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2.2.1二次函数的图象与性质第1课时


北师大版九年级下册第二章《二次函数》

有的放矢

学习目标 ? 1、会用描点法画二次函数y=x2和y=-x2的图象;

? 2、根据函数y=x2和y=-x2图象,直观地了解它的性质.

有的放矢

数形结合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么? ?你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? ?观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:

<列表>
x y=x2 … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …

做一做

描点,连线
y
10 8 6 4

2 y=x

?
-4 -3 -2 -1

2 0 -2 1 2 3 4 x

议一议

观察图象,回答问题串
y
10

2 y=x

?(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流 . 8 ?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出 6 几对对称点,并与同伴交流. 4 ?(3)图象 与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么? 2 ?(4)当x<0时,随着x的值增大,y 1 的值如何变化?当x>0呢?

-3 -2 -1 0?最小值是什么?你是如何知道的? 1 2 3 4 x ?(5)当x-4 取什么值时 ,y的值最小 -2

y ? x2

二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.

y?x

2

当x=1时,y=1 当x=2时,y=4

当x>0 (在对称轴的右侧) 时, y随着x的增大而增大.
当x=-2时,y=4 当x=-1时,y=1

当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.

抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上,并且向 上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小, 最小值是0.

做一做

在学中做—在做中学
?(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状? ?(2)先想一想,然后作出它的图象.

?(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系? x
y=-x2




-3
-9

-2
-4

-1
-1

0
0

1
-1

2
-4

3
-9




你能根据表格中的数据作 出猜想吗?

做一做

描点,连线
y 2 0

-4

-3

-2

-1

-1 -2
-4 -6

1

2

3

4

x

?

-8 -10

y=-x2

做一做

观察图象,回答问题串
y 2

(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 (2)图象 与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么? -2

(3)当x<0时,随着x的值增大,y-4 的值如何变化?当x>0呢? (4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的? -6 (5)图象是轴对称图形吗?如果是 -8 ,它的对称轴是什么?请你找出几 对对称点,并与同伴交流. 2 -10

0

x

y=-x

y

二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.

y ? ?x2

对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.

y 当x= -2时,y= -4 当x= -1时,y= -1

当x=1时,y= -1 当x=2时,y= -4

y ? ?x

2
当x>0 (在对称轴的右 侧)时, y随着x的增大 而减小.

当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而增大.

抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点
外),顶点是它的最高点,开口向下,并 且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值

最大,最大值是0.

做一做
y

函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
y 0

y=x2
它们之 间有何 关系?

x

?

y=-x2
0 x

二次函数y=ax2的性质
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向

y ? x2

3.增减性与最值
根据图形填表:
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 y=x2 (0,0) y轴 在x轴的上方(除顶点外) 向上

y ? ?x2
y= -x2
(0,0) y轴 在x轴的下方( 除顶点外) 向下

开口方向
增减性

在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

最值

当x=0时,最小值为0.

当x=0时,最大值为0.

做一做

函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 在同一坐标系中作出函 数y=x2和y=-x2的图象
y

y= x2

y=x2和y=-x2是y=ax2当 a=±1时的特殊例子.a的 符号确定着抛物线

0

x

的……

y=-x2

y ? x2

二次函数y=ax2的性质
y ? ?x2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.

2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无 限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且 向下无限伸展.

3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴右侧,y随着x的
增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增 大而增大;在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.

例题欣赏

我思,我进步

?1.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).

(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)判断点B(-1,- 4)是否在此抛物线上. (3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标. 解:(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2. (2)因为 ? 4 ? ?2(?1) 2 ,所以点B(-1 ,-4)不在此抛物线上.

?

(3)由-6=-2x2 ,得x2=3,

点有两个,它们分别是

x ? ? 3 所以纵坐标为-6的 ( 3,?6)与(? 3,?6)

例题欣赏

知道就做别客气
?2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 (0,0) ,对称轴是 在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大;在 对称轴的左 y轴 ,

侧,y随着

x的增大而减小,当x= 抛物线y=2x2在x轴的

0


时,函数y的值最小,最小值是 方(除顶点外).

0

,

2 ?(2)抛物线 y ? ? x 2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x 3 的 增大而增大 ;在对称轴的右侧,y随着x的 增大而减小 ,当x=0时,

函数y的值最大,最大值是

0 ,当 x

?

0时,y<0.

已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开 口向上,求m的值和函数解析式

m2+m

解: 依题意有:

m+1>0 ① m2+m=2 ②

解②得:m1=-2, m2=1 由①得:m>-1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
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小结

拓展

y ? x2

回味无穷
?

由二次函数y=x2和y=-x2知:

y ? ?x2

?

1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.

? 2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向 上,并且向上无限伸展;当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除 顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
? 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴右侧,y随着x的
增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x增

大而减小,当x=0时,函数y的值最大

下课了!

结束寄语
?

只有不断的思考,才会有新的发现;

只有量的变化,才会有质的进步.


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