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2015创新设计(高中理科数学)11-3


第3讲

几何概型

诊断· 基础知识

突破· 高频考点

培养· 解题能力

[最新考纲] 1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.

2.了解几何概型的意义.

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知识梳理

几何概型
(1) 定 义 : 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 长度 .(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称为几何概型. (2)特点:①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多

个;
②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.

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(3)公式:
构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? .

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辨析感悟

1.对几何概型的理解
(1)(教材习题改编)几何概型中,每一个基本事件就是从某个 特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到 的机会相等. (√)

(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图

形.

(√)

(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关. (×)

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2.几何概型的计算 1 (4)从区间[1,10]内任取一个数,取到 1 的概率是 P=9. (×) (5)(2013· 福建卷改编)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 1 a,则事件“3a-1<0”发生的概率为3. ( √)

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[感悟·提升]
1.一个区别 “几何概型”与“古典概型”的区别:基本事件

的个数前者是无限的,后者是有限的. 2 .一点提醒 几何概型的试验中,事件 A的概率 P(A) 只与子区

域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和 形状无关,如(3).

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考点一 与长度、角度有关的几何概型
【例 1】 (1)(2013· 湖北卷)在区间[-2,4]上随机地取一个数 x,若 x 5 满足|x|≤m 的概率为6,则 m=________. (2)如图,在△ABC 中,∠B=60° ,∠C=45° ,高 AD= 3,在 ∠ BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M ,则 BM<1 的概率为 ________.

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解析

(1)由题意知 m>0,

m-?-m? 2m 5 当 m≤2 时,满足|x|≤m 的概率为 = 6 =6, 4-?-2? 5 解得 m=2(舍去). m+2 5 当 2<m≤4 时,所求概率为 6 =6,∴m=3. (2)∵∠B=60° ,∠C=45° ,∴∠BAC=75° , 在 Rt△ADB 中,AD= 3,∠B=60° , AD ∴BD=tan 60° =1,∠BAD=30° .
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记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,使 BM<1”, 则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生. 30° 2 由几何概型的概率公式得 P(N)=75° =5. 2 答案 (1)3 (2)5

规律方法 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和 对象的活动范围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上 时,用线段长度比计算;当考察对象为线时,一般用角度比计

算,即当半径一定时,由于弧长之比等于其所对应的圆心角的
度数之比,所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.
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【训练1】 (1)(2014·淄博二模)设P在[0,5]上随机地取值,则关于

x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为
1 A.5 3 C.5 2 B.5 4 D.5

(

).

(2) 如图,四边形 ABCD 为矩形,AB= 3,BC=1,以 A 为 圆心,1 为半径作四分之一个圆弧 DE,在∠DAB 内任作射线 AP,则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为________.

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解析

(1)方程有实根,则 Δ=p2-4≥0,

5-2 3 解得 p≥2 或 p≤-2(舍去).所以所求概率为 = . 5-0 5 (2)因为在∠DAB 内任作射线 AP,则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线 AP”, 所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是∠DAB, 当射线 AP 与线段 BC 有公共点时,射线 AP 落在∠CAB 内,区域 ∠CAB h 为∠CAB,所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 = ∠DAB 30° 1 =3. 90°

1 答案 (1)C (2)3
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考点二 与面积有关的几何概型

【例2】 (1)(2013·陕西卷)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点
处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区 域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站 工作正常 ) .若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点 无信号的概率是 ( ).

π A.1-4

π B.2-1

π C.2-2
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π D.4
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? ?0≤x≤2, (2)(2012· 北京卷)设不等式组? ? ?0≤y≤2

表示的平面区域为 D, 在

区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率 是 π A.4 π C.6 π- 2 B. 2 4-π D. 4 ( ).

π π 解析 (1)依题意知, 有信号的区域面积为4×2=2, 矩形面积为 2, π 2-2 π 故无信号的概率 P= 2 =1-4.
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(2)如图所示,正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D, 且区域 D 的面积为 4,而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距离 大于 2 的区域,易知该阴影部分的面积为 4-π,因此满足条件的 4-π 概率是 4 .故选 D.

答案 (1)A (2)D

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规律方法 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解 法.用图解题的关键:用图形准确表示出试验的全部结果所构成 的区域,由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式,在图形 中 画 出 事 件 A 发 生 的 区 域 , 通 用 公 式 : P(A) = 构成事件A的区域的测度 . 试验的全部结果所组成的区域的测度

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【训练 2 】 已知 x ∈ [ - 1,1] , y ∈ [0,2] ,则点 P(x , y) 落在区域 ?2x-y+2≥0, ? ?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? 3 A.16 3 C.4

内的概率为 3 B.8 3 D.2

(

).

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解析

1 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分),其面积为2

3 2 3 1 3 3 3 ×2×1+2×2×1=2,则所求概率为 =8. 2×2

答案 B

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考点三 与体积有关的几何概型
【例 3】 在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD的中心,在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取一点 P , 则点P到点O的距离大于1的概率为________. 审题路线 画出正方体?找出以点O为中心且到O点的距离等 于1的几何体(球)?利用球的体积公式及几何概型的概率公式 求解.

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解析

点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心, 以 1 为半

径的半球外.记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A,则 P(A)= 1 4π 2 -2× 3 ×13 π =1-12. 23 π 答案 1-12
3

规律方法 很多几何概型,往往要通过一定的手段才能转化到几 何度量值的计算上来,在解决问题时,要善于根据问题的具体

情况进行转化,这种转化策略是化解几何概型试题的关键.

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【训练 3】 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方 1 体内随机取点 M,则使四棱锥 M-ABCD 的体积小于6的概率 为________.

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1 1 1 当 VM-ABCD=6时,即3×1×1×h=6,

1 解得 h=2,即点 M 到底面 ABCD 的距离, 1 1×1×2 1 所以所求概率 P= = . 1×1×1 2

1 答案 2

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1.对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它

只与大小有关,而与形状和位置无关,在解题时,要掌握
“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求 解方法. 2.转化思想的应用 对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结

果和点对应,然后利用几何概型概率公式.

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教你审题11——几何概型中有关平面几何的“临界点”的探求
【典例】 (2013· 湖南卷)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机 1 AD 取一点 P, 使△APB 的最大边是 AB”发生的概率为2, 则 AB = ( 1 A.2 3 C. 2 1 B.4 7 D. 4 ).

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[审题] 一审条件:在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△ APB 的最大边是 AB; 二审过程:如何确定△APB 的最大边是 AB?找出 BP=AB 与 AP =AB 的“临界点”; AD 三审结论:要求 AB ,利用直角三角中的勾股定理找出 AD 与 AB 的关系式.

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解析

矩形 ABCD 如图所示,在点 P 从 D 点向 C 点运动过程中,

DP 在增大,AP 也在增大,而 BP 在逐渐减小,当 P 点到 P1 位置 时, BA=BP1, 当 P 点到 P2 位置时, AB=AP2, 故点 P 在线段 P1P2 1 上时,△ABP 中边 AB 最大,由已知事件发生的概率为2可得 P1P2 1 9 9 2 2 2 2 =2CD.在 Rt△BCP1 中,BP1=16CD +BC =16AB +AD2=AB2. 7 2 7 AD 即 AD =16AB ,所以 AB = 4 .
2

答案 D

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[反思感悟] (1)解决有关长度、角度、面积、体积的几何概型问 题,关键是动点的轨迹的判断,在 “ 动” 中求 “静 ”,也就是 找出符合题设条件的“临界点”.

(2)此类试题常与平面几何图形、不等式组表示的平面区域、直
线与圆等知识综合考查,难度稍大.

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【自主体验】 已知
? ?0≤x≤2, M:? ? ?0≤y≤2,

定点 A(3,1),在 M 内任取一点 P,使得

PA≤ 2的概率等于________.

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解析

如图所示,区域 M 是一个边长为 2 的正方形,其面积为 S

=22=4;满足 PA≤ 2的点 P 在以点 A(3,1)为圆心, 2为半径的 π 圆内.如图,作出圆 A,则扇形 ABC 的圆心角∠BAC=2,故扇形 1 π 1 1 2 ABC 的面积 S1=4×π×( 2) =2, S△ABC=S2=2×AB×AC=2× 2 π × 2=1,所以阴影部分弓形的面积 S3=S1-S2=2-1. π -1 π-2 S3 2 所以所求事件的概率为 P= S = 4 = 8 . π-2 答案 8
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