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2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质课件5新人教B版选修1_1_图文


结合抛物线的图象掌握抛物线的简单几何性质, 能运用性质解决与 抛物线有关的问题. 自学导引 抛物线的几何性质 y2=2px 类型 (p>0) 图象 y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 性质 焦点 准线 范围 对称 轴 顶点 离心 率 开口 方向 ?p ? F?2,0? ________ ? ? ? p ? ?- ,0? F ________ ? 2 ? ? p? F?0,2? ________ ? ? ? p? ?0,- ? F________ 2? ? p x=- 2 ________ p x= 2 ________ p y=- 2 ________ p y= 2 ________ 0,x∈R y________ ≤0,x∈R x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥ ________ x轴 ________ 原点 (0,0) ________ e=1 ________ 向右 向左 向上 向下 y轴 ________ 自主探究 从几何性质上看,抛物线与双曲线有何区别和联系? 【答案】 (1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来,差别较大, 它的离心率为 1,只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准 线.它没有对称中心. (2)抛物线与双曲线的一支,尽管它们都是不封闭的有开口的 光滑曲线,但是它们的图象性质是完全不同的.事实上,从开口的 变化规律来看, 双曲线的开口是越来越阔, 而抛物线开口越来越趋 于扁小. 预习测评 1. 抛物线 y2=-4px(p>0)的焦点为 F, 准线为 l, 则 p 表示( A.F 到 l 的距离 B.F 到 y 轴的距离 1 C.F 点的横坐标 D.F 到 l 的距离的 4 ) 【答案】B 【解析】考查 y2=2px(p>0)中的 p 的意义的灵活运用. x2 y), 则 y+|PQ|的最小值是( 4 上动点 P(x, A.2 B.3 C .4 D.2 2 2.如图,已知点 Q(2 2,0)及抛物线 y= ) 【答案】A 【解析】 如题图,PM⊥l,∴y+|PQ|=|PM|+|PQ|-1=|PF|+|PQ|-1. ∵|FQ|=3,∴(y+|PQ|)min=2. 3.以抛物线 y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与 y 轴的 位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 【答案】C p |PF| xP p 【解析】|PF|=xP+ ,∴ = + ,即为 PF 的中点到 y 轴 2 2 2 4 的距离.故该圆与 y 轴相切. 要点阐释 1.抛物线的焦点弦 如图所示, AB 是抛物线 y2=2px(p>0) 过焦点 F 的一条弦,设 A(x1,y1)、B(x2, y2),AB 的中点 M(x0,y0),过 A、M、B 分别向抛物线的准线 l 作垂线, 垂足分别 为 A1、M1、B1,则根据抛物线的定义, 有|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,故|AB|=|AF| + |BF| = |AA1| + |BB1|. 又 MM1 是 梯 形 AA1B1B 的中位线, 所以|AB|=|AA1|+|BB1| =2|MM1|.故有以下结论. (1)以 AB 为直径的圆必与准线相切. ? p? (2)|AB|=2?x0+2?(焦点弦长与中点坐标的关系); ? ? (3)|AB|=x1+x2+p; 2.直线与抛物线位置关系的判定 (1)几何法:相离:直线与抛物线无公共点; 相切: 直线与抛物线的对称轴不平行, 与抛物线有且只有一个 公共点; 相交:直线与抛物线有两个公共点(相割)或直线与抛物线的对 称轴平行. (2)代数法:直线方程与抛物线方程联立成方程组. 典例剖析 题型一 抛物线的简单几何性质的应用 【例 1】 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦,称为抛物线 的通径.求顶点在原点,且通径长为 8 的抛物线的方程,并指出它 的焦点坐标和准线方程. 思路点拨:焦点位置不确定,需分四种情况讨论. 【解析】 (1)当焦点在 x 轴正半轴上时,设方程为 y2=2px(p>0),由题意 得 2p=8,∴y2=8x,焦点坐标为(2,0),准线方程为 x=-2. (2)当焦点在 x 轴负半轴上时,设方程为 y2=-2px(p>0),由题 意得 2p=8,∴y2=-8x,焦点坐标为(-2,0),准线方程为 x=2. (3)当焦点在 y 轴正半轴上时,设方程为 x2=2py(p>0),由题意 得 2p=8,∴x2=8y,焦点坐标为(0,2),准线方程为 y=-2. (4)当焦点在 y 轴负半轴上时,设方程为 x2=-2py(p>0),由题 意得 2p=8,∴x2=-8y,焦点坐标为(0,-2),准线方程为 y=2. 1.若抛物线 y2=2px 上一点的横坐标为 6,这点的焦半径为 10,则焦点到准线的距离是( ) A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B p 【解析】由焦半径公式 r=x0+ 知,p=8. 2 题型二 直线与抛物线的位置关系 【例 2】 求过点 P(0,1)且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点的 直线方程. 思路点拨:分类讨论斜率存在情况,画草图找解题思路. 【解析】(1)若直线斜率不存在,则过 P(0,1)的直线方程为 x= 0.直线 x=0 与抛物线只有一个公共点. (2)若直线斜率存在,设为 k,则过 P 的直线方程为 y=kx+1. ? ?y=kx+1, 由方程组? 2 消元得:k2x2+2(k-1)x+1=0, ? ?y =2x, 1 ? ?x= , ①当 k=0 时,得? 2 即直线 y=1 与抛物线只有一个公 ? ?y=1, 共点. ②当 k≠0 时,若直线与抛物线只有一个公共点,则 Δ=4(k- 1)2-4k2=0. 1 1 ∴k= ,∴直线方程为:y= x+1. 2 2 1 综上所述:所求直线方程为 x=0

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