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高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理教学设计新人教A版必修5


内部文件,版权追溯 1.1.1 《正弦定理》 教学目标 1.知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正 弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通 过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规 律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍 联系与辩证统一。 教学重、难点 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 学法与教学用具 学法: 引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系: , 接着就一般斜三角形进行探索, ? ? sin A sin B sinC 发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新 颖。 教学过程: 一、创设情景、新课引入 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B 二、新课讲解: (图 1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图 1. 1-2, 在 Rt ? ABC 中, 设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有 又 sinC ? 1 ? , 则 a b c a b ? sin A , ? sin B , c c c c a A sin A ? b sin B ? c sinC ?c ? b c a (图 1.1-2) B 从而在直角三角形 ABC 中, a sin A b sin B ? c sin C C 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1. 1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD ,根据任意角三角函数的定义,有 CD= a sin B ? b sin A ,则 a sin A ? b sin B , 1 C 同理可得 从而 c sinC ? ? b sin B ? , b A c a B a sin A b sin B c sinC (图 1.1-3) 思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 (证法二) :过点 A 作 j ? AC , 由向量的加法可得 则 C AB ? AC ? CB j ? AB ? j ?(AC ? CB ) ∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB A B j j AB cos?900 ? A? ?0 ? j CB cos?900 ?C ? ∴ c sin A ? a sin C ,即 同理,过点 C 作 j ? BC ,可得 从而 a c ? sin A sin C b c ? sin B sin C a sin A sin B sinC 类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 ? b ? c a sin A ? b sin B ? c sinC [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2) a sin A sin B sinC 从而知正弦定理的基本作用为: ? b ? c 等价于 a sin A ? b sin B , c sinC ? b sin B , a sin A ? c sinC ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ? b sin A ; sin B ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 a b 2 [例题分析] 例 1(课本例题) .在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理, C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 ) ? 66.20 ; 根据正弦定理, b? a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00 根据正弦定理, c? 评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 变式训练 1:已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 45 , C ? 30 , 求a, b和B 0 0 解:? c ? 10, A ? 45 , C ? 30 0 0 0 ∴ B ? 180 ? ( A ? C) ? 105 0 由 a c ? 得 sin A sin C a? c sin A 10 ? sin 450 ? ? 10 2 sin C sin 300 由 b c ? 得 sin B sin C c sin B

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