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江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.1.1 平均变化率教案 新人教A版选修2-2


江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.1.1 平均变化率教案 新人教 A 版选修 2-2
教学目标: 1. 通过对一些实例的直观感知,构建平均变化率的概念,并初步运用和加 深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理; 2. 通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率,领会以直代曲 和数形结合的思想,培养学生的抽象思维与归纳综合的能力,提升学生的数学思维与数学素 养; 3. 培养学生关注身边的数学,并能从数学的视角来分析问题、解决问题, 体验数学发展的历程,感受数形统一的辨证思想.

教学重点: 会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢. 教学难点: 对平均变化率概念的本质的理解;对生活现象作出数学解释.

教学过程: 一、问题情境 1.问题情境. 法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场.这名 21 岁的中国人跑 的几乎比炮弹还快.赛道上显示的 12.94 秒的成绩已经打破了 12.95 秒的奥运会纪录,但经 过验证他是以 12.91 秒的成绩追平了世界纪录,他的平均速度达到了 8.52m/s. 某人走路的第 1 秒到第 34 秒的位移时间图象如图所示:

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观察图象,回答问题: 问题 1 从 A 到 B 的位移是多少?从 B 到 C 的位移是多少? 问题 2 从 A 到 B 这一段与从 B 到 C 这一段,你感觉哪一段的位移变化得较快? 2.学生活动. 案例中,从 B 到 C 位移“陡增” ,这是我们从图像中的直观感觉,那么如何量化陡峭程度 呢? (1)由点 B 上升到 C 点必须考察 yC-yB 的大小,但仅注意到 yC-yB 的大小 能否精确量化 BC 段陡峭 的程度?为什么? (2)还必须考察什么量?在考察 yC-yB 的同时必须考察 xC-xB . (3)曲线上 BC 之间一段几乎成了直线,由此联想到如何量化直线的倾斜程 度? 二、建构数学 (1)一般地,函数 f ? x ? 在区间 ? x1,x2 ? 上的平均变化率为 注意:平均变化率不能脱离区间而言 (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化” ,曲线陡峭程度是平均变化 率的“视觉化” . 思考: (1) 若设 ?x=x2-x1 ,即将 ?x 看作是对于 x1 的一个增量 ?y=f ( x2 )-f ( x1 ) , 则 f ( x) 在 ? x1,x2 ? 平均变化率为

f ? x2 ?-f ? x1 ? x2-x1

f ( x2 )-f ( x1 ) ?y f ( x1+?x)-f ( x1 ) = = x2-x1 ?x ?x

(2) f ( x) 在 ? x1,x2 ? 平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线的
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斜率. 三、数学运用 例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到 第 3 个月以及第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率. W/kg 11 8.6 6.5 3.5 3 6 9 12 t/月

问题(1) 如何解释例 1 中从出生到第 3 个月,婴儿体重平均变化率为 1 ( kg / 月)? 问题(2) 本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么? 讲评 在不同的区间上平均变化率可能不同. 例 2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙, t s 后容器甲中的水的体积 ,试计算第一个 10s 内 V 的平均变化率. V (t )=5× 2-0.1t (单位:cm3)

甲 乙 问题(1) 例 2 中解出的平均变化率实际意义是什么? 问题(2) 度? 问题(3) 第一个 10 秒内,甲容器中水的体积的平均变化率为 ? 0.25 (cm /s) ,那么乙
3

? 0.25 (cm3/s)是否表示 10 秒内每一时刻容器甲中水的体积 V 减少的速

容器中的水的体积的平均变化率呢? 讲评:平均变化率可能正可能负也可能为零.

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1,g ( x)=-2 x ,分别计算在区间 [-3,- 1] , [0, ???5] 上函 例 3 已知函数 f ( x)=2 x+
数 f ( x) 及 g ( x) 的平均变化率. 问题(1) 你在解本题的过程中有没有发现什么? 讲评 一次函数 y=kx+b 在区间 [m,n] 上的平均变化率等于它的斜率 k . 例 4 已知函数 f ( x)=x2 ,分别计算在下列区间上的平均变化率: ① ② ③ ④ ⑧ ⑤ ⑥ ⑦

问题(4) 例 4 中八个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化?这种变化的实际意义 和数学意义分别是什么? 四、当堂训练 练习 1 回答问题情境中提出的问题:平均速度的数学意义是什么? 练习 2 在寓言龟兔赛跑中,从比赛开始到结束的这一段时间(规定有一方到达终点则比 赛结束),是乌龟的位移平均变化率大还是兔子的位移平均变化率大?为什么? 练习 3 下图中白线是一天内某个股票的走势图,试从平均变化率的角度分析这支股票

在下列时间段的涨跌情况. ①09:30 至 11:00 ②11:00 至 11:30 ③14:00 至 14:07 ④14:07 至 15:00

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五、回顾反思 (1)一般地,函数 f ? x ? 在区间 ? x1,x2 ? 上的平均变化率为

f ? x2 ?-f ? x1 ? . x2-x1

(2)平均变化率近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势,那么,如何精确的刻画曲线 上某一点处的变化趋势呢? 六、布置作业 1.预习第 1.1.2 节瞬时变化率——导数. 2.课本 P7 练习 2;P16 习题 1.1 第 1 题. 3.下图中记载着刘翔在雅典奥运会 110 米栏中的比赛数据,试通过计算各个阶段刘翔位 移的平均变化率.
13.72m 9.14m 9.14m 14.02m

2.421s 0.959s 0.999s 0.962s 1.021s 0.981s 0.994s 1.004s 1.024s 1.038s

1.507s

32.00m
4.379s 4.962s

45.70m

32.30m
3.569s

50.28m 6.362s 6.548s

59.72m

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