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导数大题专练


70 中高三专题复习导数 2014


一、常见基本问题:

导数中的单调性问题

(1) 求已知函数的单调区间,要注意函数的定义域; (2)已知函数的单调性,求参数的取值范围。 1、已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a ln x . (2)若函数 g ( x ) ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间;

2 ? f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

ax ,在 x ? 1 处取得极值为. (1)求函数 f ( x) 的解析式; x ?b (2)若函数 f ( x) 在区间 (m, 2m ? 1) 上为增函数,求实数的取值范围;
2.已知函数 f ( x ) ?
2



导数中的分类讨论问题

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知 识点较多,利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样,具有较高的逻辑性及很强的 综合性,树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体, 明确分类的标准,分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 一、参数引起的分类讨论
2 1:已知函数 f ( x) ? p ln x ? ( p ? 1) x ? 1, 当 p ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性。

1

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二、判别式引起的分类讨论 2:已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ln x , ( a ? R ) ,讨论 f ( x ) 在定义域上的单调性。

三、二项系数引起的分类讨论 3.已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax2 ? 1. (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

(2)设 a≤-2,求证:对任意 x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.

针对性练习 1.已知函数

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R且a ? 0) . p ? 2e ? 3 ,若在区间 [1, e] 上至少存在一个 x0 , (Ⅱ)当 a ? 2 时,设函数 h( x) ? ( p ? 2) x ? x 使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,试求实数 p 的取值范围.

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一、常见基本题型:

导数中的求参数取值范围问题

(1)已知函数单调性,求参数的取值范围,如已知函数 f ( x ) 增区间,则在此区间上导函数

f ?( x) ? 0 ,如已知函数 f ( x) 减区间,则在此区间上导函数 f ?( x) ? 0 。
(2)已知不等式恒成立,求参数的取值范围问题,可转化为求函数的最值问题。 1.已知 a ?R,函数 f ( x) ? (? x 2 ? ax)e? x .( x ?R,e 为自然对数的底数) (1)若函数 f ( x)在( ?1,1) 内单调递减,求 a 的取值范围; (2)函数 f ( x ) 是否为 R 上的单调函数,若是,求出 a 的取值范围;若不是,请说明理由.

2:已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ax ? 3? a ? R ? 若函数 y ? f ( x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜 , 角为 45? ,对于任意 t ? [1, 2] ,函数 g ? x ? ? x ? x [ f ( x ) ?
3 2 /

m ] 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,求 m 2

的取值范围;

3.已知函数 f ( x) ? ln x ?
2

1 3 x? ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; 4 4x

(2)设 g ( x) ? ? x ? 2bx ? 4 ,若对任意 x1 ? (0 , 2) , x2 ? ?1 , 2? ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成 立,求实数 b 的取值范围.

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4.设函数 f ( x) ? x2 ? m ln x, h( x) ? x2 ? x ? a , (1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围.

二、针对性练习 1.已知函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x
x (1)若存在 x ? [ ?1, ln ] ,使 a ? e ? 1 ? x ? 0 成立,求 a 的取值范围;

4 3

(2)当 x ? 0 时, f ( x) ? tx2 恒成立,求 t 的取值范围.



导数中的图像关系问题

一、常见基本题型: (1)已知图像交点个数,求参数的取值范围, 1.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a ln(x ?1)(a ? R) (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的最值; (2)说明是否存在实数 a ( a ? 1) 使 y ? f ( x) 的图象与 y ?

5 ? ln 2 无公共点. 8

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(2)已知图像的位置关系求参数的取值范围 2.已知二次函数 h( x) ? ax2 ? bx ? c(c ? 0) ,其导函数 y ? h?( x) 的图象如图 所示, f ( x) ? ln x ? h ( x ).若函数 y ? 2 x ? ln x , ( x ? [1, 4]) 的图象总在函数

y ? f ( x) 的图象的上方,求 c 的取值范围.

二、针对性练习 1.已知函数 f ( x ) ?

ln x ? a (a ? R) x

(1)求 f ( x) 的极值;

(2)若函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) =1 的图象在区间 (0, e 2 ] 上有公共点,求实数 a 的取值范围。


一、常见基本题型:

导数中的有关方程根的问题

(1) 判断根的个数问题,常常转化为函数图象的交点个数问题,通过构造函数来求解, 1.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1), g ( x) ?
2

1 ? a. 求方程 f ( x) ? g ( x) 的根的个数. x ?1
2

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(2)已知方程在给定的区间上解的情况,去求参数的取值范围,另外有关方程零点的个数问题其 实质也是方程根的问题。 2.已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? (b ? a) x,(a, b 是不同时为零的常数) ,其导函数为 f ?( x ) , (1)求证:函数 y ? f ?( x) 在 (?1, 0) 内至少存在一个零点; ( 2 )若函数 f ( x ) 为奇函数,且在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,关于 x 的方程

1 f ( x ) ? ? t 在 [?1, t ](t ? ?1) 上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围. 4

二、针对性练习 1。设函数 f ( x) ? ln x ? 数 m 的值.

1 2 ax ? bx. 当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x2 有唯一实数解,求正 2

2.设函数 f ( x) ? c ln x ?

1 2 x ? bx(b, c ? R, c ? 0) ,且 x ? 1 为 f ( x) 的极值点. 2

(Ⅰ) 若 x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点,求 f ( x ) 的单调区间(用 c 表示) ; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恰有两解,求实数 c 的取值范围.

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导数中的恒成立问题

一、常见基本题型: (1)已知某个不等式恒成立,去求参数的取值范围; (2)让你去证明某个不等式恒成立。 解此类问题的指导思想是:构造函数,或参变量分离后构造函数,转化为求新函数的最值问题。 1:已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

x2 ? 2a(a ? 1) ln x ? (3a ? 1) x . 2

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线与直线 y ? 3x ? 0 平行,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,若对任意 x ? ?1,2? , f ( x) ? b 2 ? 6b ? 0 恒成立,求实数 b 的取值范围.

2. 函数 f ( x) ? x 2 ? b ln(x ? 1) ? 2 x, b ? R ,设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,若 b ? 2 , 求证:对任意 x1 , x2 ? (?1,??) ,且 x1 ? x 2 ,都有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) .

二、针对性练习 1. 已 知 函 数 f ( x ) ? In ( 2 ? 3 x ) ?

1 1 1 m 2 x 在 x ? 处 取 得 极 值 , 若 对 任 意 x ?[ , ] , 不 等 式 3 6 3 2

| a ? Inx | ? In[ f / ( x) ? 3x] ? 0 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

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2.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R且a ? 0) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 若函数 y ? f ( x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45 ? , 问:m 在什么范围取值时,

m 对于任意的 t ? ?1,2?,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? ? f ' ( x)? 在区间 (t ,3) 上总存在极值? ? ? ?2 ?



导数中的不等式证明问题

一、常见基本题型: (1) 结合问题之间的联系,利用函数的单调性证明; (2) 构造新的函数,求导,结合函数的单调性去证。 1:已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

1 2 x ? 2x . 2

(1)设 h( x) ? f ( x ?1) ? g / ( x) (其中 g / ( x) 是 g ( x) 的导函数) ,求 h( x) 的最大值; (2)证明: 当 0 ? b ? a 时,求证: f (a ? b) ? f (2a) ?

b?a ; 2a

2.已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ax ? 3? a ? R ? . (1) 当 a ? 0 时, 求函数 f ( x) 的最小值; (2) 求证:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ??? ? ?n ? N , n ? 2? . 2 3 4 n n

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一、常见基本题型:

导数中的探索性问题

(1)探索图像的交点个数问题,可转化方程解的个数求解, 1、 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 3x , (1)若 x ? ? 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [1, a] 上的最大值; (2)在(1)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? bx 的图像与函数 f ( x) 的图象恰有 3 个 交点?若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由。

1 3

(2)探索函数的零点个数问题

? 2. 已 知 函 数 f ( x)
?( x) ?

1 2

2 a x ? 2

, x g (? ) x ,l 是 n x否 存 在 正 实 数 a , 使 得 函 数

1 g ( x) ? f ?( x) ? 2a ? 1 在区间 ( , e ) 内有两个不同的零点?若存在,请求出 a 的取值范围; e x

若不存在,请说明理由.

(3) 探索函数图象的位置关系问题 3. 若 存 在 实 常 数 k 和 b , 使 得 函 数 f ( x) 和 g ( x) 对 其 定 义 域 上 的 任 意 实 数 x 分 别 满 足 :

f ( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b , 则称直线 l : y ? kx ? b 为 f ( x) 和 g ( x) 的 “隔离直线” . 已知 h( x) ? x ,
2

? ( x) ? 2e ln x . (1)求 F ( x) ? h( x) ? ? ( x) 的极值;
(2) 函数 h( x) 和 ? ( x) 是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

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二、针对性练习 (1)求函数 f ( x) 的单调区间; f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2ln(1 ? x) . 1 2 2 (2)当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,是否存在整数 m ,使不等式 m ? f ( x) ? ?m ? 2m ? e 恒成立?若存在,求 e 整数 m 的值;若不存在,请说明理由。
1. 设函数

2. 已知定义在 R 上的二次函数 R( x) ? ax ? bx ? c 满足 2
2

R(? x)

? 2 R ( x ) ? 0 ,且 R( x) 的最小值为 0,

函数 h( x) ? 1nx ,又函数 f ( x) ? h( x) ? R( x) 。 (I)求 f ( x ) 的单调区间; (II)若二次函数 R( x) 图象过(4,2)点,对于给定的函数 f ( x ) 图象上的点 A( x1 , y1 ) ,当 x1 ?

3 2

时,探求函数 f ( x ) 图象上是否存在点 B( x2 , y2 ) ( x2 ? 2 ) ,使 A、B 连线平行于 x 轴,并说明理 由。

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