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江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题


2014-2015 学年度临川一中高二数学月考试卷
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 500 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检 查.现将 500 名学生从 1 到 500 进行编号.已知从 21~30 这 10 个数中取的数是 24,则在 第 1 小组 1~10 中随机抽到的数是( B) A.2 B.4 C.6 D.8 2. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a、b、c , a= 2 , b= 3 , B ? 60? ,那么角 A 等 于(C )
?

A. 135

B. 135 或 45

?

?

C. 45

?

D. 60

?

3. 以下给出的函数中,以 ? 为周期的奇函数是( D ) A. y ? cos x ? sin x
2 2

B. y ? sin | x |

C. y ? tan

x 2

D. y ? sin x ? cos x

4. 设 a ? tan

3 ? ? , b ? cos , c ? (1 ? sin 6 ? ) 0 ,则 a , b , c 的大小关系是( A ) 4 5 4
B. c ? a ? b C. a ? b ? c D. b ? c ? a
?

A. c ? b ? a

4), B(?6, ?1)两点,直线 l 2 倾斜角为 135 ,那么 l1 与 l 2 ( B ) 5. 已知直线 l1 经过 A(?1,
A.平行 B. 垂直 C.重合 D.相交但不垂直 6. 下面框图所给的程序运行结果为 S=20,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是( D )

A.k=9

B.k ? 8

C.k<8

D.k>8

7. 圆 O1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 O2 : x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的公切线条数为( B ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 8. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于( B )

A.12

B.4

C.

56 3


D.

8 3 3

9. 下列对应是从集合 S 到 T 的映射的是(C

-1-

A. S ? {0,1,4,9} , T ? {?3,?2,?1,0,1,2,3} ,对应法则是开平方 B. S ? {0,1,2,5} , T ? {1,

1 1 , } ,对应法则是取倒数 2 5

C. S ? N , T ? {?1,1} ,对应法则是 n ? (?1)n , n ? S D. S ? {x | x ? R}, T ? { y | y ? R} ,对应法则是 x ? y ?

1? x 1? x

10. 已知函数 y ? cos x与y ? sin(2x ? ? )(0 ? ? ? ? ), 它们的图象有一个横坐标为 则? ? ( A. B ) B.

? 的交点, 3

? 6

? 3
2 2

C.

2? 3

D.

5? 6

11. 已知 A 、 B 是圆 O : x ? y ? 1上的两个点, P 是 AB 线段上的动点,当△ ABO 的面积 最大时, 则

??? ? ??? ? ??? ?2 AO ? AP ? AP 的最大值是( C )
B.0 C.

A.-1

1 8

D.

1 2

12. 若不等式组 ?

?x ? y ?3 ? 表示的平面区域是三角形,则实数 k 的取值范围是( D ) ? ? y ? 3 ? k (x ? 1)
B.k ? ?

A.? 或k ?

3 3 ?k? 2 4

3 3 或k ? 2 4

C.k ? ?

3 3 或0 ? k ? 2 4

D. ?

3 ?k ?0 2

3 4

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 为了调查城市空气质量,按地域把 48 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为 8、 16、 24. 若用分层抽样的方法抽取 12 个城市, 则乙组中应抽取的城市数为 4个 . 14. 已 知 甲 、 乙 两 个 球 的 表 面 积 分 别 为 S1 , S 2 , 且 27:8 .

V S1 9 ? , 体 积 分 别 为 V1 ,V2 , 则 1 ? S2 4 V2

15.已知函数 f ( x) ? ? 点.

?| lg x |, x ? 0 ?? x ? 2 x, x ? 0
2

,则函数 y ? 2[ f ( x)] ? 3 f ( x) ? 1 有 5
2

个不同的零

16. 在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 BC 的中点, F 是 C1D 的 中点, P 是棱 CC1 所在直线上的动点.则下列四个命题:

-2-

D1 A1 F B1

C1

① CD ? PE ② EF // 平面 ABC1 ③ VP? A1DD1

? VD1 ? ADE

D A B

C E

④ 不存在过 P 的直线与正四棱柱的各个面都成等角. 其中正确命题的序号是 123 (写出所有正确命题的 序号) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题 10 分)某校 200 位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示,其中成 绩分组区间是: ?50,60 ? 、 ?60,70 ? 、 ?70,80 ? 、 ?80,90 ? 、 ?90,100? . (1)求图中 a 的值; ⑵根据频率分布直方图,估计这 200 名学生物理成 绩的平均分.

18. (本小题 10 分) 如图, 为对某失事客轮 用强光柱进行辅助照明,其中 , , , 、 、

进行有效援助, 现分别在河岸 、 在同一平面内.现测得

选择两处 长为



米,



(1)求

的面积; (2)求船

的长.

PD ? 底面ABCD , 19.(本小题 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,
PD ? AD , E 为 PC 的中点, F 为 PB 上一点,且 EF ? PB .

-3-

(1) 证明: PA∥平面 EDB ; (2) 证明: PB ? 平面 EFD (3) 求三棱锥 B ? ADF 的体积.

20. (文科做)(12 分)在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 13 , a 2 =10 (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn . an an ?1

20. (理科做) (12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 13 ,a 2 为整数, 且 S n ? S5 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn . an an ?1

21.(本小题 13 分)对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R 使得 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的不 动点.已知函 数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ? 1(a ? 0) .
2

⑴若 a ? 1 , b ? 4 ,求函数 f ( x) 的不动点; ⑵若对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动 点,求 a 的取值范围; ⑶(只理科做)在⑵的条件下,若 y ? f ( x) 图象上 A 、 B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的不 动点,且 A 、 B 两点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

22. (本小题 13 分)如图,圆 :.

(Ⅰ)若圆

与 轴相切,求圆

的方程;

-4-

(Ⅱ)已知 ,圆 与 轴相交于两点 (点 在点 的左侧) .过点 直线与圆 : 相交于两点 . 问: 是否存在实数 , 使得 若存在,求出实数 的值,若不存在,请说明理由.

任作一条 ?

-5-

2014-2015 学年度临川一中高二数学月考试卷 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 500 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检 查.现将 500 名学生从 1 到 500 进行编号.已知从 21~30 这 10 个数中取的数是 24,则在 第 1 小组 1~10 中随机抽到的数是( B) A.2 B.4 C.6 D.8 2. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a、b、c , a= 2 , b= 3 , B ? 60? ,那么角 A 等 于(C )
?

A. 135

B. 135 或 45

?

?

C. 45

?

D. 60

?

3. 以下给出的函数中,以 ? 为周期的奇函数是( D ) A. y ? cos x ? sin x
2 2

B. y ? sin | x |

C. y ? tan

x 2

D. y ? sin x ? cos x

4. 设 a ? tan

3 ? ? , b ? cos , c ? (1 ? sin 6 ? ) 0 ,则 a , b , c 的大小关系是( A ) 4 5 4
B. c ? a ? b C. a ? b ? c D. b ? c ? a
?

A. c ? b ? a

4), B(?6, ?1)两点,直线 l 2 倾斜角为 135 ,那么 l1 与 l 2 ( B ) 5. 已知直线 l1 经过 A(?1,
A.平行 B. 垂直 C.重合 D.相交但不垂直 6. 下面框图所给的程序运行结果为 S=20,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是( D )

A.k=9

B.k ? 8

C.k<8

D.k>8

7. 圆 O1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 O2 : x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的公切线条数为( B ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 8. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于( B )

A.12

B.4

C.

56 3


D.

8 3 3

9. 下列对应是从集合 S 到 T 的映射的是(C

A. S ? {0,1,4,9} , T ? {?3,?2,?1,0,1,2,3} ,对应法则是开平方
-6-

B. S ? {0,1,2,5} , T ? {1,

1 1 , } ,对应法则是取倒数 2 5

C. S ? N , T ? {?1,1} ,对应法则是 n ? (?1)n , n ? S D. S ? {x | x ? R}, T ? { y | y ? R} ,对应法则是 x ? y ?

1? x 1? x

10. 已知函数 y ? cos x与y ? sin(2x ? ? )(0 ? ? ? ? ), 它们的图象有一个横坐标为 则? ? ( A. A) B.

? 的交点, 3

? 6

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

11. 已知 A 、 B 是圆 O : x 2 ? y 2 ? 1上的两个点, P 是 AB 线段上的动点,当△ ABO 的面积 最大时, 则

??? ? ??? ? ??? ?2 AO ? AP ? AP 的最大值是( C )
B.0 C.

A.-1

1 8

D.

1 2

12. 若不等式组 ?

? ?x ? y ?3 表示的平面区域是三角形,则实数 k 的取值范围是( C ) ? ? y ? 3 ? k (x ? 1)
B.k ? ?

A.? 或k ?

3 3 ?k? 2 4

3 3 或k ? 2 4

C.k ? ?

3 3 或0 ? k ? 2 4

D. ?

3 ?k ?0 2

3 4

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 为了调查城市空气质量,按地域把 48 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为 8、 16、 24. 若用分层抽样的方法抽取 12 个城市, 则乙组中应抽取的城市数为 4个 . 14. 已 知 甲 、 乙 两 个 球 的 表 面 积 分 别 为 S1 , S 2 , 且 27:8 .

V S1 9 ? , 体 积 分 别 为 V1 ,V2 , 则 1 ? S2 4 V2

15.已知函数 f ( x) ? ?

?| lg x |, x ? 0
2 ?? x ? 2 x, x ? 0

, 则函数 y ? 2[ f ( x)] ? 3 f ( x) ? 1 有 7 个不同的零点.
2

16. 在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 BC 的中点, F 是 C1D 的 中点, P 是棱 CC1 所在直线上的动点.则下列四个命题: D1 A1 F
-7-

C1 B1

① CD ? PE ② EF // 平面 ABC1

D A B

C E

③ VP? A1DD1

? VD1 ? ADE

④ 不存在过 P 的直线与正四棱柱的各个面都成等角. 其中正确命题的序号是 1 2 3 (写出所有正确命题的序号) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题 10 分)某校 200 位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示,其中成 绩分组区间是: ?50,60 ? 、 ?60,70 ? 、 ?70,80 ? 、 ?80,90 ? 、 ?90,100? . (1)求图中 a 的值; ⑵根据频率分布直方图,估计这 200 名学生物理成 绩的平均分.

【答案】 (1) a ? 0.005 (2)73

18. (本小题 10 分) 如图, 为对某失事客轮 用强光柱进行辅助照明,其中 , , , 、 、

进行有效援助, 现分别在河岸 、 在同一平面内.现测得

选择两处 长为



米,



( 1 ) 求 长

的 面 积 ;( 2 ) 求 船

的 .

-8-

PD ? 底面ABCD , 19.(本小题 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,
PD ? AD , E 为 PC 的中点, F 为 PB 上一点,且 EF ? PB .

(4) 证明: PA∥平面 EDB ; (5) 证明: PB ? 平面 EFD (6) 求三棱锥 B ? ADF 的体积.

20. (文科做)(12 分)在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 13 , a 2 =10 (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn . an an ?1

-9-

∵ ∴

a2 为整数,∴ d ? ?3 ,

{an } 的通项公式为 an ? 16 ? 3n .
bn ?

……………………7 分

(2)∵ ∴

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (16 ? 3n)(13 ? 3n) 3 13 ? 3n 16 ? 3n ,……………………9 分

Tn ? b1 ? b2 ? ?? bn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 10 13 7 10 4 7 13 ? 3n 16 ? 3n …………12 分

1 1 1 n ? ( ? )? 3 13 ? 3n 13 13(13 ? 3n) …………………
20. (理科做) (12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 13 ,a 2 为整数, 且 S n ? S5 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn .试题 an an ?1
? 13 13 ?d ?? 4 5 ,因为 a1 , a2

S ? S5 可知 S5 为最大值,即 a5 ? 0 ,a6 ? 0 ,解得 分析: (1) 由 n

为 整 数 , 所 以 d 为 整 数 , d=-3 , 即 可 求 得 通 项 公 式 ;( 2 ) 由 ( 1 ) 得

bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (16 ? 3n)(13 ? 3n) 3 13 ? 3n 16 ? 3n ,采用裂项相消求和

试题解析: (1)在等差数列 得 又

{an } 中,由 Sn ? S5

a5 ? 0 , a6 ? 0 , a1 ? 13 ,

?13 ? 4d ? 0 13 13 ? ? ?d ?? 13 ? 5d ? 0 ,解得 4 5 , ∴?
∵ ∴

a2 为整数,∴ d ? ?3 ,

{an } 的通项公式为 an ? 16 ? 3n .
bn ?

……………………7 分

(2)∵ ∴

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (16 ? 3n)(13 ? 3n) 3 13 ? 3n 16 ? 3n ,……………………9 分

Tn ? b1 ? b2 ? ?? bn
- 10 -

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 10 13 7 10 4 7 13 ? 3n 16 ? 3n …………12 分

1 1 1 n ? ( ? )? 3 13 ? 3n 13 13(13 ? 3n) ……………………14 分
21.(本小题 13 分)对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R 使得 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的不 动点.已知函 数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1(a ? 0) . ⑴若 a ? 1 , b ? 4 ,求函数 f ( x) 的不动点; ⑵若对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; ⑶(只理科做)在⑵的条件下,若 y ? f ( x) 图象上 A 、 B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的不 动点,且 A 、 B 两点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

, b? 3 , f ( x) ? x2 ? 4x ? 2, f ( x) ? x ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 , ? x ? ?2, ?1 ,则 f ( x) (1) 若a ?1
的不动点为 ?2, ?1 (2 分)
2 (2)函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,所以方程 f ( x) ? x 即 ax ? bx ? b ?1 ? 0(a ? 0) 恒有

两个不等实根, 需要判别式大于 0 恒成立,即 b ? 4a(b ?1) ? 0 ? b ? 4ab ? 4a ? 0 对任意实数 b 恒成立,
2 2

? ? ? (?4a)2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1 ,所以 0 ? a ? 1 (6 分)
(3)因为 A、B 两点关于直线 y ? kx ? 对称,所以 AB ? 直线且中点 M 在直线上 2a 2 ? 1 b 设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) ,由(2)知, x1 ? x2 ? ? a x ? x2 x1 ? x2 b b , )即( ? , ? ) 所以 AB 的中点 M ( 1 2 2 2a 2a b b 1 a ? ?( ? ) ? 2 ?b?? 2 易知 k AB ? 1? k ? ?1 ?? 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 由(2), 0 ? a ? 1 所以 b ? ?

1

a 2a ? 1
2

??

1 2a ? 1 a

??

1 1 2 ( 2a ? ) ?2 2 a

- 11 -

当且仅当 2a ?

1 2 1 2 (12 分) 即a ? 时,bmin ? ? ?? a 2 4 2 2

22. (本小题 13 分)如图,圆 :.

(Ⅰ)若圆 与 轴相切,求圆 的方程; (Ⅱ)已知 ,圆 与 轴相交于两点 (点 在点 的左侧) .过点 直线与圆 : 相交于两点 . 问: 是否存在实数 , 使得 若存在,求出实数 的值,若不存在,请说明理 由.

任作一条 ?

- 12 -

- 13 -


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