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辽宁省五校协作体2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题


辽宁省五校协作体 2013 届高三第二次联合模拟考试

数学学科试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 1. ( 文 ) 已 知 全 集 U = R , M ? {x | x ? 0 或 x ? 2} , N ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0} , 则
2

?N ( M ? N ) ? (
A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2}
x ?1

) B. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | x ? 2} ) D. (2,-1)

) 2.函数 y ? 2a (0 ? a ? 1 的图象一定过点(
A. (1,1) B. (1,2) C. (2,0)

3.(文)曲线 y ? 3ln x ? x ? 2 在点 P0 处的切线方程为 4 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P0 的坐标是( ) A.

(0,1)

B.

(1, ?1)

C.

(1,3)

D.

(1, 0)


4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.

3 C. y ? x D. y ? ? x y ? sin( x ? ) B. y ? 2 x 6 5.有下列说法: 1) p ? q ”为真是“ p ? q ”为真的充分不必要条件; 2) p ? q ”为假是“ p ? q ” ( “ ( “

?

为真的充分不必要条件; (3)“ p ? q ”为真是“ ?p ”为假的必要不充分条件; (4)“ ?p ”为真 是“ p ? q ”为假的必要不充分条件。其中正确的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
?

6.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是三内角 A, B, C 的对边,设 A ? 60 , a ? 4 3, b ? 4 2 ,则 B ? ( ) A. 7.
45? 或 135?

B.

1350

C.

45?

D.

以上都不对

1 ? 2sin(? ? ? ) sin(

3? ?? ? ? ? ) ? ( )其中 ? ? ? , ? ? 2 ?2 ?
B. cos ? -sin ? C. ± (sin ? -cos ? ) D. sin ? +cos ?

A. sin ? -cos ?

2 8. 设 映 射 f : x ? ? x ? 2 x ?1是 集 合 A ? ? x | x ? 2? 到 集 合 B ? R 的 映 射 。 若 对 于 实 数

p ? B ,在 A 中不存在对应的元素,则实数 p 的取值范围是(
A. ?1,??? B.



? ?1, ?? ?

C.

? ??, ?1?

D.

? ??, ?1?

9.(文)函数 y ? cos 2 x 在下列哪个区间上是减函数( )

-1-

A. [?

? ?

? 3? , ] B. [ , ] 4 4 4 4
2

C.

[0, ] 2

?

D.

[ ,? ] 2

?

10.已知函数 f ( x) ? (m ? 2) x ? mx ? (2m ? 1) 的两个零点分别在区间 (?1,0) 和区间 (1, 2) 内, 则实数 m 的取值范围是 A. ? , ? ( B. ? , ? 4 2 )

?1 1? ?4 2?

?1 1? ? ?
? a1a4 ? a2 a3 .

C. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 4?

D. ? ?

? 1 1? , ? ? 4 2?

11.定义行列式运算:

a1 a2 a3 a4

若将函数 f ( x ) ?

-sinx cos x 1 - 3

的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位后, 所得图象对应的函数为

奇函数,则 m 的最小值是( ) A.

2? 3

B.

? 3

C.

? 6

D. ?

5 6

12.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在区间 [0, ??) 上为增函数,且 f ( ) ? 0 ,则不等式

1 3

f (log 1 x) ? 0 的解集为( )
8

A.

1 ( , 2) 2

B.

(2, ??)

C.

1 (0, ) ? (2, ??) 2

D.

1 ( ,1) ? (2, ??) 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。 13.函数 y ?

log 1 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为
3



14.(文)函数 f ( x) ? ? 15.给出下列命题:

? f ( x ? 2),  x ? 2
?x ?2 ,   

x?2

,则 f (?3) 的值为

① 存在实数 x ,使 sin x ? cos x ?

3 ; 2

② 若 ? 、 ? 是第一象限角,且 ? > ? ,则 cos ? <cos ? ; ③ 函数 y ? sin( x ?

) 是偶函数; 2 ④ A、B、C 为锐角 ?ABC 的三个内角,则 sin A ? cos B
其中正确命题的序号是____________. (把正确命题的序号都填上) 16.(文)已知 sin x ?

2 3

?

m?3 4 ? 2m ,且 x ? ? 3? , 2? ? ,则 tan x ? , cos x ? ? ? m?5 m?5 ? 2 ?

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树,记做 A、B、 P、Q,欲测量 P、Q 两棵树和 A、P 两棵树之间的距离,但湖岸部分地方围有铁 丝网不能靠近,现在可以方便的测得 A、B 两点间的距离为 AB ? 100 米,如图, 同时也能测量出 ?PAB ? 75 , ?QAB ? 45 , ?PBA ? 60 , ?QBA ? 90 ,则 P、Q 两棵树和 A、P 两棵树之间的距离各为多少?

?

?

?

?

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 设 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 向 量

?? ? ?? ? m ? ( c o sA , s iA,向量 n ? ( 2 ? sin A, cos A) ,若 m ? n ? 2 n )
(1)求角 A 的大小 ; (2)若 b ? 4 2 ,且 c ?

2a ,求 ?ABC 的面积.

19. (本小题 12 分)鑫隆房地产公司用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x( x ? 10) 层,则每平方米的平均建 筑费用为 560 ? 48x (单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
购地总费用 ) 建筑总面积

-3-

20(.本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ?2sin x cos x ? 2cos x ? 1
2

(1)设方程 f ( x) ? 1 ? 0 在(0, ? )内有两个零点 x1、x2 ,求 x1 ? x2 的值; (2)若把函数 y ? f ( x) 的图像向左移动 m (m ? 0) 个单位,再向下平移 2 个单位,使所得函数 的图象关于 y 轴对称,求 m 的最小值。

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时,

f ?x ? ? x 2 ? 2 x .现已画出函数 f ? x ? 在 y 轴左侧的图像,如图所示,并根据图像

(1)写出函数 f ?x ?

?x ? R ? 的增区间; (2)写出函数 f ?x ? ?x ? R ? 的解析式; (3)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? 2( x ? ?1, 2?) ,求函数 g ( x) 的最小值。

22.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 . (1)已知函数 h(x)=g(x)+ax3 的一个极值点为 1,求 a 的取值; (2) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (3)对一切 x? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

-4-

答案: 1.(文)C 2.B 3.(文)C 4.D 5. B 6.C 7. A 8.B 9.(文)A 10.A 11.C 12.C 13. ? ? ,? ? ? , 0 1? 14.(文) 15. ③④

? 1 ? 4

? ?

?3 ? ?4 ?

1 8

3 4 ? ? ? ? 17.解析: △PAB 中, ?APB ? 180 ? (75 ? 60 ) ? 45 , (1)
16.(文) ?

AP 100 ? AP ? 50 6, …………4 分 ? ? sin 60 sin 45? ? (2) ?QAB 中, ?ABQ ? 90 ,
由正弦定理: ∴ AQ ? 100 2,

?PAQ ? 75? ? 45? ? 30? , …………6 分
由余弦定理: PQ ? (50 6) ? (100 2) ? 2 ? 50 6 ?100 2 cos 30
2 2 2

?

? 5000,
∴ PQ ? 5000 ? 50 2 .…………9 分 答:P、Q 两棵树之间的距离为 50 2 米,A、P 两棵树之间的距离为 50 6 米。……10 分 18.解析: (1) m ? n ? (cos A ? 2 ? sin A) ?(sin A ? cos A)
2

?? ? 2

2

? ? 4 ? 2 2(cos A ? sin A) ? 4 ? 4 cos( ? A) 4
? 4 ? 4 cos(

………………3 分

?
4

? A) ? 4, cos( ?

?
4

? A) ? 0

-5-

? A ? (0,? ) , ? ? A ? ,? A ? ………………6 分 4 2 4

?

?

?

(2) 由余弦定理知: a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

即 a 2 ? (4 2) 2 ? ( 2a) 2 ? 2 ? 4 2 ? 2a cos

?
4

,解得 a ? 4 2,? c ? 8 …………10 分

1 2 ? S?ABC ? ? 4 2 ? 8 ? ? 16 ……………………12 分 2 2
19.解析:设楼房每平方米的平均综合费为 f ( x) 元,则

2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ? x ? 10, x ? N ? ? ……3 分 2000 x x 10800 方法一: f ? ? x ? ? 48 ? , …………5 分 x2 f ? x ? ? ? 560 ? 48 x ? ?
令 f ?? x? ? 0 得

x ? 15 …………7 分
;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0 ,

当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

因此 当 x ? 15 时, f ( x) 取最小值…………10 分 (方法二: f ? x ? ? 560 ? 48 x ? 当且仅当 48x ?

10800 ? 560 ? 2 48 ?10800 ? 2000 ,……8 分 x

10800 时成立,即 x ? 15 时,……10 分) x

f ?15 ? ? 2000 。
答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。………………12 分 20.解析:(1) 由题设 f ( x) ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? ∵ f ( x) ? 1 ? 0 ,∴ 2 cos(2 x ? ∴ cos(2 x ? 由 2x ?

?
4

2 cos(2 x ? ) ? 2 …2 分 4

?

) ? 2 ?1 ,

?
4

)??

2 ,………………………………………………………3 分 2

?

3 ? 5 ? 2k? ? ? 或 2 x ? ? 2k? ? ? , k ? Z 4 4 4 4

得 x ? k? ?

?

4

或 x ? k? ?

?

∵ x ? (0, ? ) ,∴ x1 ?

?

2

,……………………………………………………5 分

4 2 3 ∴ x1 ? x2 ? ? ………………………………………………6 分 4

, x2 ?

?

-6-

(2) 由题意 g ( x) ?

2 cos(2 x ?

?
4

? 2m) .…………………………………………8 分

∵ y ? g ( x) 图象关于 y 轴对称,则函数 g ( x) 为偶函数,需使 ∴ 2m ? ∴m ?

?
4

? k? , k ? Z ,…………………………………………10 分

k? ? ? , k ?Z , 2 8

∵ m ? 0 ,∴当 k ? 1 时, m 取最小值为

3? ………………………………………12 分 8

21.解析:(1) f ? x ? 在区间 ?? 1,0 ? , (1, ??) 上单调递增。…………3 分

?函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ?x ? ? x 2 ? 2 x
? f ?x ? ? f ?? x ? ? ?? x ? ? 2 ? ?? x ? ? x 2 ? 2 x
2

(2)设 x ? 0 ,则 ? x ? 0

?x ? 0?

?x 2 ? 2x ? f ?x ? ? ? 2 ?x ? 2x
2

?x ? 0? ?x ? 0? …………7 分

(3) g ( x) ? x ? 2 x ? 2ax ? 2 ,对称轴方程为: x ? a ? 1 , 当 a ? 1 ? 1 时, g (1) ? 5 ? 2a 为最小;……8 分 当 1 ? a ? 1 ? 2 时, g (a ? 1) ? ?a ? 2a ? 1 为最小;……9 分
2

当 a ? 1 ? 2 时, g (2) ? 10 ? 4a 为最小……10 分

?5 ? 2a ( a ? 2) ? ? 2 综上有: g ( x) 的最小值为 ? ? a ? 2a ? 1 (2 ? a ? 3) ……12 分 ? ?10 ? 4a ( a ? 3) ?
22.解析: ( 1 ) h?( x) ? ?2 x ? a ? 3ax , 因 为 1 为 极 值 点 , 则 满 足 h?(1) ? ?2 ? a ? 3a ? 0 , 所 以
2

a?

1 .………………4 分 2
1 e

(2) f '( x) ? ln x ? 1 ,当 x ? (0, ) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 当 x ? ( , ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. ………………6 分 ① 0 ? t ? t ? 2 ? ,t 无解; ② 0?t ?

1 e

1 e

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ; e e e e

-7-

1 1 ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t, t ? 2] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ; e e 1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e ? 所以 f ( x) min ? ? . ………………8 分 ?t ln t,t ? 1 ? e ? 3 3 (3) 2 x ln x ? ? x2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2ln x ? x ? ,设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,………10 分 x x ( x ? 3)( x ? 1) 则 h '( x) ? , x2 x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减, x? (1, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增,所以 h( x) ? h(1) ? 4 , 因为对一切 x? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x)min ? 4 ; …………12 分
③ 【压轴解剖】本题重点考查基本的数学思维和思想方法,第一问考查了导数法求解函数极值 的基本方法,第二问考查单调性和分类讨论的思想,第三问考查了应用导数法考查函数的恒 成立问题,其实质上是导数法求解函数最值的应用 ,要注意当已知哪个变量的范围时,我们 常常转化为求解关于该变量函数的最值.

-8-


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