 时,

点评: 本题考查了直线斜率的应用问题,解题时应画出图形,数形结合,容易解答本题,是基础题. 25.已知直线 l 经过点 A(1,﹣2)和 B(3,4) . (1)求 AB 的中点 C 的坐标; (2)求直线 l 的斜率; (3)求经过点 C 且垂直于直线 l 的直线方程. 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的斜率;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 直线与圆. 利用点的中点坐标公式、直线的斜率公式、直线的点斜式方程进行求解. 解: (1)∵ 直线 l 经过点 A(1,﹣2)和 B(3,4) ,
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∴ AB 的中点 C 的坐标为(

) ,

即 C(2,1) . (2)∵ 直线 l 经过点 A(1,﹣2)和 B(3,4) , ∴ 直线 l 的斜率 k= =3.

(3)∵ 经过点 C(2,1)且垂直于直线 l 的直线方程的斜率 k=﹣ , ∴ 直线 l 的方程为 y﹣2=﹣ (x﹣2) , 整理,得 x+3y﹣8=0. 点评: 本题考查点的中点坐标公式、直线的斜率、直线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线垂 直的位置关系的合理运用.


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