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中学数学测试题


数学测试题
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1. (2009?南昌)在 0,﹣2,1,3 这四数中,最小的数是( A.﹣2 B.0 C.1 D.3 2. (2009?太原)下列计算中,结果正确的是( 2 3 6 A.a ?a =a B. (2a)?(3a)=6a ) 2 3 6 C. ) =a (a )

D.a ÷ =a a

6

2

3

A.45° B.50° C.60° D.75° 3. (2010?内江)将一副三角板如图放置,使点 A 在 DE 上,BC∥DE,则∠AFC 的度数为 ( ) 中自变量 x 的取值范围是( B.x≠0 C.x≠0 且 x≠2 ) D.x>2

4.函数 y= A.x≠2

5. (2010?潼南县)如图,已知 AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,∠C=15° ,则∠BOC 的 度数为( )

A.15°

B.30°

C.45°

D.60° )

6.下面调查中,适合采用全面调查的事件是( A.对全国中学生心理健康现状的调查 B.对我市食品合格情况的调查 C.对重庆电视台《天天 630》收视率的调查

D.对你所在的班级同学的身高情况的调查. 7.如图,△ A B C 是⊙ O 的内接三角形,若 ? C 7? ,则 ?AOC 的度数等于( A ?0 B A. 1 4 0 ? B. 1 3 0 ? C. 1 2 0 ? D. 1 1 0 ? A )

O B C
7 题图

8.如图,按图中堆放规律,若依次由上向下称之为第一层,第二层,第三层,…,第 n 层, 设最底层的正方体的个数为 an.则 an 用含 n 的代数式表示为( A. 2 n ? 1 B. ) D. 3 n ? 1

n2 ? n 2

C.

n2 ? n 2

9. (2008?梅州)一列货运火车从南安站出发,匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了 一段时间,火车到达下一个车站停下,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次开 始匀速行驶,可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )

A.

B。

C.

D.

10.如图所示的二次函数 y?a ? x?c的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息: x b
2

a (1) b ?4 c?0; (2)c>1; (3)2a-b<0; (4)a+b+c<0.你认为其中正确的有( ..
2



一 列 货 运 火 车 从 南 安 站 出 发, 匀 加 速 行 驶 一 段 时 间 后 开 始 匀 速 行

A.2 个 y 1 -1 O 1

B.3 个

C.4 个

D.1 个

x

第 10 题图

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 11.据重庆时报 2011 年 5 月 22 日报道,目前重庆每年的煤炭生产量约 4800 万吨,将 4800 万用科学记数法表示为 _________ 万.

12.△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为 3:5,则△ABC 与△DEF 对应面积的比为 .

13.(2009?铁岭)小丽想用一张半径为 5cm 的扇形纸片围成一个底面半径为 4cm 的圆锥, 接缝忽略不计,则扇形纸片的面积是 _________ cm .(结果用 π 表示) 14. 如图,已知 O 的半径 OA=2, C 为半径 OB 的中点,若∠AOB=90°,则图中阴影部分的 面积为 . A 15.已知一个口袋中装有四个完全相同的小球,小球上分别标有 ﹣1,0,1,2 四个数,搅匀后一次从中摸出两个小球,将小 球上的数分别用 a,b 表示,将 a、b 代入方程组 B 则方程组有解的概率是 _________ . C 14 题 图
2

O

16.晨光文具店有一套体育用品:1 个篮球,1 个排球和 1 个足球,一套售价 300 元,也可 以单独出售,小攀同学共有 50 元、20 元、10 元三种面额钞票各若干张.如果单独出售,每 个球只能用到同一种面额的钞票去购买. 若小面额的钱的张数恰等于另两种面额钱张数的乘 积,那么所有可能中单独购买三个球中所用到的钱最少的一个球是 元。

三、解答题(共 4 小题,满分 24 分)

17.计算:﹣( ) +|﹣3|﹣(2011﹣π) +

﹣2

0



18.解分式方程:

1 5 ? x x?4

19、如图所示,两个建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 30m,张明同学住在建筑物 AB 内 10 楼 P 室,他观测建筑物 CD 楼的顶部 D 处的仰角为 30° ,测得底部 C 处的俯角为 45° ,求建 筑物 CD 的高度. 3 取 1.73,结果保留整数. ( )

20.在四边形 ABCD 中,AB∥CD,∠D=90 ,∠DCA=30 ,CA 平分∠DCB,AD=4cm, 求 AB 的长度? D

0

0

C

A

B

四.解答题(每小题 10 分,共 40 分) 21.先化简,再求值:( ﹣ )÷ ,其中 a 是方程 ﹣ =1 的解.

22、如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y ? ?

3 2 x ?bx经过点 O、A、B 三点,且 A 2

点坐标为(4,0),B 的坐标为(m, 2 3 ),点 C 是抛物线在第三象限的一点,且横坐标为-2 (1)求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式。 (2)直线 BC 与 x 轴相交于点 D,求△OBC 的面积
y B

O

D 22 题图

A

x

C

23.某空调专卖店在四个月的试销期内,只销售 A、B 两个品牌的空调,共售出 400 台,试销 结束后,选择 A、B 两个品牌的空调共 5 台中的 2 台捐到某希望小学,为作出决定,经销人 员正在绘制两副统计图,如图①和图②(1)第四个月销量对应的扇形圆心角的度数是

(2)在图②中补全表示 B 品牌空调月销量的折线; (3)为了献爱心,从该商店第四个月售出的空调中, 选取 A 品牌 2 台 B 品牌 3 台共 5 台中 随机抽取 2 台捐到某希望小学,请用列表或画树状图的方法,求随机抽取到同一品牌的概率 多少?

24.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,DG⊥BC 于 G,BH⊥DC 于 H, CH=DH,点 E 在 AB 上,点 F 在 BC 上,并且 EF∥DC. (1)若 AD=3,CG=2,求 CD; (2)若 CF=AD+BF,求证:EF= CD.

五.解答题 25.为加速森林重庆建设,重庆市委书记薄熙来号召:“动员三千万民众,绿化八百万山 川”.市政府决定对树苗育苗基地实行政府补贴,规定每年培育一亩树苗一次性补贴若干 元,随着补贴数字的不断增大,某地苗圃每年育苗规模也不断增加,但每年每亩苗圃的收 益会相应下降,经调查每年培植亩数 y(亩)与政府每亩补贴数额 x(元)之间有如下关系 (政府补贴为 100 元的整数倍,且每亩补贴不超过 1000 元): x(元) y(亩) 0 600 100 1000 200 1400 300 1800 2 2 0 0 而每年每亩的收益 p(元)与政府每亩补贴数额 x(元)之间满足一次函数 p=﹣5x+9000. (1)请观察题中的表格,用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出育苗 亩数 y(亩)与政府每亩补贴数额 x(元)之间的函数关系式; 400

(2)当 2010 年政府补贴每亩数额 x(元)是多少元时,该地区苗圃的收益 w(元)最大, 最大收益是多少? (3) 2010 年苗圃取得最大收益的育苗情况下,该地区培植面积刚好达到最大化,要想增 在 收,只能提高每亩收益.经市场调查,培育银杏树苗畅销,每亩的经济效益相应会更 好.2011 年该地区用去年培育面积的(30﹣a)%的土地培育银杏树苗,其余面积继续培育 一般类树苗,预计今年培育银杏树苗每亩收益在去年培育一般类树苗每亩收益的基础上增 加了(100+3a)%,由于培育银杏树苗每亩多支出 1000 元,2011 年该地区因培育银杏类树 苗预计比去年增收 399 万元.请参考以下数据,通过计算,估算出 a 的整数值.(参考数 据: =5.916, =6.082, =6.244)

26.已知,把 Rt△ ABC 和 Rt△ DEF 按图 1 摆放,(点 C 与 E 点重合),点 B、C、E、F 始终在同一条直线上,∠ACB=∠EDF=90° ,∠DEF=45° ,AC=8,BC=6,EF=10,如图 2, △ DEF 从图 1 出发,以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向△ ABC 匀速运动,同时,点 P 从 A 出 发,沿 AB 以每秒 1 个单位向点 B 匀速移动,AC 与△ DEF 的直角边相交于 Q,当 P 到达终 点 B 时,△ DEF 同时停止运动,连接 PQ,设移动的时间为 t(s).解答下列问题:

(1)△ DEF 在平移的过程中,当点 D 在 Rt△ ABC 的边 AC 上时,求 t 的值; (2)在移动过程中,是否存在△ APQ 为等腰三角形,若存在,求出 t 的值;若不存在,说 明理由. (3)在移动过程中,当 0<t≤5 时,连接 PE,是否存在△ PQE 为直角三角形.若存在,求 出 t 的值;若不存在,说明理由.

2011 年重庆市一中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1.(2009?南昌)在 0,﹣2,1,3 这四数中,最小的数是( ) A.﹣2 B.0 C.1 D.3 考点:有理数大小比较。 分析:根据正数都大于 0,负数都小于 0,正数大于一切负数,可知负数最小.这四个数 中,只有一个负数﹣2,所以﹣2 最小. 解答:解:因为在 0,﹣2,1,3 这四个选项中,只有﹣2 小于 0,故最小的数是﹣2. 故选 A. 点评:本题比较简单,考查了有理数大小比较的方法. 2.(2009?太原)下列计算中,结果正确的是(
2 3 6


2 3 6 6 2 3

A.a ?a =a B.(2a)?(3a)=6a C.(a ) =a D.a ÷ =a a 考点:同底数幂的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方;单项式乘单项式。 分析:分别根据同底数幂的乘法的性质,单项式乘单项式的法则,幂的乘方的性质,同底 数幂的除法的法则,对各选项分析判断后利用排除法求解. 解答:解:A、错误,应为 a ?a =a =a ; 2 B、错误,应为(2a)?(3a)=6a ; 2 3 2× 3 6 C、(a ) =a =a ,正确; 6 2 6﹣2 4 D、错误,应为 a ÷ =a =a . a 故选 C. 点评:本题主要考查同底数幂的乘法,单项式乘单项式,幂的乘方的性质,同底数幂的除 法,熟练掌握运算性质和法则是解题的关键. 3.(2010?内江)将一副三角板如图放置,使点 A 在 DE 上,BC∥DE,则∠AFC 的度数为 ( )
2 3 2+3 5

A.45° B.50° C.60° D.75° 考点:平行线的性质。 分析:先根据 BC∥DE 及三角板的度数求出∠EAB 的度数,再根据三角形内角与外角的性 质即可求出∠AFC 的度数. 解答:解:∵BC∥DE,△ ABC 为等腰直角三角形, ∴∠FBC=∠EAB= (180° ﹣90° )=45° , ∵∠AFC 是△ AEF 的外角, ∴∠AFC=∠FAE+∠E=45° +30° =75° .

故选 D. 点评:本题比较简单,考查的是平行线的性质即三角形内角与外角的关系. 中自变量 x 的取值范围是( )

4.函数 y=

A.x≠2 B.x≠0 C.x≠0 且 x≠2 D.x>2 考点:函数自变量的取值范围。 专题:计算题。 分析:让分母不为 0 列式求值即可. 解答:解:由题意得 x﹣2≠0, 解得 x≠2. 故选 A. 点评:考查函数自变量的取值;用到的知识点为:函数为分式,分式的分母不为 0. 5.(2010?潼南县)如图,已知 AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,∠C=15° ,则∠BOC 的 度数为( )

A.15° B.30° C.45° D.60° 考点:圆周角定理。 分析:由于 OA、OC 都是⊙O 的半径,由等边对等角,可求出∠A 的度数;进而可根据圆 周角定理求出∠BOC 的度数. 解答:解:∵OA=OC, ∴∠A=∠C=15° ; ∴∠BOC=2∠A=30° ; 故选 B. 点评:此题主要考查的是圆周角定理:同弧所对的圆周角是圆心角的一半. 678.DAB

9.(2008?梅州)一列货运火车从南安站出发,匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了 一段时间,火车到达下一个车站停下,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次 开始匀速行驶,可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )

A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象。 分析:由于图象是速度随时间变换的图象,而火车从南安站出发,匀加速行驶一段时间后 开始匀速行驶,过了一段时间,火车到达下一个车站停下,装完货以后,火车又匀加速行 驶,一段时间后再次开始匀速行驶,注意分析其中的“关键点”,由此得到答案. 解答:解:抓住关键词语:“匀加速行驶一段时间﹣﹣﹣匀速行驶﹣﹣﹣停下(速度为 0) ﹣﹣﹣匀加速﹣﹣﹣匀速”. 故选 B. 点评:此题首先正确理解题意,然后根据题意把握好函数图象的特点,并且善于分析各图 象的变化趋势.

10.B 二、填空题:11 .3.2 ? 1 0 12. 9 : 25; 13.(2009?铁岭)小丽想用一张半径为 5cm 的扇形纸片围成一个底面半径为 4cm 的圆锥, 2 接缝忽略不计,则扇形纸片的面积是 20π cm .(结果用 π 表示) 考点:圆锥的计算。 分析:圆锥的侧面积=底面周长× 母线长÷ 2. 解答:解:底面半径为 4cm,则底面周长=8πcm,扇形纸片的面积= ×8π×5=20πcm . 点评:本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解. 14. 4:9_
2

11

15.已知一个口袋中装有四个完全相同的小球,小球上分别标有﹣1,0,1,2 四个数,搅 匀后一次从中摸出两个小球,将小球上的数分别用 a,b 表示,将 a、b 代入方程组 ,则方程组有解的概率是 .

考点:列表法与树状图法;二元一次方程组的解。

分析:因为是一次从中摸出两个小球,相当于摸一次,不放回再摸一次小球,所以利用列 表法或树状图法求出 a,b 的值,再代入方程组检验是否有解,把满足题意的 a,b 找全,即 可求出方程组有解的概率是. 解答:解:∵一次从中摸出两个小球,相当于摸一次,不放回再摸一次小球,画出树状图 得:

∴a,b 的不同组合为:(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(0,﹣1),(0,1), (0.2),(1,0),(1,﹣1),(1,2),(2,0) (2,﹣1),(2,1),或(0,﹣1), (1,﹣1) (2,﹣1),(﹣1,0),(1,0),(2,0),(0,1),(﹣1,1),(2, 1),(0,2),(﹣1,2),(1,2);

解方程组

得:



若方程组有解则:ab≠﹣1,即可, ∴(﹣1,1),(1,﹣1),(1,﹣1),(﹣1,1)不满足题意, ∴将 a、b 代入方程组 ,则方程组有解的概率是:P= = ,

故答案为: . 点评:本题考查利用分类计数原理求完成事件的方法数、考查如何判断方程组有解、考查 古典概型的概率公式. 16. 60

三、解答题(共 4 小题,满分 24 分) 17.计算:﹣( ) +|﹣3|﹣(2011﹣π) +
﹣2

0



考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂。 专题:计算题。 分析:根据有理数的负整数指数次幂等于正整数次幂的倒数,绝对值的性质,任何非 0 数 的 0 次幂等于 1,立方根的定义进行计算即可求解. 解答:解:﹣( ) +|﹣3|﹣(2011﹣π) + =﹣9+3﹣1+4 =﹣10+7 =﹣3.
﹣2

0

点评:本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的 关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算. 18.解分式方程:

1 5 ? x x?4

解:两边同乘以 x(x?4 得: )

x 4 5 ? ?x 解得: x ?1 经检验: x ?1是原分式方程的解

20. AB ?

8 3 3
﹣ )÷ ,其中 a 是方程 ﹣ =1 的解.

21.先化简,再求值:(

考点:分式的化简求值;分式方程的解。 分析:首先把括号里分式进行通分,然后把除法运算转化成乘法运算,进行约分化简,再 解分式方程 ﹣ =1 求出 a 的值,最后代值计算. ,

解答:解:原式= =﹣ , ﹣ =1 得:x=2,

解分式方程

经检验可知 x=2 是分式方程的解, ∴a=2, 当 a=2 时,原式=﹣ =﹣1.

点评:主要考查了分式的化简求值问题.分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展, 是有理式恒等变形的重要内容之一.在计算时,首先要弄清楚运算顺序,先去括号,再进 行分式的乘除运算.

3 2 x ? 2 3x..........3分 . 2 22. y ? 2 3x ? 2 3.......... .......... 3分 .. ()y ? ? 1 (2)sBOC ? 4 3.......... .......... 4分 .....

23. (1)第四个月销量对应的扇形圆心角的度数是 (2)在图②中补全表示 B 品牌空调月销量的折线;

解: (1)1-15%-30%-25%=30%; 360°×30%=108°, (2)第一个月:共销售 400×15%=60, B 品牌空调月销量 60-30=30, 第二个月:共销售 400×30%=120,B 品牌空调月销量 120-75=45, 第三个月:共销售 400×25%=100,B 品牌空调月销量 100-50=50, 第四个月:共销售 400×30%=120,B 品牌空调月销量 120-40=80, 补全折线图如图所示 (3)P=

2 5

24.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,DG⊥BC 于 G,BH⊥DC 于 H, CH=DH,点 E 在 AB 上,点 F 在 BC 上,并且 EF∥DC. (1)若 AD=3,CG=2,求 CD; (2)若 CF=AD+BF,求证:EF= CD.

考点:直角梯形;勾股定理;矩形的性质;相似三角形的判定与性质。 分析:(1)由 AD∥BC,∠ABC=90° ,DG⊥BC 得到四边形 ABGD 为矩形,利用矩形的性 质有 AD=BG=3,AB=DG,而 BH⊥DC,CH=DH,根据等腰三角形的判定得到△ BDC 为等 腰三角形,即有 BD=BG+GC=3+2=5,先在 Rt△ ABD 中求出 AB,然后在 Rt△ DGC 中求出 DC; (2)由 CF=AD+BF,AD=BG,经过线段代换易得 GC=2BF,再由 EF∥DC 得到 ∠BFE=∠GCD,根据三角形相似的判定易得 Rt△ BEF∽Rt△ GDC,利用相似比即可得到结 论. 解答:(1)解:连 BD,如图, ∵在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,DG⊥BC,

∴四边形 ABGD 为矩形, ∴AD=BG=3,AB=DG, 又∵BH⊥DC,CH=DH, ∴△BDC 为等腰三角形, ∴BD=BG+GC=3+2=5, 在 Rt△ ABD 中,AB= ∴DG=4, 在 Rt△ DGC 中, ∴DC= = =2 . = =4,

(2)证明:∵CF=AD+BF, ∴CF=BG+BF, ∴FG+GC=BF+FG+BF,即 GC=2BF, ∵EF∥DC, ∴∠BFE=∠GCD, ∴Rt△ BEF∽Rt△ GDC, ∴EF:DC=BF:GC=1:2, ∴EF= DC.

点评:本题考查了直角梯形的性质:有一组对边平行,另一组对边不平行,且有一个直 角.也考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定与性质. 25.为加速森林重庆建设,重庆市委书记薄熙来号召:“动员三千万民众,绿化八百万山 川”.是政府决定对树苗育苗基地实行政府补贴,规定每年培育一亩树苗一次性补贴若干 元,随着补贴数字的不断增大,某地苗圃每年育苗规模也不断增加,但每年每亩苗圃的收 益会相应下降,经调查每年培植亩数 y(亩)与政府每亩补贴数额 x(元)之间有如下关系 (政府补贴为 100 元的整数倍,且每亩补贴不超过 1000 元): x(元) y(亩) 0 600 100 1000 200 1400 300 1800 400 2200

而每年每亩的收益 p(元)与政府每亩补贴数额 x(元)之间满足一次函数 p=﹣5x+9000. (1)请观察题中的表格,用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出育苗 亩数 y(亩)与政府每亩补贴数额 x(元)之间的函数关系式; (2)当 2010 年政府补贴每亩数额 x(元)是多少元时,该地区苗圃的收益 w(元)最大, 最大收益是多少?

(3) 2010 年苗圃取得最大收益的育苗情况下,该地区培植面积刚好达到最大化,要想增 在 收,只能提高每亩收益.经市场调查,培育银杏树苗畅销,每亩的经济效益相应会更 好.2011 年该地区用去年培育面积的(30﹣a)%的土地培育银杏树苗,其余面积继续培育 一般类树苗,预计今年培育银杏树苗每亩收益在去年培育一般类树苗每亩收益的基础上增 加了(100+3a)%,由于培育银杏树苗每亩多支出 1000 元,2011 年该地区因培育银杏类树 苗预计比去年增收 399 万元.请参考以下数据,通过计算,估算出 a 的整数值.(参考数 据: =5.916, =6.082, =6.244) 考点:二次函数综合题。 专题:综合题。 分析:(1)根据表格的数据可发现 y 与 x 成一次函数的关系,从而设 y=kx+b,代入两组数 据可得出 k、b 的值. (2)根据 w=py,代入 p 及 y 关于 x 的关系式,可得出 w 关于 x 的二次函数的关系式,利 用二次函数的最值即可得出答案. (3)根据所示的等量关系可列出方程,将 p=﹣5x+9000 代入可得关于 a 的一元二次方程, 继而可估算 a 的值. 解答:解:(1)设 y=kx+b, 则 解得 , ,

∴y=4x+600; (2)w=py=(﹣5x+9000) (4x+600), 2 =﹣20x +33000x+5400000, x=﹣ =825,

因为政府补贴为 100 元的整数倍,且每亩补贴不超过 1000 元, 所以可得当 x=800 时,w 取得最大值.最大收益为:w=(﹣5× 800+9000) (4× 800+600) =19000000 元. (3)由(2)得 x=800,y=3800 亩, 由题意得银杏的亩数为 3800× (30﹣a)%=1140﹣38a;其他的种植 3800﹣(1140﹣38a) =2660+38a;p=﹣5× 800+9000=5000 元; 列方程得 (1140﹣38a) p+[ 1140﹣38a) p]× × ( × (100+3a) (1140﹣38a) 1000+ %﹣ × (2660+38a) × p﹣3800× p=3990000, 整理得:3a ﹣10a﹣300=0, 2 △ =(﹣10) ﹣4× (﹣300)=3700, 3× a= a= ∴解得 a= = ,
2

(不合题意舍去), =11.68,所以 a 的整数值大约为 12.

点评:本题考查了二次函数的综合应用,根据题意得出 y 与 x 的关系式及 w 关于 x 的关系 式是解答本题的关键,另外要掌握二次函数最值的求法,难度较大,在解答第三问时,计 算量比较大,要注意细心运算,否则很容易出错. 26.已知,把 Rt△ ABC 和 Rt△ DEF 按图 1 摆放,(点 C 与 E 点重合),点 B、C、E、F 始终在同一条直线上,∠ACB=∠EDF=90° ,∠DEF=45° ,AC=8,BC=6,EF=10,如图 2, △ DEF 从图 1 出发,以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向△ ABC 匀速运动,同时,点 P 从 A 出 发,沿 AB 以每秒 1 个单位向点 B 匀速移动,AC 与△ DEF 的直角边相交于 Q,当 P 到达终 点 B 时,△ DEF 同时停止运动,连接 PQ,设移动的时间为 t(s).解答下列问题:

(1)△ DEF 在平移的过程中,当点 D 在 Rt△ ABC 的边 AC 上时,求 t 的值; (2)在移动过程中,是否存在△ APQ 为等腰三角形,若存在,求出 t 的值;若不存在,说 明理由. (3)在移动过程中,当 0<t≤5 时,连接 PE,是否存在△ PQE 为直角三角形.若存在,求 出 t 的值;若不存在,说明理由. 考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;直角三角形的性质;勾股定理。 专题:证明题;动点型。 分析:(1)根据等腰三角形性质求出即可; (2) ①AP=AQ,求出即可;②AP=PQ,作 PH⊥AC 于 H,根据相似得出比例式,即可求出 答案;③AQ=PQ,作 PH⊥AC 于 H,根据相似得出比例式,④当 5≤t≤10 时,AQ=PQ,作 PH⊥BC,PG⊥AC,利用相似与勾股定理,即可求出答案; (3)分为三种情况,①∠PQE=90° ,②∠PEQ=90° ,③∠EPQ=90° ,根据勾股定理得出方 程,求出方程的解,看看是否满足小于 10 即可. 解答:解:(1)当 D 在 AC 上时, ∵DE=DF, ∴EC=CF= EF=5, ∴t=5. (2)存在: ∵AP=t,∠EDF=90° ,∠DEF=45° ,

∴∠CQE=45° =∠DEF, ∴CQ=CE=t, AQ=8﹣t,当 0≤t<5 时, ①AP=AQ, t=8﹣t, ∴t=4; ②AP=PQ,

作 PH⊥AC 于 H, AH=HQ= AQ=4﹣ t, ∵PH∥BC, ∴△APH∽△ABC, ∴ ∴ = , = ,

∴t=



③AQ=PQ, 作 QI⊥AB 于 I,

AI=PI= AP= t, ∵∠AIQ=∠ACB=90° ,∠A=∠A, ∴△AQI∽△ACB, ∴ = ,

∴ ∴t=

= ,



④当 5≤t≤10 时,AQ=PQ,作 PH⊥BC,PG⊥AC, 同理可求出, FC=QC=10﹣t,BP=10﹣t, PH= (10﹣t)=8﹣ t, BH= (10﹣t)=6﹣ t, QG=10﹣t﹣(8﹣ t)=2﹣ , PG=HC=6﹣(6﹣ t)= t, PQ=AQ=8﹣(10﹣t)=t﹣2, ∴PQ =PG +QG , (t﹣2) =( t) +(2﹣ ) , 解得:t= 秒,
2 2 2 2 2 2

其它情况不符合要求, 综合上述:当 t 等于 4 秒、 秒、 秒、 秒时△ APQ 是等腰三角形.

(3)由勾股定理:CE=CQ=t,∠AQP=45° ,EQ =2t ,PQ =

2

2

2



①∠PQE=90° ,

在 Rt△ PEQ 中 2 2 2 PQ +QE =PE , ∴t1=0(舍去) t2= ②∠PEQ=90° , ;

PE +EQ =PQ t1=0(舍去) t2=20(舍去) ∴此时不存在; ③当∠EPQ=90° 时 2 2 2 PQ +PE =EQ , t1= ∴t1= (舍去) t2=4 ,t2=4

2

2

2

综合上述:存在△ PQE 是直角三角形.

点评:本题综合运用了等腰三角形的判定,直角三角形的性质,相似三角形的性质和判 定,勾股定理等知识点,此题难度较大,综合性强,用的数学思想是分类讨论思想.


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