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圆锥曲线高考试题集2


圆锥曲线高考试题集
一、选择题: 1. 抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? 2, 则a 的值为
2

。 (D) ?8

(03 年全国卷文⑶题 5 分)

(A)

2. 双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1 , F2 , ?F1MF2 ? 120? ,则双曲线的离心率 为 。 (03 年全国卷文⑸题 5 分) (A) 3 (B)

1 8

(B) ?

1 8

(C) 8

6 6 3 (C) (D) 2 3 3 3. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M、N 两点,
MN 中点的横坐标为 ? (A)
x2 y2 ? ?1 3 4

2 ,则此双曲线的方程是 3
x2 y2 ? ?1 4 3
(C)

。 (03 年全国卷⑻题 5 分) (D)

(B)

x2 y2 ? ?1 5 2

x2 y2 ? ?1 2 5


4. 在同一坐标系中,方程

x2 y2 ? ? 1与ax ? by 2 ? 0(a ? b ? 0) 的曲线大致是 a2 b2

(03 年春北京卷⑼题 5 分)

5. 对于抛物线y =4x上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范 围是 。?(02 年广东卷⑾题 5 分) ? A. (-∞,0) ? B. (-∞,2) ? C. [0,2] ? D. (0,2)?



? ?? 2 2 。 ? ,则二次曲线 x cot? ? y tan? ? 1 的离心率的取值范围为 4? ? ?1 2 ? ? 2 ? ? 1? ? (C) ? , 2 ? (D) ( 2 ,??) (02 年全国卷文⑾题 5 分) (A) ? 0, ? (B) ? , ?2 2 ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? 2 ?x ? t 7. 点 P(1,0) 到曲线 ? (其中参数 t ? R )上的点的最短距离为 。 ? y ? 2t
6. 设 ? ? ? 0, (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 2 (02 年全国卷理⑹题 5 分) 8. 设动点 P 在直线 x ? 1上, 为坐标原点. OP 为直角边、 O 为直角顶点作等腰 Rt?OPQ , O 以 点 则动点 Q 的轨迹是 。 (01 年全国春⑹题 5 分) (A)圆 (B)两条平行直线 (C)抛物线 (D)双曲线 9. 已知 F1 、F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两焦点, 过点 F2 的直线交椭圆于点 A、 , | AB |? 5 , B 若 16 9

则 | AF1 | ? | BF1 |? 。 (01 年全国卷春⑸题 5 分) (A)11 (B)10 (C)9 (D)16 10.若椭圆经过原点,且焦点为 F1(1,0) 2(3,0)则其离心率为 ,F (A)



1 1 (D) (01 年天津卷⑻题 5 分) 2 4 2 11. 设坐标原点为 O,抛物线 y ? 2 x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则 OA ? OB ? 。 3 3 (A) (B)- (C)3 (D)-3 (01 年天津卷理⑽题 5 分) 4 4 2 12. 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 两点, Q 若线段 PF 与 FQ 的长 1 1 分别是 p、q,则 + 等于 。 (2000 年全国卷⑾题 5 分) p q 1 4 (A) 2a (B) (C) 4a (D) 2a a 2 2 x y ? 2 ? 1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是 13. 双曲线 。 2 b a 3 (2000 年北京卷⑶题 5 分) A.2 B. 3 C. 2 D. 2
(B) (C) 14. 椭圆短轴长是 2,长轴是短轴的 2 倍,则椭圆的中心到其准线距离是 。

3 4

2 3

A.

8 5 5

B.

4 5 5

C.

8 3 3

D.

4 3 (2000 年北京卷⑼题 5 分) 3


二、填空题:

x2 y2 ? ? 1 右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是 1. 以双曲线 16 9
(03 年北京卷⑿题 4 分) 2. 给出问题:F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? =1 的焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的距离 16 20

等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由 ||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或 17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确,将正确 的结果填在下面空格内. (03 年上海卷⑿题 4 分) . 3. 如图,F1,F2 分别为椭圆

x y ? 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,△ 2 a b
2

2

2

POF2 是面积为 3 的正三角形,则 b 的值是
2
2 2

. (03 年春北京⒃ 4 分) 。(03 年春上海⑷ 4 分)

4. 直线 y ? x ? 1 被抛物线 y ? 4 x 截得线段的中点坐标是 5. 椭圆 C1 :

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 在第一象限部分的一点 P ,以 P 点横坐标作为长轴长,纵 2 a b 坐标作为短轴长作椭圆 C2 ,如果 C2 的离心率等于 C1 的离心率,则 P 的坐标为 。

(03 年春安徽理⒂ 4 分) 6. 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为F1、F2,点 P 在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点 P 9 16

到x轴的距离为 。(02 年广东⒁ 4 分) 2 2 7. 椭圆 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 ?0,2 ? , 那么 k ? 。 (02 年全国理⒁题 4 分) 8. 对于顶点在在原点的抛物线,给出下列条件: (02 年全国文⒃题 4 分) 1 2 3 ○焦点在 y 轴上;○焦点在 x 轴上;○抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离为 6 ; 4 5 ○抛物线的通径的长为 5 ;○由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为 ( 2,1) 。 能使这抛物线方程为 y ? 10 x 的条件是
2 2 2

。 (要求填写合适条件的序号)

9. 椭圆 x ? 4 y ? 4 长轴上一个顶点为 A, A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三 以 角形,该三角形的面积是____ 。(01 年春全国卷⒁题 4 分) 10. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 横 9 4
。(2000 年全国卷⒁题 4 分) y D F P G A O B x C E

坐标的取值范围是

三、解答题: 1. 已知常数 a ? 0 ,在矩形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 4a ,O 为 AB 的中点, E、 G 分别在 BC、 DA 上移动, BE ? CF ? DC , 点 F、 CD、 且 BC CD DA P 为 GE 与 OF 的交点(如图) ,问是否存在两个定点,使 P 到这两点 的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存 在,请说明理由。(03 年全国卷 21 题 14 分)

2.已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l : x ? ?1 相切,点 C 在 l 上。 (I)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (03 年春全国卷 22 题 13 分) (II)设过点 P,且斜率为 ? 3 的直线与曲线 M 交于 A、B 两点。 (i)问:Δ ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由; (ii)当 Δ ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围。

4. 设 A(?c,0), B(c,0)(c ? 0) 为两定点,动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值

a(a ? 0) ,求 P 点的轨迹.

(03 年春北京卷 20 题 12 分)

5. 已知双曲线经过点 P ( , ) ,渐近线方程是 y ? ?2 x ,求其焦点坐标和离心率. (03 年春安 徽理 18 题 12 分)

3 5 4 2

6. 已知抛物线 C1 : y ? ax ? bx与C2 : y ? 2 px( p ? 0) 关于直线 x ? y ? 1 对称.
2 2

(1) 求 a, b, p ; (2) 求 C1与C2 焦点间距离.

(03 年春安徽卷理 21 题 12 分)

7. 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交 2

于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且BC∥x 轴。求证直线 AC 经过线段 EF 的中点.(02 年 广东卷⒇题 14 分)

8. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不 同的两点 A、B, | AB |? 2 p . (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 垂直平分线交 x 轴于点 N,求 Rt?NAB 面积最大值.(01 年春 22 题 14 分)
2

9. 设 0 ? ? ?

?
2

, 曲线 x 2 sin? ? y 2 cos? ? 1和x 2 cos? ? y 2 sin? ? 1 有 4 个不同的交点.

(Ⅰ)求θ 的取值范围; (Ⅱ)证明这 4 个交点共圆,并求圆半径的取值范围. (01 年天津卷理 22 题 14 分)

12. 已知椭圆 C 的焦点分别为 F1 (?2 2 ,0) 和 F2 ( 2 2 ,0) ,长轴长为 6,设直线 y ? x ? 2 交 椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。 (2000 年上海卷文⒄题 12 分)

13.如图,已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ? , 双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为伪点,当 率 c 的取值范围。(2000 年全国卷 22 题 14 分)

2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心 3 4

14.如图,设点 A 和 B 为抛物线 y ? 4 px( p ? 0) 上原点以外的两个 动点。已知 OA⊥OB,OM⊥AB,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什 么曲线.(2000 年北京卷 22 题 14 分)
2

15. 如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧道全长 2.5 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. (03 年上海卷 20 题 14 分) (1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 米,则应如何设 计拱高 h 和拱宽 l,才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小? (半个椭圆的面积公式为 S ?

?
4

lh ,柱体体积为:底面积乘以高.本题结果精确到 0.1 米)


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