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2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练:第8章 平面解析几何 8-4a Word版含解析


[重点保分 两级优选练] 一、选择题 1.(2018· 福建漳州八校联考)已知点 P(a,b)(ab≠0)是圆 x2+y2 =r2 内的一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线,直线 l 的方程 为 ax+by=r2,那么( ) B.m⊥l,且 l 与圆相切 D.m⊥l,且 l 与圆相离 A.m∥l,且 l 与圆相交 C.m∥l,且 l 与圆相离 答案 解析 C ∵点 P(a,b)(ab≠0)在圆内,∴a2+b2<r2.因圆 x2+y2=r2 b a 的圆心为 O(0,0),故由题意得 OP⊥m,又 kOP=a,∴km=-b,∵直 a r2 r2 线 l 的斜率为 kl=-b=km, 圆心 O 到直线 l 的距离 d= 2 2> r =r, a +b ∴m∥l,l 与圆相离.故选 C. 2.(2017· 河北衡水中学调研)已知向量 a=(2cosα,2sinα),b= (3cosβ,3sinβ),若 a 与 b 的夹角为 120° ,则直线 6xcosα-6ysinα+1 =0 与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1 的位置关系是( A.相交且不过圆心 C.相切 答案 解析 ? ) B.相交且过圆心 D.相离 A 由题意可得 a· b=6cosαcosβ+6sinαsinβ= |a|· |b|cos120° = ? ? 1? 2×3×?-2?=-3, 所以圆心(cosβ,-sinβ)到直线 6xcosα-6ysinα+1=0 的距离 d= |6cosαcosβ+6sinαsinβ+1| |-3+1| 1 = 6 =3<1, 故直线与圆的位置关系是 6 相交且不过圆心,故选 A. 3.(2015· 重庆高考)已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x2 +y2-4x-2y+1=0 的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线, 切点为 B,则|AB|=( A.2 C.6 答案 解析 C 圆 C 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为 C(2,1), ) B.4 2 D.2 10 半径 r=2, 由直线 l 是圆 C 的对称轴, 知直线 l 过圆心 C, 所以 2+a×1 - 1 = 0 , a =- 1 ,所以 A( - 4 ,- 1) ,于是 |AC|2 = 40 ,所以 |AB| = |AC|2-22= 40-4=6.故选 C. 4.(2017· 湖南三模)直线 l:x+4y=2 与圆 C:x2+y2=1 交于 A, B 两点,O 为坐标原点,若直线 OA,OB 的倾斜角分别为 α、β,则 cosα+cosβ=( 18 A.17 4 C.-17 答案 解析 D 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ) 12 B.-17 4 D.17 由三角函数的定义得 cosα+cosβ=x1+x2, ? ?x+4y=2, 由? 2 2 ?x +y =1, ? 消去 y,得 17x2-4x-12=0, 4 则 x1+x2=17, 4 即 cosα+cosβ=17.故选 D. 5.(2017· 湖北模拟)已知圆 O:x2+y2=4,点 P 为直线 x+2y-9 =0 上一动点,过点 P 向圆 O 引两条切线 PA,PB,A,B 为切点,则 直线 AB 经过定点( ?4 8? A.?9,9? ? ? ) ?2 4? B.?9,9? ? ? C.(2,0) 答案 解析 m), A D.(9,0) 因为 P 是直线 x+2y-9=0 上的动点,所以设 P(9-2m, 因为圆 x2+y2=4 的两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,所以 OA⊥PA,OB⊥PB, 则点 A,B 在以 OP 为直径的圆上,设其圆心为 C,即 AB 是圆 O 和圆 C 的公共弦, 则圆心 C 的坐标是? ? 2 ?9-2m 2 m? , 2 ?, ? ?9-2m?2+m2 且半径的平方是 r = , 4 ? 9-2m?2 ? m?2 ?9-2m?2+m2 ? +?y- ? = 所以圆 C 的方程是?x- ,① 2? 4 2 ? ? ? 又 x2+y2=4,② ②-①得,(2m-9)x-my+4=0,即公共弦 AB 所在的直线方程 是(2m-9)x-my+4=0,即 m(2x-y)+(-9x+4)=0, ?2x-y=0, ? 4 8 由? 得 x=9,y=9, ? ?-9x+4=0, ?4 8? 所以直线 AB 恒过定点?9,9?,故选 A. ? ? 6.过点(-4,0)作直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y-20=0 交于 A,B 两点,若|AB|=8,则直线 l 的方程为( A.5x+12y+20=0 B.5x+12y+20=0 或 x+4=0 C.5x-12y+20=0 D.5x-12y+20=0 或 x+4=0 答案 解析 B ) 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25, 由|AB|=8 知,圆心(-1,2)到直线 l 的距离 d=3. 当直线 l 的斜率不存在, 即直线 l 的方程为 x=-4 时, 符合题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+4),即 kx-y +4k=0. 则有 |3k-2| 5 =3,∴k=-12. 2 k +1 此时直线 l 的方程为 5x+12y+20=0.故选 B. 7. (2018· 湖南四地联考)若圆 C: x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,过点(a,b)作圆的切线,则切线长的最小值是 ( ) A.2 C.4 答案 解析 C 圆 C 的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(- B.3 D.6 1,2),半径为 2.因为圆 C 关于直线 2ax+by+6=0 对称,所以圆心 C 在直线 2ax+by+6=0 上,所以-2a+2b+6=0,即 b=a-3,所以 点(a,b)到圆心的距离 d= ?a+1?2+?b-2?

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