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2015-2016学年高中数学 1.2.1第1课时 三角函数的定义课件 新人教A版必修4


第一章
三角函数

1.2 任意角的三角函数

1.2.1

任意角的三角函数

第1课时 预习篇

三角函数的定义 提高篇

课堂篇

巩固篇

课时作业

学习目标
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用. 2.能判断任意角的三角函数值的符号. 3.掌握公式一及其应用.

重点难点
重点:任意角的三角函数的定义及诱导公式一的应 用; 难点:任意角的三角函数的定义.

预习篇01
新知导学

三角函数的定义

(1)单位圆:圆心是 原点 ,半径长为 单位长度. (2)定义:设任意角α的终边与单位圆交于点P(x, y y),则sinα= y ,cosα= x ,tanα=x(x≠0).

(3)一般地,设角α终边上任意一点P的坐标为(x,y), y x y 它与原点的距离为r,则sinα=r ,cosα= r ,tanα=x.

1.三角函数值的大小与点P在终边上的位置是否有 关? 答:三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大 小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有 关,即三角函数值的大小只与角有关.

2.由三角函数的定义,求任意角α的正弦、余弦值需 分哪几步? 答:求任意角α的正弦、余弦值分两步,第一步求出角 α的终边与单位圆的交点P,第二步写出点P的坐标,其中 纵坐标为正弦值,横坐标为余弦值.

三角函数的定义域

三角函数值的符号法则

结合任意角的三角函数的定义,请将三种三角函数 的值在各象限的符号填入下图的横线上:

3.任意角α的三角函数值的符号与角α的什么有关? 答:与角α终边所在的象限有关. 4.若三角函数的符号确定,则角的终边所在象限也是 唯一确定的吗? 答:不一定,若已知角α的一个三角函数值的符号,则 角α所在的象限可能有两种情况,若已知角α的两个三角函 数值的符号,则角α所在的象限就唯一确定.

诱导公式一

(1)语言表示:终边相同的角的 同一 三角函数的值 相等. ?sin?α+k·2π?=sinα, ? (2)式子表示:?cos?α+k·2π?=cosα, ?tan?α+k·2π?=tanα ?

(k∈Z).

5.同一三角函数值相等时,角是否一定相等或相差周 角的整数倍? 1 答:不一定,如sin30° =sin150° = . 2

1.解析三角函数的定义 (1)三角函数是一种函数,它满足函数的定义,可以看 成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应. (2)三角函数是用比值来定义的,所以三角函数的定义 域是使比值有意义的角的范围. (3)三角函数是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y) 在终边上的位置无关,只由角α的终边位置决定,即三角函 数值的大小只与角有关.

2.公式一的理解 (1)公式一的实质:是说终边相同的角的三角函数值相 等,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一 次,体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律. (2)公式一的结构特征: ①左、右为同一三角函数; ②公式左边的角为α+k·2π(k∈Z),右边的角为α. (3)公式一的作用:

利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0~2π间角的 三角函数,亦可把大于2π的角的三角函数化为0~2π间角的 三角函数,即实现了“负化正,大化小”.

课堂篇02
合作探究

利用定义求角的三角函数值

【例1】

已知点M是圆x2+y2=1上的点,以射线

2 OM为终边的角α的正弦值为- 2 ,求cosα和tanα的值. 【分析】 解答本题可先用正弦函数的定义,求出

M点的纵坐标,再用点在圆上,求出点的横坐标,得 cosα与tanα的值.

【解】

设点M的坐标为(x1,y1).

2 2 由题意可知,sinα=- 2 ,即y1=- 2 . ∵点M在圆x2+y2=1上,
? 2 2 ∴x1 +y2 1=1,即x1+?- ? ?

2? ?2 =1, 2? ?

2 2 解得x1= 2 ,或x1=- 2 . 2 2 ∴cosα= ,tanα=-1,或cosα=- ,tanα=1. 2 2

通法提炼 利用三角函数的定义,求一个角的三角函数,需要确 定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标 x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意,点的坐标含有 参数时,应分类讨论.

10 已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0),且cosθ= x, 10 求sinθ,tanθ的值.

x 10 x 解:∵r= x +9,cosθ=r ,∴ 10 x= 2 . x +9
2

又x≠0,∴x=± 1,∴r= 10.又y=3>0, ∴θ是第一或第二象限角. 当θ为第一象限角时,sinθ= 3 10 ,tanθ=3;当θ为第 10

3 10 二象限角时,sinθ= 10 ,tanθ=-3.

三角函数值的符号问题

【例 2】

判断下列各式的符号:

(1)α 是第四象限角,sinα· tanα; 23π (2)sin3· cos4· tan(- 4 ).

【解】

(1)∵α是第四象限角,

∴sinα<0,tanα<0,∴sinα· tanα>0. π 3π (2)∵ <3<π,π<4< , 2 2 ∴sin3>0,cos4<0, 23π π 23π ∵- =-6π+ ,∴tan(- )>0, 4 4 4 23 ∴sin3· cos4· tan(- 4 π)<0.

通法提炼 ?1?准确确定三角函数中角所在象限是基础,准确记忆 三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键. ?2?记忆技巧:一全正、二正弦、三正切、四余弦?为正 ?.,即:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正 切为正,第四象限余弦为正.

(1)若sinα· cosα<0,则α的终边在( A.第一或第二象限 C.第一或第四象限

)

B.第一或第三象限 D.第二或第四象限

解析:∵sinα· cosα<0,∴sinα与cosα异号, ∴α的终边在第二或第四象限.
答案:D

(2)若sinθ· tanθ>0,cosθ· tanθ<0,则sinθ· cosθ________0 (填“>”“<”或“=”).

解析:由sinθ· tanθ>0,知sinθ与tanθ同号,θ是第一或第 四象限角,又cosθ· tanθ<0,得θ是第三或第四象限角,得θ 只能是第四象限角,有sinθ<0,cosθ>0,所以sinθ· cosθ<0.
答案:<

诱导公式一的应用

【例3】

求下列各式的值:

? 15π? 25π (1)sin 3 +tan?- 4 ?; ? ?

(2)sin810° +cos360° -tan1 125° .

【分析】

(1)如何把在0° ~360° (或0~2π)外的角用

0° ~360° (或0~2π)内的角表示?(改写为k· 360° +α(或2kπ+ α),k∈Z的形式) (2)公式一有何规律?(终边相同角的同名三角函数值相 等)

【解】

? 15π? 25π (1)sin 3 +tan?- 4 ? ? ?

? ? π? π? =sin?8π+3?+tan?-4π+4? ? ? ? ?

π π =sin3+tan4 3 = 2 +1.

(2)sin810° +cos360° -tan1 125° =sin(2×360° +90° )+cos(360° +0° )-tan(3×360° + 45° ) =sin90° +cos0° -tan45° =1+1-1 =1.

通法提炼 利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤: (1)定形:将已知的任意角写成2kπ+α的形式,其中α∈ [0,2π),k∈Z; (2)转化:根据诱导公式,转化为求角α的某个三角函数 值; (3)求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数 值.

? 11 ? 12π ? ? - π 计算sin 6 ?+cos 5 ·tan4π. ?

?π ? 12π π ? ? 解:原式=sin 6-2π +cos 5 · tan0=sin6+0 ? ?

1 1 =2+0=2.

提高篇03
自我超越

——易错警示系列—— 对三角函数的定义理解不准确致误 已知某角的终边上的一点,求三角函数值时,如果此 点的坐标含有字母参数,常忽略对字母的分类讨论,导致 解题结果出错,一定要注意对字母进行分类讨论.

【例】

已知角α的终边上有一点P(24k,7k),k≠0,求

sinα,cosα,tanα的值.

【错解】

令x=24k,y=7k,

则有r= ?24k?2+?7k?2=25k, y 7 x 24 y 7 ∴sinα= = ,cosα= = ,tanα= = . r 25 r 25 x 24

【错因分析】

条件中点P(24k,7k)中参数k只告诉了

k≠0,而没有告诉k的符号,需分k>0与k<0讨论,而上述解 法错在默认为k>0.

【正解】

当k>0时,令x=24k,y=7k,

则有r= ?24k?2+?7k?2=25k, y 7 x 24 ∴sinα=r =25,cosα= r =25, y 7 tanα=x=24. 当k<0时,令x=24k,y=7k,则有r=-25k, y 7 x 24 ∴sinα=r =-25,cosα= r =-25, y 7 tanα= = . x 24

已知角α的终边过点P(-3m,m)(m≠0),则sinα= ________.

解析:由题意可得:|OP|= ?-3m?2+m2= 10|m|. 当m>0时,|OP|= 10|m|= 10m, m 10 则sinα= = . 10m 10 当m<0时,|OP|= 10|m|=- 10m, m 10 则sinα= =- 10 . - 10m
10 10 答案: 10 或- 10


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