2.已知 a , b ? R，条件 p：“ a ? b ”，条件 q：“ 2 ? 2 ? 1 ”，则 p 是 q 的 （ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是 （

a b

） ）

8 3 3 cm 3 4 3 3 C． cm 3

A．

B．

3 3 cm 3

3

D． 3cm

4

4.设 l , m, n 表示三条不同的直线， ? , ? 表示两个不同的平面，则下 列说法正确的是 （ ） A．若 l ∥ m ， m ? ? ，则 l ∥ ? ； B．若 l ? m, l ? n, m, n ? ? ，则 l ? ? ； C．若 l ∥ ? ， l ∥ ? ， ? ? ? m ，则 l ∥ m ； D．若 l ? ? , m ? ? , l ? m ，则 ? ? ? ． 5. 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0) 的图象与 x 轴的两 个相邻交点的距离等于

1 1 正视图

侧视图

3

? ? ，若将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 2 6 个单位得到函数 y ? g ( x) 的图象，则 y ? g ( x) 是减函数的区间为 ( ) ? ? ? ? ? ? A． ( ? , 0) B． ( ? , ) C． (0, ) D． ( , ) 3 4 3 3 4 4 x ?x 6. 若函数 f ( x) ? ka ? a (a ? 0且a ? 1) 在 （ ?? ， 上既是奇函数又是增函数， 则函数 g ( x) ? log a ( x ? k ) ?? ）

的图象是 （ ）

1 俯视图

7. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S6 ? S7 ? S5 ,则满足 S n S n?1 ? 0 的正整数 n 的值为（ A.13 B.12 C.11 D. 10

）

8.已知 O 为原点，双曲线

x2 ? y 2 ? 1上有一点 P ，过 P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为 2 a

A, B ，平行四边形 OBPA 的面积为 1，则双曲线的离心率为

A． 2 样的平面 ? 可以有 A.1 个 B． 3 C．

（

）

5 2

D．

2 3 3

（ ）

AC 和 BC1 与平面 ? 所 成的角都为 30 ，这 9．已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 ，过顶点 A1 作平面 ? ，使得直线

B.2 个

?

C.3 个

? ? ? ?

D.4 个

? ?

10．平面向量 a , b , e 满足 | e |? 1 ， a? e ? 1 ， b? e ? 2 ， | a ? b |? 2 ，则 a ? b 的最小值为 （ A.

? ? ?

? ?

）

1 2

B.

5 4

C. 1

D. 2

来源:Z§xx§k.Com][来 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分）

?1 x ? e ? x ? 2? 11.数 f ? x ? ? ? 3 ,则 f ? ln3? =________. ? f ? x ? 1?? x ? 2 ? ?

?? 3 3 7? ? ? 12.已知 cos ? ? ? ? ? sin ? ? ，则 sin ? ? ? 6 6? 5 ? ?

? ?? ?

.

?2 x ? y ? 0 ? 13. 已知实数 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 3，实数 b = ? y ? ?x ? b ?

.

14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如 下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价 （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦 （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦 时） 时） 50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288 超过 50 至 200 的部分 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过 200 的部分 0. 668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时， 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答） ． 15. 在△ABC 中，B(10，0)，直线 BC 与圆 Γ ：x ＋(y－5) ＝25 相切，切点为线段 BC 的中点．若△ABC 的重心 恰好为圆Γ 的圆心，则点 A 的坐标为 ．

2 2

x, x ? ?0,1? ? ? 16．已知 f ?x ? ? ? 1 ，若在区间 ? ?1,1? 内， g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 有两个零点，则实数 m 的 ? 1, x ? ?? 1,0? ? ? x ?1

取值范围是 ．

2

17. 若正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4 xy ，且不等式 ( x ? 2 y)a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0 恒成立，则实数 a 的取值 范围是 ．

三、解答题：本大题共 5 小题，共 49 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． （本小题满分 8 分）

在 △ ABC 中，内角 A, B, C 对边的边长分别是 a , b, c ．已知 c ? 2, C ?

?

3

．

（Ⅰ）若 △ ABC 的面积等于 3 ，试判断 △ ABC 的形状，并说明理由； （Ⅱ）若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ，求 △ ABC 的面积． 19． （本小题满分 8 分） 如图，矩形 ABCD 中，AB=2BC=4，E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A1DE （1）设 M 为线段 A1C 的中点，求证： BM// 平面 A1DE； （2）当平面 A1DE⊥平面 BCD 时，求直线 CD 与平面 A1CE 所成角的正弦值．

20. （本小题满分 11 分）

[来源:学_科_网]

等差数列 {an } 的各项均为正数， a1 ? 3 ，前 n 项和为 Sn ， {bn }为等比数列, b1 ? 2 ，且 b2 S2 ? 32,

b3 S3 ? 120 ．

（1）求 an 与 bn ； （2）求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Tn 。 （3）若

1 1 ? ? S1 S2

?

1 ? x 2 ? ax ? 1 对任意正整数 n 和任意 x ? R 恒成立，求实数 a 的取值范围． Sn

21. （本小题满分 11 分） 如图，已知直线 l 与抛物线 x ? 4 y 相切于点 P(2，1)，且与 x 轴交于点 A，O 为坐标原点，定点 B 的坐标为

2

（2，0）. （I）若动点 M 满足 AB ? BM ? 2 | AM |? 0 ，求点 M 的轨迹 C； （II）若过点 B 的直线 l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F（E 在 B、F 之间） ，试求 △OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

[来源:Z_xx_k.Com]

22. （本小题满分 11 分） 已知函数 f ( x) ? ax ? 3, g ( x) ? bx （1）试求 b, c 所满足的关系式； （2）若 b=0，试讨论方程 f ( x) ? x | x ? a | g ( x) ? 0 零点的情况.

?1

1 ? cx ? 2 (a, b ? R)且g (? ) ? g (1) ? f (0). 2

高三回头考数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 ） 1.已知集合 A ? ?x ? N | 0 ? x ? 5? ， ?A B ? ?1,3,5? ，则集合 B ? （ A． ?2,4? B． ?2,3,4? C． ?0,1,3?

a b

D

） ）

D． ?0,2,4?

2.已知 a , b ? R，条件 p：“ a ? b ”，条件 q：“ 2 ? 2 ? 1 ”，则 p 是 q 的 （ A A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（ A ） A．

8 3 3 cm 3 4 3 3 C． cm 3

B．

3 3 cm 3

3

4

D． 3cm

4.设 l , m, n 表示三条不同的直线， ? , ? 表示两个不同的平面，则下列说法正确的是 （ C ） A．若 l ∥ m ， m ? ? ，则 l ∥ ? ； B．若 l ? m, l ? n, m, n ? ? ，则 l ? ? ； C．若 l ∥ ? ，l ∥ ? ，? ? ? m ，则 l ∥ m ； D．若 l ? ? , m ? ? , l ? m ，则 ? ? ? ． 5. 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0) 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距

1 1 正视图

侧视图

3

? ? 离等于 ，若将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 个单位得到函数 y ? g ( x) 的图 2 6 象，则 y ? g ( x) 是减函数的区间为 ( D ) ? ? ? ? ? ? A． ( ? , 0) B． ( ? , ) C． (0, ) D． ( , ) 3 4 3 3 4 4

x ?x

1 俯视图

6. 若函数 f ( x) ? ka ? a (a ? 0且a ? 1) 在 （ ?? ， 上既是奇函数又是增函数， 则函数 g ( x) ? log a ( x ? k ) ?? ） 的图象是 （ C ）

[来源:Zxxk.Com]

7. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S6 ? S7 ? S5 ,则满足 S n S n?1 ? 0 的正整数 n 的值为（ B ） A.13 B.12

2

C.11

D. 10

8.已知 O 为原点，双曲线

x ? y 2 ? 1 上有一点 P ，过 P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为 a2

（ C） C．

A, B ，平行四边形 OBPA 的面积为 1，则双曲线的离心率为

A． 2 B． 3

5 2

D．

2 3 3

（ C ）

AC 和 BC1 与平面 ? 所 成的角都为 30 ，这 9．已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 ，过顶点 A1 作平面 ? ，使得直线

样的平面 ? 可以有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

10．平面向量 a , b , e 满足 | e |? 1 ， a? e ? 1 ， b? e ? 2 ， | a ? b |? 2 ，则 a ? b 的最小值为（ B A.

? ? ?

?

? ?

? ?

?

?

? ?

）

1 2

B.

5 4

C. 1

D. 2

二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分）

?1 x ? e ? x ? 2? 11.数 f ? x ? ? ? 3 ,则 f ? ln3? =________. e ? f ? x ? 1?? x ? 2 ? ?

?? 3 3 7? ? ? 12 已知 cos ? ? ? ? ? sin ? ? ，则 sin ? ? ? 6 6? 5 ? ?

? ?? ?

. -3/5

13．已知实数 x, y 满足约束条件

?2 x ? y ? 0 ? ?y ? x ? y ? ?x ? b ?

,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 3，实数 b =

.

9 4

14.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如 下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价 （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦 （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦 时） 时） 50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288 超过 50 至 200 的部分 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时， 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 148.4 元（用数字作答） ．

三、解答题：本大题共 5 小题，共 49 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18． （本小题满分 8 分） 在 △ ABC 中，内角 A, B, C 对边的边长分别是 a , b, c ．已知 c ? 2, C ?

?

3

．

（Ⅰ）若 △ ABC 的面积等于 3 ，试判断 △ ABC 的形状，并说明理由； （Ⅱ）若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ，求 △ ABC 的面积． 1 8．解： （Ⅰ）由余弦定理及已知条件得， a ? b ? ab ? 4 ，

2 2

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ，所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ，得 ab ? 4 ．……..1 分 2

?a 2 ? b2 ? ab ? 4， ?ab ? 4，

解得 a ? 2 ， b ? 2 ．………….2 分

故 △ ABC 为等边三角形。…………………….3 分 （Ⅱ）由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A ， 即 sin B cos A ? 2sin A cos A ， ????4 分 若 cos A ? 0 ，则 A ?

?

2

，由 c ? 2, C ?

?

3

，得 b ?

2 3 ， 3

1 4 3 ．…………………………6 分 bc ? 2 3 若 cos A ? 0 ，可得 sin B ? 2sin A ，由正弦定理知 b ? 2a ， ?a 2 ? b2 ? ab ? 4， 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ，b ? ． 3 3 b ? 2 a ， ?

所以 △ ABC 的面积 S ? 所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 ．………………………8 分 ab sin C ? 2 3

19． （本小题满分 8 分） 如图，矩形 ABCD 中，AB=2BC=4，E 为边 AB 的中点，将△ ADE 沿直线 DE 翻折成△ A1DE （1）设 M 为线段 A1C 的中点，求证： BM// A1DE； （2）当平面 A1DE⊥平面 BCD 时，求直线 CD 与平面 A1CE 所成角的正弦

值．

19

解：(1)略；3 分 2 2 2 2 2 2 2 2 （2）由矩形 ABCD 中，AB=2BC=4，E 为边 AB 的中点，可得 ED =2 +2 =8=CE ，CD =4 =16，∴CE +ED = ∴∠CED=90°，∴CE⊥ED． 又∵平面 A1DE⊥平面 BCD，∴CE⊥平面 A1DE，∴CE⊥DA1． 又∵DA1⊥A1E， A1E∩EC=E， ∴DA1⊥平面 A1CE， ∴∠A1CE 即为直线 CD 与平面 A1CE 所成的角． 在 Rt△ A 中，sin∠A1CD= = ． …………8 分

（2） anbn ? (2n ? 1) ? 2 。

n

Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ?

? (2n ?1) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ， ? (2n ?1) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ， ? 2 ? 2n ? (2n ?1)2n?1

两式相减得 ?Tn ? 3 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ?

? 2 ? 22 ? 23 ?

? 2n?1 ? (2n ?1)2n?1 ? 2n?2 ? 2 ? (2n ?1)2n?1 ? (1 ? 2n)2n?1 ? 2 ，

所以 Tn ? (2n ?1) ? 2n?1 ? 2 。 （8 分） （3） Sn ? 3 ? 5 ? ∴

? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ，

1 1 1 1 ? ? ? ? S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

? 1 1 ? ) n n?2

1 1 ? ? S1 S2

?

?

1 n(n ? 2)

?

?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? 2 3 2 4 3 5

1 1 1 1 3 2n ? 3 3 (1 ? ? ? )? ? ? ， （10 分） 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2) 4

2

问题等价于 f ( x) ? x ? ax ? 1 的最小值大于或等于 即1 ?

3 ， 4

a2 3 ? ，即 a 2 ? 1 ，解得 ?1 ? a ? 1 。 （11 分） 4 4

21. （本小题满分 11 分） 如图， 已知直线 l 与抛物线 x ? 4 y 相切于点 P(2， 1)， 且与 x 轴交于点 A， O 为坐标原点， 定点 B 的坐标为 （2， 0）.

2

（I）若动点 M 满足 AB ? BM ? 2 | AM |? 0 ，求点 M 的轨迹 C； （II）若过点 B 的直线 l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F（E 在 B、F 之间） ，试求 △OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

21 解： （I）由 x ? 4 y得y ?

2

1 2 1 x ，? y ? ? x. ∴直线 l 的斜率为 y ? | x ?2 ? 1 ， （用点斜式 ? ? 0 ）故 l 的方程 4 2

为 y ? x ? 1 ，∴点 A 坐标为（1，0） ，………….2 分 设 M ( x, y ) ，则 AB ? (1,0), BM ? ( x ? 2, y), AM ? ( x ? 1, y) ， 由 AB ? BM ? 2 | AM |? 0 得 ( x ? 2) ? y ? 0 ?

2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 0. 整理，得

x2 ? y 2 ? 1. ∴点 M 的轨 2

迹为以原点为中心，焦点在 x 轴上，长轴长为 2 2 ，短轴长为 2 的椭圆 ??? 5 分 （II）如图，由题意知直线 l 的斜率存在且不为零，设 l 方程为 y=k(x－2)(k≠0)①

x2 ? y 2 ? 1 ，整理，得 将①代入 2 2 (2k ? 1) x 2 ? 8k 2 ? x ? (8k 2 ? 2) ? 0 ， 1 由△>0 得 0<k2< . 设 E(x1，y1)，F(x2，y2) 2 ? 8k 2 x ? x ? , 2 ? ? 1 2k 2 ? 1 则? ②…………..8 分 2 8 k ? 2 ?x x ? . ? 1 2 2k 2 ? 1 ?

令

??

S ?OBE x ?2 | BE | ， BE ? ? ? BF, ? ? 1 , 则? ? , 且0 ? ? ? 1. S ?OBF | BF | x2 ? 2

由②知

.∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是（3－2 2 ，1）. …………..11 分

22. （本小题满分 11 分） 已知函数 f ( x) ? ax ? 3, g ( x) ? bx （3）试求 b, c 所满足的关系式； （4）若 b=0，试讨论方程 f ( x) ? x | x ? a | g ( x) ? 0 零点的情况.

?1

1 ? cx ? 2 (a, b ? R)且g (? ) ? g (1) ? f (0). 2

22.解： （1）由 g (? ) ? g (1) ? f (0) ，得 (?2b ? 4c) ? (b ? c) ? ?3

1 2

∴b、c 所满足的关系式为 b ? c ? 1 ? 0 ．????????2 分 (2)原方程等价于 ax2 ? 3x ?| x ? a | 根据图像可得： 当 a ? 0 时， ?3x ?| x |, x ? 0 一个零点 当 a ? 0 时，两个零点 当 ?2 ? a ? 0 时，两个零点 当 a ? ?2 时，一个零点

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当 a ? ?2 时，无零点。?????????5 分

[来源:学科网 ZXXK]