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湖北省部分重点中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题


湖北省部分重点中学 2015-2016 上学期高二期中考试 数学试题(文科)
命题人:武汉中学 张怡 审题人:武汉市 49 中 唐宗保
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。) 1.下列命题正确的是( ) A. 若一条直线平行于两个相交平面, 则这条直线与这两个平面的交线 平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面 平行 C.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 2.如果执行如图所示的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1, a2,…,an,输出 A,B,则( ) A.A+B 为 a1,a2,…,an 的和 B. 为 a1,a2,…,an 的算术平均数

C.A 和 B 分别是 a1,a2,…,an 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2,…,an 中最小的数和最大的数 3.平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x2 ? y 2 ? 5 相切的直线方程是 ( )

A. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 4.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( ) A. B. C. D.与 P 点位置有关
2 2 2

5.在同一坐标系下,直线 ax+by=ab 和圆(x﹣a) +(y﹣b) =r (ab≠0,r>0)的图象可能是 ( )

A.

B.

C.

D.

6. 在梯形 ABCD 中,∠ABC= ,AD//BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一 周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( A. B. C. D.2 )

7. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是 ( ) A.2 B. C. D.3

8.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统 计数据表: 收入 x (万元) 支出 y (万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8

? ?a ? ? 0.76, a ? , ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx 根据上表可得回归直线方程 y
据此估计,该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为( A . 11.8 万元 D.12.2 万元 9. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》 中的“更 相减损术”,执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=( A.0 ) B.2 C.4 D.14 B . 11.4 万元 ) C . 12.0 万元

y
10. 如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为 (1, 0) .且点

D F O

C x B

? x ? 1, x ? 0 ? C 与点 D 在函数 f ( x) ? ? 1 的图像上. 若在矩形 ABCD 内 ? x ? 1, x ? 0 ? ? 2
随机取一点,则该点取自阴影部分的概率等于( A. )

A

1 6

B.

1 4

C.

3 8

D.

1 2

11. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是侧面 BCC1B1 内的动 点, 且 A1F∥平面 D1AE, 则 A1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值构成的集合是 ( ) A.{t| C.{t|2 } } B.{t| D.{t|2 ≤t≤2} }

12. 已知△ ABC 的三边分别为 AB=5,BC=4,AC=3,M 是 AB 边上一点,P 是平面 ABC 外 一点,下列四个命题正确的是( ) ①若 PA⊥平面 ABC,则三棱锥 P﹣ABC 的四个面都是直角三角形; ②若 PM⊥平面 ABC,M 是 AB 边上中点,则有 PA=PB=PC; ③若 PC=5,PC⊥平面 ABC,则△ PCM 面积的最小值为 ;

④若 PC=5,P 在平面 ABC 上的射影是△ ABC 内切圆的圆心,则点 P 到平面 ABC 是的距离为 . 其中正确命题的序号是 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.与直线 3x+4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为
2 2



14. 已知直线 kx﹣y+1=0 与圆 C: x +y =4 相交于 A, B 两点, 若点 M 在圆 C 上, 且有 (O 为坐标原点) ,则实数 k= . 15. 在棱锥 P﹣ABC 中,侧棱 PA、PB、PC 两两垂直,Q 为底面△ ABC 内一点,若点 Q 到三 个侧面的距离分别为 3、4、5,则以线段 PQ 为直径的球的表面积为 . 2 2 16. 已知 AC、 BD 为圆 O: x +y =4 的两条相互垂直的弦, 垂足为 M (1, ) , 则四边形 ABCD 的面积的最大值为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.(本题满分 10 分)空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物 质进入大气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福 利或环境的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m )为 0~ 50 时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为 50~100 时,空气质 量级别为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级别为三级, 空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为四级,空气质 量状况属于中度污染;当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况 属于重度污染;当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严 重污染.2015 年 8 月某日某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数 [0,50](50,100](100,150][(150,200] 3 (单位:μg/m ) 15 40 y 10 监测点个数 (Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 x,y 的值,并完成频率分布直方图; (Ⅱ)在空气污染指数分别为 50~100 和 150~200 的监测点中,用分层抽样的方法抽取 5 个 监测点,从中任意选取 2 个监测点,事件 A“两个都为良”发生的概率是多少?
3

18.(本题满分 12 分)如图,正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 是 BC 中点,AA1=AB=a. (Ⅰ)求证:AD⊥B1D; (Ⅱ)求证:A1C∥平面 AB1D; (Ⅲ)求三棱锥 C﹣AB1D 的体积.

19.(本题满分 12 分)PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的 颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准 GB3095﹣2012,PM2.5 日均值在 35 微克/ 立方米以下空气质量为一级;在 35~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米 以上空气质量为超标. 从某自然保护区 2015 年全年每天的 PM2.5 监测值数据中随机地抽取 12 天的数据作为样本,监测值频数如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) : (I)求空气质量为超标的数据的平均数与方差; (II)从空气质量为二级的数据中任取 2 个,求这 2 个数据的和小于 100 的概率; (III)以这 12 天的 PM2.5 日均值来估计 2015 年的空气质量情况,估计 2012 年(366 天)大 约有多少天的空气质量达到一级或二级.

20.(本题满分 12 分)已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0) ,边 AB 所在直线的方程为 x ﹣3y﹣6=0,点(﹣1,1)在边 AD 所在的直线上. (1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程; (2)已知直线 l: (1﹣2k)x+(1+k)y﹣5+4k=0(k∈R) ,求证:直线 l 与矩形 ABCD 的外接 圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线 l 的方程.

21.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方 形,PD=DC,F 是 PB 的中点. (1)求证:DF⊥AP;

(2)在线段 AD 上是否存在点 G,使 GF⊥平面 PBC?若存在,说明点 G 的位置,并证明你 的结论;若不存在,请说明理由.

22.(本题满分 12 分)已知圆 O:x +y =4 内一点 P(0,1) ,过点 P 的直线 l 交圆 O 于 A,B 两点,且满足 (λ 为参数) .

2

2

(1)若 ,求直线 l 的方程; (2)若 λ=2,求直线 l 的方程;

湖北省部分重点中学 2015-2016 学年度上学期高二期中考 试

文科数学参考答案

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 D 6 C 7 D 8 A 9 B 10 B 11 D 12 B

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 3x﹣4y+5=0 14. 三、解答题(共 70 分) 17 解: (Ⅰ)∵

0

15. 50π

16. 5



∵15+40+y+10=100,∴y=35…(2 分) ∴ , ,

频率分布直方图如图所示…(5 分) (Ⅱ)在空气污染指数为 50~100 和 150~200 的监测点中分别抽取 4 个和 1 个监测点. 设空气污染指数为 50~100 的 4 个监测点分别记为 a,b,c,d; 空气污染指数为 150~200 的 1 个监测点记为 E. 从中任取 2 个的基本事件分别为(a,b) , (a,c) , (a,d) , (a,E) , (b,c) , (b,d) , (b,E) , (c,d) , (c,E) , (d,E)共 10 种,…(7 分) 其中事件 A“两个都为良”包含的 基本事件为(a,b) , (a,c) , (a,d) , (b,c) , (b,d) , (c, d)共 6 种,…(9 分) 所以事件 A“两个都为良”发生的概率是 .…(10 分)

18(Ⅰ)证明:∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 正三棱柱,D 是 BC 中点 ∴BB1⊥AD,BC⊥AD ∵BB1∩BC=B, ∴AD⊥面 BB1D, ∴AD⊥B1D (Ⅱ)证明:取 C1B1 的中点 E,连接 A1E,ED,

则四边形 B1DCE 为平行四边形, 于是有 B1D∥EC,又 A1E∥AD,B1D∩AD=D,A1E∩EC=E, ∴平面 A1EC∥平面 AB1D,A1C?平面 A1EC, ∴A1C∥平面 AB1D. (Ⅲ)解:由图知 ∴ = S△ADCBB1= ,AA1=AB=a .

19 解: (I)空气质量为超标的数据有四个:77,79,84,88 平均数为 方差为 分) (II)空气质量为二级的数据有五个:47,50,53,57,68 任取两个有十种可能结果:{47,50},{47,53},{47,57},{47,68},{50,53}, {50,57},{50,68},{53,57},{53,68},{57,68}. 两个数据和小于 100 的结果有一种:{47,50}. 记“两个数据和小于 100”为事件 A,则 即从空气质量为二级的数据中任取 2 个,这 2 个数据和小于 100 的概率为 (III)空气质量为一级或二级的数据共 8 个, 所以空气质量为一级或二级的频率为 (10 分) (8 分) (2 分) (4

,所以 2015 年的 366 天中空气质量达到一级或二级的天数估计为 244 天. (12 分) 20 解: (1)由 lAB:x﹣3y﹣6=0 且 AD⊥AB,点(﹣1,1)在边 AD 所在的直线上 ∴AD 所在直线的方程是:y﹣1=﹣3(x+1)即 3x+y+2=0 由 得 A(0,﹣2)…(3 分)

∴|AP|= =2 , 2 2 ∴矩形 ABCD 的外接圆的方程是: (x﹣2) +y =8…(6 分) (2)直线 l 的方程可化为:k(﹣2x+y+4)+x+y﹣5=0l 可看作是过直线﹣2x+y+4=0 和 x+y﹣ 5=0 的交点(3,2)的直线系,即 l 恒过定点 Q(3,2) 2 2 由于(3﹣2) +2 =5<8 知点在圆内, ∴直线与圆恒有交点, 设 PQ 与 l 的夹角为 θ,则 d=|PQ|sinθ= sinθ, 当 θ=90°时,d 最大,|MN|最短, 此时 l 的斜率为 PQ 斜率的负倒数﹣ ,∴l:y﹣2=﹣ (x﹣3) ,即 x+2y﹣7=0 21.证明: (1)取 AB 中点 E,连接 EF,DE

∵E,F 分别是 AB,PB 的中点, ∴EF∥AP, ∴AP 和 DF 所成的角即为 EF 和 DF 所成的角,即∠DFE 或其补角; 由已知四边形 ABCD 是正方形, 假设 PD=DC=a, 则有

∴cos∠DFE=

=0,

∴DF⊥EF,∴DF⊥AP. (2)解:G 是 AD 的中点时,GF⊥平面 PCB. 证明如下:取 PC 中点 H,连接 DH,HF. ∵PD=DC,∴DH⊥PC. 又∵BC⊥平面 PDC,∴DH⊥BC, ∵DH⊥PC,DH⊥BC,PC∩BC=C,PC,BC?平面 PBC ∴DH⊥平面 PCB. ∵ ,∴HF GD,

∴四边形 DGFH 为平行四边形,DH∥GF, ∴GF⊥平面 PCB.

22.解: (I)当直线 l 的斜率不存在时,|AB|=4,不满足条件.

故可设所求直线 l 的方程为 y=kx+1,即 kx﹣y+1=0. 由弦长|AB|= ,圆 O:x +y =4 的半径等于 2,可得弦心距 d=
2 2

=



即圆心(0,0)到 kx﹣y+1=0 的距离等于

,即

=

,求得 k=±1,

故要求的直线 l 的方程为 y=x+1 或 y=﹣x+1. (II)当直线 l 的斜率不存在时, 程为 y=kx+1 代入圆的方程,整理得(1+k )x +2kx﹣3=0, (*) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1,x2 为方程(*)的两根,
2 2



,不满足条件,故可设所求直线 l 的方



可得 x1=﹣2x2 ,则有



(1) ÷(2)得

2

,解得



所以直线 l 的方程为




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