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07-12年数学选修4-1高考题


2007
22.A(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AP 是 ? O 的切线, P 为切点, AC 是 ? O 的割线,与 ? O 交于 B,C 两点,圆心 O 在 ?PAC 的 内部,点 M 是 BC 的中点. , (Ⅰ)证明 A P,O,M 四点共圆; (Ⅱ)求 ?OAM ? ?APM 的大小.

P

A B M

O

(Ⅰ )证明:连结 OP,OM .
因为 AP 与 ? O 相切于点 P ,所以 OP ? AP . 因为 M 是 ? O 的弦 BC 的中点,所以 OM ? BC .

C

于是 ?OPA ? ?OMA ? 180° . , 由圆心 O 在 ?PAC 的内部, 可知四边形 APOM 的对角互补, 所以 A P,O,M 四点共圆.

(Ⅱ )解:由(Ⅰ)得 A,P,O,M 四点共圆,所以 ?OAM ? ?OPM .
由(Ⅰ)得 OP ? AP . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知 ?OPM ? ?APM ? 90° . 所以 ?OAM ? ?APM ? 90° .

2008
22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A,过 A 作直线 AP 垂直直线 OM, 垂足为 P。 (1)证明:OM·OP = OA2; (2)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交 直线 ON 于 K。证明:∠OKM = 90°。
B A K

解: Ⅰ)证明:因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA ? AM . (
又因为 AP ? OM .在 Rt△OAM 中,由射影定理知,
O

N P M

OA ? OM gOP .
2

(Ⅱ)证明:因为 BK 是圆 O 的切线, BN ? OK .

OK ,又 OB ? OA , 同(Ⅰ) ,有 OB ? ON g
2

OM ? ON gOK ,即 所以 OPg
又 ∠NOP ? ∠MOK ,

ON OM ? . OP OK
?

所以 △ONP ∽△OMK ,故∠OKM ? ∠OPN ? 90

2009
(22)本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

如图,已知 ?ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H, ?B ? 60 ,F 在 AC 上,
0

且 AE ? AF 。 (I) 证明:B,D,H,E 四点共圆: (II) 证明: CE 平分 ? DEF 。

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为∠B=60°,
所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°, 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以 B,D,H,E 四点共圆. (Ⅱ)连结 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线,得∠HBD=30° 由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以∠CED=∠HBD=30°. 又∠AHE=∠EBD=60°,由已知可得 EF⊥AD, 可得∠CEF=30°. 所以 CE 平分∠DEF.
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m w.w. w. k. s.5.u.c.o.m

2010
(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已经圆上的弧 (Ⅰ)∠ACE=∠BCD; 2 (Ⅱ)BC =BF×CD。 ,过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明:

解: (I)因为 ? ? BC , AC ?
所以 ?BCD ? ?ABC . 又因为 EC 与圆相切于点 C ,故 ?ACE ? ?ABC , 所以 ?ACE ? ?BCD .

(II)因为 ?ECB ? ?CDB, ?EBC ? ?BCD , 所以 ?BDC ∽ ?ECB ,故 即 BC ? BE ? CD .
2

BC CD ? , BE BC

2011
(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合。 已知 AE 的长为 n , AD , AB 的长是关于 x 的方程 x 2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。

解:

(I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,

AD×AB=mn=AE×AC,
AD AE ? 即 AC AB .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。 (Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12.

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心 为 H,半径为 DH.

1 由于∠A=900,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 2 (12-2)=5.

故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2

2012
(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图, D, E 分别为 ?ABC 边 AB, AC 的中点,直线 DE 交

?ABC 的外接圆于 F , G 两点,若 CF / / AB ,证明:
(1) CD ? BC ; (2) ?BCD ? ?GBD

【解析】 1) CF / / AB , DF / / BC ? CF / /BD/ / AD ? CD ? BF (
CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD (2) BC / / GF ? BG ? FC ? BD BC / /GF ? ?GDE ? ?BGD ? ?DBC ? ?BDC ? ?BCD ? ?GBD


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