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广东省湛江一中08-09学年高一下学期期末(数学)


湛江一中 2008-2009 学年度第二学期期末考试

高一级数学科试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题教师:hhm
) 一.选择题: (每小题 5 分,共 50 分,每题只有一个选项正确) 1. 首项为 a 的数列 {an } 既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前 n 项和为( A. a
n ?1

B. na
2

C. a

n

D. (n ? 1)a ) D. ?

2. 二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 解集是全体实数的条件是( A. ?

?a ? 0 ?? ? 0

B. ?

?a ? 0 ?? ? 0

C. ?

?a ? 0 ?? ? 0

?a ? 0 ?? ? 0


3. 在 ?ABC 中, ?B ? 30? , AB ? 2 3, AC ? 2 ,则 ?ABC 的面积为( A. 2 3 B. 3 C. 2 3或 3 D. 2 3或4 3

4. 已知数列 1 a1 , a2 , 4 成等差数列, 1, b1 , b2 , b3 , 4 成等比数列,则 ,

a2 ? a1 的值是( b2



A.

1 2

B. ?

1 2

C.

1 1 或? 2 2

D.

1 4


5.已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是( A. a ? b
2 2

B. ab ? a b
2 2

C.

1 1 ? 2 2 ab ab

D.

b a ? a b


6. 在 ?ABC 中 sin A ? A. (

3 , a ? 10 ,则边长 c 的取值范围是( 4
B. (10, ??) C. (0,10) )
?

15 , ?? ) 2

D. (0,

40 ] 3

7. 在 ?ABC 中, a : b : c ? 3 :1: 2 ,则 ? B 为( A. 30
?

B. 60

?

C. 90

?

D. 120

8.数列 {an },{bn } 满足 anbn ? 1, an ? (n ? 1)(n ? 2) ,则 {bn } 的前 10 项之和为( A.



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1 4

B.

5 12

C.

3 4

D.

7 12

9. 已知数列 {an } 是正项递增等比数列, Tn 表示前 n 项的积,且 T8 ? T4 ,则当 Tn 取最小值 时, n 的值等于( )

A.5

B.6

C.7

D.8

10.给定 an ? log n?1( n ? 2)

定义使乘积 a1 ? 2 ? ak 为整数的 k (k ? N ? ) 叫做希 a ?? ( n ? N ?) , ) D.2006

望数,则区间 [1, 2009] 内的所有希望数的和为( A.2005
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B.2026

C.2016

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. 已知某个数列的前 4 项分别为 1, ?

1 1 1 , , ? ,写出该数列的一个通项公式为___。 2 3 4

12. 等比数列中, a2 ? 9, a5 ? 243 ,则 {an } 的前 4 项和为___ 13. ?A为? ABC 的内角,则 sin A ? cos A 的取值范围是___。 14.已知集合 A ? {x

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1 1 ? x ? 2}, f ( x) ? x 2 ? px ? q, g ( x) ? x ? 是定义在 A 上的函数, 2 x

当 x, x0 ? A 时, 恒有 f ( x) ? f ( x0 ), g ( x) ? g ( x0 ) , f ( x0 ) ? g ( x0 ) 则 f ( x ) 在 A 上的最大 且 值是___ 三,解答题 15.(本题满分 12 分)已知等差数列 {an } 中, d ?

1 3 15 , ak ? , Sk ? ? ,求 a1 和 k 2 2 2

16 .( 本 题 满 分 12 分 ) 在 ? ABC 中 , a, b, c 分 别 是 ?A, ?B, ?C 的 对 边 ,

? ? ? ? m ? (2a ? c, b), n ? (cos B,cos C), 且 m?n ? 0 。求 ? B 的大小。

17. (本题满分 14 分)已知函数 y ? x2 ? px ? q ,当 y ? 0 时,有 ? 的不等式 qx2 ? px ? 1 ? 0

1 1 ? x ? ,解关于 x 2 3

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18. (本题满分 14 分)制订投资计划时,不仅要考虑可能要获得的盈利,而且要考虑可能 出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利分 别为 100%和 50%, 可能的最大亏损率分别为 30%和 10%, 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才 能使可能的盈利最大?
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19. ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 a 、 b 、 c 是 ?ABC 三 边 长 , 关 于 x 的 方 程

ax2 ? 2 c2 ? b2 x ? b ? 0(a ? c ? b) 的 两 根 之 差 的 平 方 等 于 4 , ?ABC 的 面 积
S ? 1 0 3 ,? .7 c
(1)求 ?C ; (2)求 a 、 b 的值.

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20. ( 本 题 满 分 14 分 ) 设 数 列 {an } 的 各 项 都 是 正 数 , 且 对 任 意 n ? N , 都 有
3 3 3 3 2 a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? Sn ,记 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. 2 (1)求证 an ? 2Sn ? an ;

?

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(2)求数列 {an } 的通项公式;
? (3)若 bn ? 3n ? (?1)n?1 ? ? 2 n (? 为非零常数, n ? N ) ,问是否存在整数 ? ,使得对任意

a

n ? N ? ,都有 bn?1 ? bn .

湛江一中 2008—2009 学年度第二学期期末考试

高一级数学试题参考答案
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) ? 题 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 号 ? 答 ? B ? D ? C ? A ? C 案 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. an ? ? 6 ? D ? 7 ? A ? 8 ? B ? 9 ? B ? 10 ? B

(?1) n ?1 n

12. 120;

13. (?1, 2]

14. 3

三,解答题 15.解:由 d ?

1 3 15 , ak ? , Sk ? ? 得 2 2 2

1 3 ? ? a1 ? 2 (k ? 1) ? 2 ? , ? 1 15 ? ka ? k (k ? 1) ? ? ? 1 4 ? 2
解得 ?

………………6 分

? a1 ? ?3 ? k ? 10
? ?

………………12 分

16. 解:由 m?n ? 0 得 (2a ? c) cos B ? b cos C ? 0

………………3 分

? 2a cos B ? c cos B ? b cos C ? 0 由正弦定理,得 2sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C ? 0
即 2sin A cos B ? sin(C ? B) ? 0 ………………6 分

?sin A(2cos B ? 1) ? 0 ? sin A ? 0,? 2cos B ? 1 ? 0,
? cos B ? ?
?0 ? B ? ? 2? ?B ? 3
17. 解:
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1 2

………………9 分

………………12 分

?当y ? 0时, 有 ?

1 1 ?x? , 2 3 ………………3 分 1 1 2 ? x1 ? ? 与x2 ? 是方程x ? px ? q ? 0的两个实数根 2 3

1 ? ? 1 1 ? ? ? 2 ? 3 ? ? p, ? p ? 6 , ? ?? ?? ? ? 1 ? 1 ? q, ?q ? ? 1 ? 2 3 ? 6, ? ?

………………7 分

所以不等式qx 2 ? px ? 1 ? 0可变为 1 1 ? x2 ? x ? 1 ? 0 6 6 2 即x ? x ? 6 ? 0,
??2 ? x ? 3
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………………10 分

所以,不等式qx2 ? px ? q ? 0的解集为 x ? 2 ? x ? 3} ………………14 分 {
18. 解:设投资人分别用 x 万元, y 万元投资

? x ? y ? 10 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8 ? 甲、乙两个项目,由题意知 ? , ?x ? 0 ?y ? 0 ?

………………5 分

目标函数 Z ? x ? 0.5 y ,上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可

18

10

M (4,6)

l0
6 10

0 行域.

x
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作直线 l0:x ? 0.5 y ? 0 ,并作出平行于直线 l0 的一组直线 x ? 0.5 y ? z ( x ? R) 与可行域相 交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x ? 0.5 y ? 0 的距离最大,这里 M 点 是直线 x ? y ? 10 和 0.3x ? 0.1y ? 1.8 的交点. ………………10 分

? x ? y ? 10 得x ? 4, y ? 6.此时z ? 1? 4 ? 0.5 ? 6 ? (万元) 7 ? 解方程组 ?0.3 x ? 0.1 y ? 1.8 ? 7 ? 0,?当x ? 4, y ? 6时, z取得最大值
答:投资人用 4 万元投资甲项目,6 万元投资乙项目,才能确保亏损不超过 1.8 万元的前提 下,使可能的盈利最大. ………………14 分

19. 解: (1)设 x1 , x2 为方程 ax2 ? 2 c2 ? b2 x ? b ? 0 的两根,则

x1 ? x2 ?

2 c 2 ? b2 , a

x1 ? x2 ?

?b a

………………3 分

? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab a 2 ? b2 ? c2 2ab 1 ? cosC ? 2 ??C ? 60? 1 (2)? S ? ab sin C ? 10 3 2 ? ab ? 40 ① 又cosC ?
由余弦定理:

4(c 2 ? b 2 ) 4b ? ?4 a2 a

………

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………7 分

………………9 分

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C 即 : c 2 ? (a ? b)2 ? 2ab(1 ? cos 60? ) 1 ? 72 ? (a ? b) 2 ? 2 ? 40 ? (1 ? ) 2 ? a ? b ? 13 ②
由○○得: a ? 8, b ? 5 1 2
3 3 3 3 2 20.解: (1)因为 a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? Sn , n ? N
?

………………12 分 ………………14 分

所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? Sn?1
3 3 3 3 2 3 2 2 两式相减得, an ? Sn ? Sn?1

(n ? 2)

即 an ? Sn ? Sn?1 ? Sn ? (Sn ? an ) ? (2Sn ? an )an
3 2 2 2 2 2 ?an ? 2Sn ? an ,

当 n ? 1 时, a1 ? 1 也满足上式。

………………5 分

2 (2)? an ? 2Sn ? an

(n ? N ?)

2 ?an?1 ? 2Sn?1 ? an?1 (n ? 2)

两式相减得,
2 2 相减得: an ? an?1 ? 2an ? an ? an?1

(n ? 2)

化简得 an ? an?1 ? 1

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故数列 {an } 是公差和首项均为 1 的等差数列。

? an ? n
(3)由(2)知 bn ? 3n ? (?1)n?1 ? ? 2n 要使 bn?1 ? bn 即 3n?1 ? (?1)n ? ? ? 2n?1 ? 3n ? (?1)n?1 ? ? ? 2n 即 2 ? 3n ? (?1)n?1 ? 3? ? 2n

………………9 分

3 ? (?1) n ?1 ? ? ? ( ) n ?1 对任意 n ? N ? 都成立。 2 3 当n为奇数时,? ? ( ) n ?1 , 故? ? 1; 2 3 3 当n为偶数时,? ? ?( ) n ?1 , 故? ? ? . 2 2

又? ? ? Z ,且 ? 为非零常数,故 ? ? ?1 。
故存在整数 ? =-1,使得对任意 n ? N ,都有 bn?1 ? bn .
?

………………14 分


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