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浙江省绍兴第一中学2015届高三上学期回头考试数学(文)试题


2.已知 a , b ? R,条件 p:“ a ? b ”,条件 q:“ 2 ? 2 ? 1 ”,则 p 是 q 的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该四棱锥的体积是 (
a b

) )

8 3 3 cm 3 4 3 3 C. cm 3
A.

B.

3 3 cm 3
3

D. 3cm

4

4.设 l , m, n 表示三条不同的直线, ? , ? 表示两个不同的平面,则下 列说法正确的是 ( ) A.若 l ∥ m , m ? ? ,则 l ∥ ? ; B.若 l ? m, l ? n, m, n ? ? ,则 l ? ? ; C.若 l ∥ ? , l ∥ ? , ? ? ? m ,则 l ∥ m ; D.若 l ? ? , m ? ? , l ? m ,则 ? ? ? . 5. 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0) 的图象与 x 轴的两 个相邻交点的距离等于

1 1 正视图

侧视图

3

? ? ,若将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 2 6 个单位得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 y ? g ( x) 是减函数的区间为 ( ) ? ? ? ? ? ? A. ( ? , 0) B. ( ? , ) C. (0, ) D. ( , ) 3 4 3 3 4 4 x ?x 6. 若函数 f ( x) ? ka ? a (a ? 0且a ? 1) 在 ( ?? , 上既是奇函数又是增函数, 则函数 g ( x) ? log a ( x ? k ) ?? )
的图象是 ( )

1 俯视图

7. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S6 ? S7 ? S5 ,则满足 S n S n?1 ? 0 的正整数 n 的值为( A.13 B.12 C.11 D. 10



8.已知 O 为原点,双曲线

x2 ? y 2 ? 1上有一点 P ,过 P 作两条渐近线的平行线,且与两渐近线的交点分别为 2 a

A, B ,平行四边形 OBPA 的面积为 1,则双曲线的离心率为
A. 2 样的平面 ? 可以有 A.1 个 B. 3 C.





5 2

D.

2 3 3
( )

AC 和 BC1 与平面 ? 所 成的角都为 30 ,这 9.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 ,过顶点 A1 作平面 ? ,使得直线
B.2 个
?

C.3 个
? ? ? ?

D.4 个
? ?

10.平面向量 a , b , e 满足 | e |? 1 , a? e ? 1 , b? e ? 2 , | a ? b |? 2 ,则 a ? b 的最小值为 ( A.

? ? ?

? ?



1 2

B.

5 4

C. 1

D. 2

来源:Z§xx§k.Com][来 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分)

?1 x ? e ? x ? 2? 11.数 f ? x ? ? ? 3 ,则 f ? ln3? =________. ? f ? x ? 1?? x ? 2 ? ?
?? 3 3 7? ? ? 12.已知 cos ? ? ? ? ? sin ? ? ,则 sin ? ? ? 6 6? 5 ? ?
? ?? ?
.

?2 x ? y ? 0 ? 13. 已知实数 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 3,实数 b = ? y ? ?x ? b ?

.

14.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如 下: 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价 (单位:千瓦时) (单位:元/千瓦 (单位:千瓦时) (单位:元/千瓦 时) 时) 50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288 超过 50 至 200 的部分 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过 200 的部分 0. 668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元(用数字作答) . 15. 在△ABC 中,B(10,0),直线 BC 与圆 Γ :x +(y-5) =25 相切,切点为线段 BC 的中点.若△ABC 的重心 恰好为圆Γ 的圆心,则点 A 的坐标为 .
2 2

x, x ? ?0,1? ? ? 16.已知 f ?x ? ? ? 1 ,若在区间 ? ?1,1? 内, g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 有两个零点,则实数 m 的 ? 1, x ? ?? 1,0? ? ? x ?1
取值范围是 .
2

17. 若正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4 xy ,且不等式 ( x ? 2 y)a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值 范围是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 8 分)

在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a , b, c .已知 c ? 2, C ?

?
3



(Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,试判断 △ ABC 的形状,并说明理由; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 19. (本小题满分 8 分) 如图,矩形 ABCD 中,AB=2BC=4,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A1DE (1)设 M 为线段 A1C 的中点,求证: BM// 平面 A1DE; (2)当平面 A1DE⊥平面 BCD 时,求直线 CD 与平面 A1CE 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 11 分)

[来源:学_科_网]

等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn , {bn }为等比数列, b1 ? 2 ,且 b2 S2 ? 32,

b3 S3 ? 120 .
(1)求 an 与 bn ; (2)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Tn 。 (3)若

1 1 ? ? S1 S2

?

1 ? x 2 ? ax ? 1 对任意正整数 n 和任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围. Sn

21. (本小题满分 11 分) 如图,已知直线 l 与抛物线 x ? 4 y 相切于点 P(2,1),且与 x 轴交于点 A,O 为坐标原点,定点 B 的坐标为
2

(2,0). (I)若动点 M 满足 AB ? BM ? 2 | AM |? 0 ,求点 M 的轨迹 C; (II)若过点 B 的直线 l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F(E 在 B、F 之间) ,试求 △OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

[来源:Z_xx_k.Com]

22. (本小题满分 11 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 3, g ( x) ? bx (1)试求 b, c 所满足的关系式; (2)若 b=0,试讨论方程 f ( x) ? x | x ? a | g ( x) ? 0 零点的情况.
?1

1 ? cx ? 2 (a, b ? R)且g (? ) ? g (1) ? f (0). 2

高三回头考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 ) 1.已知集合 A ? ?x ? N | 0 ? x ? 5? , ?A B ? ?1,3,5? ,则集合 B ? ( A. ?2,4? B. ?2,3,4? C. ?0,1,3?
a b

D

) )

D. ?0,2,4?

2.已知 a , b ? R,条件 p:“ a ? b ”,条件 q:“ 2 ? 2 ? 1 ”,则 p 是 q 的 ( A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该四棱锥的体积是( A ) A.

8 3 3 cm 3 4 3 3 C. cm 3

B.

3 3 cm 3
3

4

D. 3cm

4.设 l , m, n 表示三条不同的直线, ? , ? 表示两个不同的平面,则下列说法正确的是 ( C ) A.若 l ∥ m , m ? ? ,则 l ∥ ? ; B.若 l ? m, l ? n, m, n ? ? ,则 l ? ? ; C.若 l ∥ ? ,l ∥ ? ,? ? ? m ,则 l ∥ m ; D.若 l ? ? , m ? ? , l ? m ,则 ? ? ? . 5. 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0) 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距

1 1 正视图

侧视图

3

? ? 离等于 ,若将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 个单位得到函数 y ? g ( x) 的图 2 6 象,则 y ? g ( x) 是减函数的区间为 ( D ) ? ? ? ? ? ? A. ( ? , 0) B. ( ? , ) C. (0, ) D. ( , ) 3 4 3 3 4 4
x ?x

1 俯视图

6. 若函数 f ( x) ? ka ? a (a ? 0且a ? 1) 在 ( ?? , 上既是奇函数又是增函数, 则函数 g ( x) ? log a ( x ? k ) ?? ) 的图象是 ( C )
[来源:Zxxk.Com]

7. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S6 ? S7 ? S5 ,则满足 S n S n?1 ? 0 的正整数 n 的值为( B ) A.13 B.12
2

C.11

D. 10

8.已知 O 为原点,双曲线

x ? y 2 ? 1 上有一点 P ,过 P 作两条渐近线的平行线,且与两渐近线的交点分别为 a2
( C) C.

A, B ,平行四边形 OBPA 的面积为 1,则双曲线的离心率为
A. 2 B. 3

5 2

D.

2 3 3
( C )

AC 和 BC1 与平面 ? 所 成的角都为 30 ,这 9.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 ,过顶点 A1 作平面 ? ,使得直线
样的平面 ? 可以有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

10.平面向量 a , b , e 满足 | e |? 1 , a? e ? 1 , b? e ? 2 , | a ? b |? 2 ,则 a ? b 的最小值为( B A.

? ? ?

?

? ?

? ?

?

?

? ?



1 2

B.

5 4

C. 1

D. 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分)

?1 x ? e ? x ? 2? 11.数 f ? x ? ? ? 3 ,则 f ? ln3? =________. e ? f ? x ? 1?? x ? 2 ? ?
?? 3 3 7? ? ? 12 已知 cos ? ? ? ? ? sin ? ? ,则 sin ? ? ? 6 6? 5 ? ?
? ?? ?
. -3/5

13.已知实数 x, y 满足约束条件

?2 x ? y ? 0 ? ?y ? x ? y ? ?x ? b ?

,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 3,实数 b =

.

9 4

14.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如 下: 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价 (单位:千瓦时) (单位:元/千瓦 (单位:千瓦时) (单位:元/千瓦 时) 时) 50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288 超过 50 至 200 的部分 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 148.4 元(用数字作答) .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18. (本小题满分 8 分) 在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a , b, c .已知 c ? 2, C ?

?
3



(Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,试判断 △ ABC 的形状,并说明理由; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 1 8.解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 .……..1 分 2

?a 2 ? b2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 .………….2 分

故 △ ABC 为等边三角形。…………………….3 分 (Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , ????4 分 若 cos A ? 0 ,则 A ?

?
2

,由 c ? 2, C ?

?
3

,得 b ?

2 3 , 3

1 4 3 .…………………………6 分 bc ? 2 3 若 cos A ? 0 ,可得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理知 b ? 2a , ?a 2 ? b2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 b ? 2 a , ?
所以 △ ABC 的面积 S ? 所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 .………………………8 分 ab sin C ? 2 3

19. (本小题满分 8 分) 如图,矩形 ABCD 中,AB=2BC=4,E 为边 AB 的中点,将△ ADE 沿直线 DE 翻折成△ A1DE (1)设 M 为线段 A1C 的中点,求证: BM// A1DE; (2)当平面 A1DE⊥平面 BCD 时,求直线 CD 与平面 A1CE 所成角的正弦

值.

19

解:(1)略;3 分 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)由矩形 ABCD 中,AB=2BC=4,E 为边 AB 的中点,可得 ED =2 +2 =8=CE ,CD =4 =16,∴CE +ED = ∴∠CED=90°,∴CE⊥ED. 又∵平面 A1DE⊥平面 BCD,∴CE⊥平面 A1DE,∴CE⊥DA1. 又∵DA1⊥A1E, A1E∩EC=E, ∴DA1⊥平面 A1CE, ∴∠A1CE 即为直线 CD 与平面 A1CE 所成的角. 在 Rt△ A 中,sin∠A1CD= = . …………8 分

(2) anbn ? (2n ? 1) ? 2 。
n

Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ?

? (2n ?1) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n , ? (2n ?1) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 , ? 2 ? 2n ? (2n ?1)2n?1

两式相减得 ?Tn ? 3 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ?

? 2 ? 22 ? 23 ?

? 2n?1 ? (2n ?1)2n?1 ? 2n?2 ? 2 ? (2n ?1)2n?1 ? (1 ? 2n)2n?1 ? 2 ,

所以 Tn ? (2n ?1) ? 2n?1 ? 2 。 (8 分) (3) Sn ? 3 ? 5 ? ∴

? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ,
1 1 1 1 ? ? ? ? S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5
? 1 1 ? ) n n?2

1 1 ? ? S1 S2

?

?

1 n(n ? 2)

?
?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? 2 3 2 4 3 5

1 1 1 1 3 2n ? 3 3 (1 ? ? ? )? ? ? , (10 分) 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2) 4
2

问题等价于 f ( x) ? x ? ax ? 1 的最小值大于或等于 即1 ?

3 , 4

a2 3 ? ,即 a 2 ? 1 ,解得 ?1 ? a ? 1 。 (11 分) 4 4

21. (本小题满分 11 分) 如图, 已知直线 l 与抛物线 x ? 4 y 相切于点 P(2, 1), 且与 x 轴交于点 A, O 为坐标原点, 定点 B 的坐标为 (2, 0).
2

(I)若动点 M 满足 AB ? BM ? 2 | AM |? 0 ,求点 M 的轨迹 C; (II)若过点 B 的直线 l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F(E 在 B、F 之间) ,试求 △OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

21 解: (I)由 x ? 4 y得y ?
2

1 2 1 x ,? y ? ? x. ∴直线 l 的斜率为 y ? | x ?2 ? 1 , (用点斜式 ? ? 0 )故 l 的方程 4 2

为 y ? x ? 1 ,∴点 A 坐标为(1,0) ,………….2 分 设 M ( x, y ) ,则 AB ? (1,0), BM ? ( x ? 2, y), AM ? ( x ? 1, y) , 由 AB ? BM ? 2 | AM |? 0 得 ( x ? 2) ? y ? 0 ?

2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 0. 整理,得

x2 ? y 2 ? 1. ∴点 M 的轨 2

迹为以原点为中心,焦点在 x 轴上,长轴长为 2 2 ,短轴长为 2 的椭圆 ??? 5 分 (II)如图,由题意知直线 l 的斜率存在且不为零,设 l 方程为 y=k(x-2)(k≠0)①

x2 ? y 2 ? 1 ,整理,得 将①代入 2 2 (2k ? 1) x 2 ? 8k 2 ? x ? (8k 2 ? 2) ? 0 , 1 由△>0 得 0<k2< . 设 E(x1,y1),F(x2,y2) 2 ? 8k 2 x ? x ? , 2 ? ? 1 2k 2 ? 1 则? ②…………..8 分 2 8 k ? 2 ?x x ? . ? 1 2 2k 2 ? 1 ?


??

S ?OBE x ?2 | BE | , BE ? ? ? BF, ? ? 1 , 则? ? , 且0 ? ? ? 1. S ?OBF | BF | x2 ? 2

由②知

.∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是(3-2 2 ,1). …………..11 分

22. (本小题满分 11 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 3, g ( x) ? bx (3)试求 b, c 所满足的关系式; (4)若 b=0,试讨论方程 f ( x) ? x | x ? a | g ( x) ? 0 零点的情况.
?1

1 ? cx ? 2 (a, b ? R)且g (? ) ? g (1) ? f (0). 2

22.解: (1)由 g (? ) ? g (1) ? f (0) ,得 (?2b ? 4c) ? (b ? c) ? ?3

1 2

∴b、c 所满足的关系式为 b ? c ? 1 ? 0 .????????2 分 (2)原方程等价于 ax2 ? 3x ?| x ? a | 根据图像可得: 当 a ? 0 时, ?3x ?| x |, x ? 0 一个零点 当 a ? 0 时,两个零点 当 ?2 ? a ? 0 时,两个零点 当 a ? ?2 时,一个零点
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

当 a ? ?2 时,无零点。?????????5 分

[来源:学科网 ZXXK]


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